§1. Линии второго порядка, заданные каноническими уравнениями

1.1. Эллипс

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух заданных точек этой же плоскости, называемыхфокусами, есть постоянное число 2а, большее, чемфокальное расстояние 2смежду фокусами.

Пусть М– произвольная точка эллипса, аF₁иF₂– его фокусы. ОтрезкиMF₁иMF₂так же, как и длины этих отрезковr₁иr₂называютсяфокальными радиусами точкиМэллипса. В силу данного определения эллипса

. (5.3)

Выразим фокальные радиусы r₁иr₂через координаты точекМ, F₁иF₂. Для этого введем на плоскости декартову прямоугольную систему координатхОу, принимая середину отрезкаF₁F₂за начало координат, а за осьОх– прямуюF₁F₂, ориентированную от точкиF₁ к точкеF₂(рис.3.8). В выбранной системе координат фокусF₁будет иметь координаты –с, 0, а фокусF₂– координатыс, 0. Обозначая координаты точкиМчерезх и у, будем иметь

и соотношение (5.3) принимает вид

. (5.4)

На первый взгляд, не ясно, относится ли уравнение (5.4) к уравнениям кривых второго порядка типа (5.2). Выполним некоторые преобразования уравнения (5.4), в частности, избавимся от иррациональности. Перенесем первый радикал в правую часть и обе части полученного уравнения возведем в квадрат:

.

Отсюда после преобразований находим

.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получим

,

или

.

Так как по условию , то. Обозначаячерези учитывая, что, получим

. (5.5)

Мы доказали, что координаты любой точки М (х,у) эллипса удовлетворяют уравнению (5.5), следовательно, и уравнению кривой второго порядка (5.2) при условии, что

.

Однако уравнение (5.5) еще нельзя назвать уравнением эллипса, так как не доказано обратное утверждение, а именно: если числа х и уудовлетворяют уравнению (5.5) и при этом, то точкаМс координатамих и уудовлетворяет соотношению (5.4), т.е. лежит на эллипсе.

Рис. 3.8

Докажем это. Пусть координаты точки М (х,у) удовлетворяют уравнению (5.5). Тогда из уравнения (5.5) находим.

Определим фокальные радиусы точки М (х,у)

Аналогично можно получить значение r₂:

.

Так как

,

то , а так как, тои, следовательно,

,, (5.6)

откуда

.

Таким образом, уравнение (5.5) является уравнением эллипса и называется каноническим.

Свойства эллипса:

1. Из канонического уравнения эллипса (5.5) следует, что эллипс относится к кривым второго порядка.

2. Из уравнения (5.5) следует, что .

Геометрически это значит, что эллипс расположен внутри прямоугольника, сторонами которого являются прямые , т.е. эллипс есть ограниченная кривая.

3. Так как в каноническое уравнение эллипса координаты хиувходят в четной степени (а именно, во второй), то если на эллипсе лежит точкаМ(х,у), то на том же эллипсе лежат точкиМ₁(х,–у) иМ₂(–х,у), симметричные с точкойМотносительно осейОх иОу, и точкаМ₃(–х,–у), симметричная с точкойМотносительно начала координат (рис.3.8). Поэтому оси координатОх иОудля эллипса, заданного каноническим уравнением (5.5), являются осями симметрии, а начало координат – центром симметрии.

Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса.Таким образом, эллипсимеет четыре вершины:(рис.3.8).

Величины 2аиназывается соответственнобольшой и малой осями эллипса, а аи–большой и малой полуосями.

Разрешая уравнение эллипса относительно уи беря для него лишь неотрицательное значение

(5.7)

и считая, что , получим точки эллипса (5.5), лежащие в первой четверти. Из уравнения (5.7) следует, что значенияус возрастаниемхот нуля дох = а убывают, причемприх= 0 иу= 0 прих = а.Добавив к дуге, заданной уравнением (5.7), дуги, ей симметричные относительно осей координат и начала координат, получим замкнутую линию, которая и будет представлять график эллипса в целом.

Итак, эллипс – замкнутая линия, имеющая единственный центр симметрии и только две (если ) взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Кривая, имеющая центр симметрии, называется центральной.

4. Если в уравнении (5.5) , то получим уравнение окружности

(5.8)

с центром в начале координат и радиусом а.

Таким образом, окружность – это эллипс, у которого фокусы совпадают с центром симметрии, т.е. фокальное расстояние равно нулю.

Для характеристики эллипса вводят отношение , которое называютэксцентриситетом эллипса

. (5.9)

Эксцентриситет характеризует отклонения эллипса от окружности – степень «вытянутости» эллипса. Для окружности . Для эллипса.

Прямые называютсядиректрисами (направляющими) эллипса. Поскольку, тои, значит, директрисы эллипса отстоят от его центра дальше, чем вершины (рис.3.8). Окружность (для которой) не имеет директрис.

Особенность директрис состоит в том, что отношение фокального радиуса любой точки эллипса к соответствующему расстоянию до директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса. Действительно (см. рис.3.8),

.

Тогда, с учетом (5.6)

,.

Таким образом, .

5. В случае большей полуосью будетbи фокусы расположены на осиОуна расстоянииот центра эллипса.

6. Как следует из уравнения (5.5), эллипс задан, если заданы его полуоси аиbилиа ис. По этим полуосям можно построить эллипс.

Одним из способов построения эллипса является следующий. Берут нерастяжимую нить длиной 2а; концы нити закрепляют в фокусахF₁иF₂; карандашом натягивают нить и вычерчивают эллипс.

В заключение рассмотрим параметрические и полярные уравнения эллипса.

Параметрическими уравнениями эллипса являются уравнения

(5.10)

где . В этом легко убедиться, подставив эти уравнения в каноническое уравнение эллипса (5.5):

.

Параметр называетсяэксцентрическим угломточки эллипса. Если задана точкаМ эллипса, то для нахождениянадо построить окружность на большей оси эллипса как на диаметре и через точкуМпровести прямую, параллельную малой оси эллипса. ТочкаРпересечения этой прямой с окружностью, лежащая по ту же сторону от большой оси эллипса, что и точкаМ, называетсяпрообразом точки М (при установлении взаимнооднозначного соответствия между точками окружности и эллипса). Угол от осиОхдо лучаОРи является эксцентрическим углом, соответствующим взятой точкеМна эллипсе (рис.3.9).

Рис. 3.9

Для установления полярного уравнения введем полярную систему координат так, чтобы ее полюс совпадал с фокусом F₁, а полярная ось – с лучомF₁x(рис.3.9).

Согласно определению эллипса, .

По условию r₁=.Тогда r₂=2a – .

Из треугольника MF₁F₂по теореме косинусов находим

,

откуда

.

Учитывая, что , получаем. Отсюда

, или.

Обозначим . Числорназываетсяфокальным параметром эллипса; оно равно длине перпендикуляра, восстановленного из фокуса к фокальной оси до пересечения с эллипсом, т.е.(рис.3.9).

Таким образом, уравнение эллипса в полярных координатах имеет вид

,

где ир– соответственно эксцентриситет и фокальный параметр эллипса.

Можно показать, что если за полюс полярной системы координат взять фокус F₂. а направление полярной оси оставить прежним, то уравнение эллипса в полярных координатах примет вид

.