Глава 2 прямая линия на плоскости

§1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Определение. Направляющим вектором прямойназывается любой ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой.

Теорема. В декартовой системе координат уравнение прямойL, проходящей через точкуМ₀(х₀,у₀) с направляющим вектором, имеет вид

, или. (2.1)

Доказательство. Рассмотрим произвольную точкуМ(х,у) плоскости. ТочкаМ(х,у) лежит на прямойLтогда и только тогда, когда векторыиколлинеарны. Условием коллинеарности этих векторов является равенство (см. кн.2, гл.4, §3, п.3.3):

,

или, используя теорему о разложении определителя по элементам строки (см. кн.2, гл.6, §2), это равенство можно записать также в виде

.

Уравнение (2.1) называется каноническим уравнением прямой.

Замечание.Если один из знаменателейилитравен нулю, то уравнение (2.1) означает, что равен нулю соответствующий числитель.

§2. Общее уравнение прямой

Теорема 1.В декартовой системе координат прямая выражается уравнением первой степени:

. (2.2)

Доказательство. Перепишем каноническое уравнение прямой (2.1) в виде

.

Полагая т = А, , , приведем его к виду.

Это уравнение первой степени, так как вектор ненулевой и поэтомуАиВодновременно в нуль не обращаются (А = т, ).

Теорема 2 (обратная). Всякое уравнение первой степени

(2.3)

в декартовой системе координат является уравнением прямой.

Доказательство.Пустьх₀,у₀– какое-нибудь решение уравнения (2.3), т.е.

. (2.4)

Тогда уравнение

или(2.5)

будет эквивалентно уравнению (2.3).

По доказанной в предыдущем параграфе теореме это уравнение, а, следовательно, и уравнение (2.3), является уравнением прямой, направляющим вектором которой является вектор и которая проходит через точкуМ(х₀,у₀).

Теорема 3.Необходимым и достаточным условием того, что векторколлинеарен прямой, заданной относительно декартовой системы координат уравнением (2.2), является условие

. (2.6)

Доказательство. Отложим векторот любой точкиМ₀(х₀,у₀) .данной прямой. КонецМотложенного вектора будет иметь координаты. Векторколлинеарен данной прямой тогда и только тогда, когда точкаМлежит на данной прямой, т.е. тогда и только тогда, когда выполнено равенство

,

или

.

(, так как точкаМ₀лежит на данной прямой).

Если прямая задана уравнением (2.2) относительно декартовой прямоугольной системы координат, то вектор перпендикулярен этой прямой.

В самом деле,

,

значит вектор перпендикулярен направляющему векторуданной прямой, а потому векторперпендикулярен и самой прямой. Векторназываетсянормальным вектором этой прямой.

Уравнение называетсяобщим уравнением прямой.Рассмотрим частные случаи расположения прямой относительно декартовой системы координат:

1. Прямая коллинеарна оси Охтогда и только тогда, когдаА = 0, так как направляющий векторпрямой коллинеарен осиОхтогда и только тогда, когда вторая координата этого вектора равна нулю.

Уравнение прямой в случае, если эта прямая коллинеарна осиОх, имеет, таким образом, видВу + С = 0 или(где).

2. Аналогично доказывается, что прямая коллинеарна осиОу тогда и только тогда, когдаВ = 0, т.е. тогда и только тогда, когда общее уравнениепрямой имеет видАх + С = 0, илих = а .

3. Необходимым и достаточным условием того, что прямая проходит через начало координат, является равенствоС= 0, так как в случаеС= 0 и только в этом случае уравнениеудовлетворяется координатами начала координат.

Таким образом, общее уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид Ах + Ву = 0, и обратно (т.е. любое однородное уравнениеАх + Ву = 0 первой степени определяет прямую, проходящую через начало координат).