1.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки

Уравнения прямой, проходящие через две различные точки и, заданные относительно декартовой системы координат, можно записать в виде

,

или, в параметрической форме

.

Доказательство.За направляющий вектор прямой можно взять вектор, после чего остается применить результаты предыдущего пункта.

1.3. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Общее уравнение прямой

В общем случае прямую в декартовой системе координат можно задать уравнениями двух плоскостей

, (4.6)

пересекающихся по этой прямой. Система (4.6) называется общим уравнением прямой в трехмерном пространстве.

Для приведения прямой, заданной двумя пересекающимися плоскостями (4.6), к каноническому виду, надо найти какое-нибудь решение системы (4.6). Точкалежит на прямой, по которой пересекаются плоскости (4.6). Далее, векторс координатами

является направляющим вектором данной прямой, так как он ненулевой и компланарен каждой из данных плоскостей. В самом деле, применяя необходимое и достаточное условие компланарности вектора и плоскости, получим

и, аналогично, , так что векторколлинеарен прямой, по которой пересекаются плоскости (4.6).

Тогда канонические уравнения прямой (4.6) можно записать в виде

.

§2. Угол между двумя прямыми в трехмерном пространстве

Углом между двумя прямыми в пространстве называется любой из углов между двумя параллельными им прямыми, проходящими через некоторую точку пространства. Таким образом, две прямые в пространстве (если они не перпендикулярны) образуют между собой два различных угла: один острый, другой тупой. Сумма этих углов равна .

Пусть и– направляющие векторы данных прямых, заданных относительно декартовой прямоугольной системы координат. Угол между этими векторами равен одному из углов, образованных данными прямыми. Следовательно, косинусы углов между двумя данными прямыми выражается формулой

.

Отсюда получаем необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых:

;

для того, чтобы две прямые были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений соответствующих координат направляющих векторов этих прямых была равна нулю.

§3. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости

Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями

(4.7)

Если две прямые принадлежат одной и той же плоскости, тогда их направляющие векторы ,и векторкомпланарны, т.е. смешанное произведение

.

Отсюда условие принадлежности прямых одной плоскости, записанное в координатной форме, имеет вид

.

§4. Расстояние от точки до прямой в трехмерном пространстве

Пусть в пространстве заданы точка и прямая каноническим уравнением

относительно декартовой прямоугольной системы координат.

Расстояние dот точкиМ₁до прямой можно определить как высоту параллелограмма, сторонами которого служит вектори направляющий векторпрямой, отложенный от точкиМ₀этой прямой. Поэтому для определения расстоянияdрассмотрим модуль векторного произведения:

,

но – высота параллелограмма, следовательно,

,

откуда

.

Так как ,, то