4.2 Решение прямой задачи динамики

При исследовании динамики манипуляторов составляют расчетную динамическую модель, учитывающую не только геометрические размеры звеньев и распределение кинематических пар, как при составлении кинематической модели, но и распределение масс звеньев и других элементов манипулятора, участвующих в движении. Могут быть учтены и другие свойства манипулятора, например упругие свойства его элементов. В этом случае числостепеней свободы системы становится больше числа степеней подвижности манипулятора, которое определяют как число независимых управляемых движений манипулятора (для манипуляторов с разомкнутой кинематической цепью оно равно числу приводов).

В аналитической механике имеются различные принципы и методы для составления дифференциальных уравнений движения механических систем любой сложности. Далее будем использовать уравнения Лагранжа второго рода [19].

, (4.2)

где L – функция Лагранжа (L=K-P);KиP – полные кинетическая и потенциальная энергия системы;q_i – обобщенные координаты;– первая производная по времени обобщенных координат;Q_i – обобщенные силы (силы или моменты, развиваемые приводами, а также внешние силы или моменты, например возникающие при взаимодействии инструмента и обрабатываемой поверхности), создаваемые в i-м сочленении для реализации заданного движения i-го звена.

Запишем уравнение (5.1) в векторно-матричной форме:

(4.3)

где A(q) – матрица инерционных коэффициентов, зависящих от обобщенных координат;– вектор сил и моментов сил инерции, зависящих от обобщенных координат и скоростей; С(q) – вектор сил и моментов сил тяжести;Q – вектор обобщенных сил.

Рассмотрим степени подвижности манипулятора со структурной схемой, приведенной на рисунке 5.1 по координатам . Звенья манипулятора имеют массы. Размеры рабочего органа считаются существенно малыми по сравнению с остальными линейными размерами манипулятора. Составим уравнения движения манипулятора, считая все элементы абсолютно твердыми телами. Рука считается однородным стержнем длинойи массой. Рабочий орган представляет собой точечную массу.

Кинетическая энергия манипулятора представляет собой сумму кинетических энергий отдельных частей:

, (4.4)

где  – кинетическая энергияi-го звена; – кинетическая энергия рабочего органа.

Кинетические энергии для звеньев и рабочего органа равны:

; 

;

;

.

Моменты инерции для звеньев и рабочего органа равны:

;;;,

где – момент инерцииi-го звена; – момент инерции рабочего органа.

Момент инерции меняется на разных фазах движения из-за изменения конфигурации манипулятора.

Подставим найденные выражения для кинетических энергий и моментов инерции в уравнение (5.3):

Потенциальная энергия манипулятора равна

.

Для уравнения Лагранжа найдем производные:

;

;

;

;

;

;

;

.

Подставим найденные производные в уравнение (4.2), произведем необходимые преобразования и получим решение прямой задачи динамики в векторно-матричной форме (4.3):

Здесь – момент, развиваемый приводом в первом сочленении,и– силы, развиваемые приводами во втором и третьем сочленениях. Несмотря на достаточно простую кинематическую схему манипулятора, уравнения динамики являются нелинейными и взаимосвязанными по координатами. Однако движение по координатеописывается независимым линейным уравнением.

4.3. Математическая модель электродвигателя постоянного тока

Математическое описание элементов САУ получают с использованием аналитических и экспериментальных методов. При применении аналитических методов используют известные физические закономерности, описывающие работу элементов и устройств, основу которых составляют дифференциальные уравнения. Далее, в зависимости от требуемой формы представления математического описания САУ, выполняют соответствующие преобразования исходной системы уравнений и приводят описание САУ к виду, удобному для дальнейшего исследования.

Электродвигатель постоянного тока имеет следующие уравнения:

электрической цепи

;

механической цепи

;

момента сопротивления

;

момента двигателя

;

э.д.с. двигателя

,

где индуктивность цепи якоря;сопротивление в цепи якоря;

электромагнитная постоянная времени, характеризует инерционность электрической части двигателя;электромеханическая постоянная времени;коэффициент электромагнитного момента двигателя;конструктивная постоянная электродвигателя;угловая скорость;ток в цепи якоря;момент инерции якоря;

Двигатель соединяется с нагрузкой через редуктор с передаточным отношением i.Вращающий момент двигателяи его угловую скоростьцелесообразно привести к выходному валу редуктора:

Решая их совместно, получим векторно-матричное уравнение, описывающее электродвигатель постоянного тока в матричном виде:

_(4.5).

4.4 Математическая модель манипулятора в пространстве состояний

Для всего робота при одновременном выполнении движений по различным степеням подвижности необходимо совместно рас­сматривать движение манипулятора и системы приводов, вклю­чающей двигатели и передачи по всем степеням подвижности. К уравнениям движения манипулятора надо добавить уравнения для системы приводов, связывающие силы и моменты, развиваемые приводами (они стоят в правых частях уравнений движения манипулятора) с управляющими воздействиями, посту­пающими из системы управления на приводы.

Уравнения, описывающие динамику манипулятора и двигателя, получены выше.

Поскольку подвижные элементы робота считаются жестко связанными с корпусом и валом двигателя^, частота вращения двигателя линейно связана с обобщенной скоростью звена. Поэтому в полную ММ “электродвигатель-манипулятор” из системы уравнений, описывающей электродвигатель (4.5), войдет только по одному уравнению, описывающему динамику формирования момента в соответствующем сочленении

Второе уравнение, описывающее динамику формирования скорости вращения, полностью совпадет с аналогичным уравнением механической основы робота

.

Опишем динамику всей электромеханической системы уравнениями в пространстве состояний.

Введем переменные состояния:

Представим уравнение (4.4) в виде:

,

где

С учетом введенных обозначений система уравнений в пространстве состоя-

ний, описывающая манипулятор, оснащенный электродвигателями постоянно-

го тока, имеет вид:

(4.6)

где ,номер сочленения.

В векторно-матричном виде система уравнений (4.6) записывается :

(4.7)

Полученная система уравнений, описывающая объект управления в пространстве состояний, имеет девятый порядок. Система обладает существенными нелинейностями, которые наряду с большой размерностью затрудняют синтез. В следующем разделе предлагается метод позволяющий синтезировать дискретно-непрерывную систему управления без необходимости упрощения математической модели, что увеличивает точность позиционирования ПР рабочего органа.

5 Анализ методов синтеза систем управления