МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Утверждена на заседании кафедры ИСС 29 сентября 1999 г.

Методические указания

"Дискретная математика"

для студентов дневной формы обучения

специальности ИСС

Ростов-на-Дону

2000

УДК 519.6 (075.В)

Методические указания "Дискретная математика" для студентов дневной формы обучения специальности ИСС. – Ростов – н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2000.- 40 c.

Изложен теоретический материал по лингвистическим основам информатики.

Предназначена для студентов дневной формы обучения специальности ИСС.

Составитель:

канд. физ.-мат. наук, доц. А.Е. Богданов

Рецензент:

д-р физ.-мат. наук, проф. М.Г. Селезнев

Редактор Т.М. Климчук

Темплан 2000 г., поз. 105

ЛР 020818 от 13.01.99. Подписано в печать . . 2000. Формат 60х84/16.

Бумага белая. Ризограф. Уч. – изд. л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ

Редакционно-издательский центр

Ростовского государственного строительного университета

344022, Ростов н/Д, ул. Социалистическая, 162

 РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ, 2000

Дискретная математика

Алгебра логики

Функции алгебры логики

Определение. Функция , областью определения и областью значений, которой является множество , называется функцией алгебры логики или булевой функцией . Функцию алгебры логики можно задать в виде таблицы :

0 0………. 0 0 0 0 ……… 0 1 0 0 ……… 1 0 ………………… 1 1 1 1	………………..

Будем обозначать через систему всех функций алгебры логики .

Теорема . Число всех функций из , зависящих от переменных

равно .

Введем функции алгебры логики, которые будем называть элементарными :

1. .

2. .

3. .

4. - отрицание .

5. - конъюнкция и .

6. - дизъюнкция и .

7. - импликация и .

8. - сложение и по mod 2 .

9. / - функция Шеффера .

Для последних двух функций укажем соответствующие значения :

0 0 0 1 0 1 1	0 1 1 0	1 1 1 0

Реализация функций формулами

Дадим рекурсивное определение формулы .

Пусть D – подмножество функций из .

Каждое выражение , где D , называется формулой над D .

Пусть функция из D и - выражения , являющиеся либо формулами над D , либо символами переменных , тогда выражение называется формулой над .

Пусть D – множество элементарных функций . Следующие выражения являются формулами над D :

1. ,

2. .

Будем в дальнейшем использовать следующую запись , которая означает , что формула U построена из . В тех случаях , когда нужно обратить внимание на множество переменных , которые участвуют в построении формулы , пишут .

Формулы , которые использовались для построения формулы U , будем называть подформулами формулы U.

Каждой формуле над можно поставить в соответствие функцию из .

Если функция соответствует формуле , то говорят , что формула реализует функцию .

Функцию , соответствующую формуле , будем называть суперпозицией функций из .

Формулы и называются эквивалентными , если соответствующие им функции и равны .

Полнота и замкнутость

Система функций из называется полной , если любая булева функция может быть записана в виде формулы через функции этой системы .

Примеры полных систем :

1. Система .

2. Система .

Теорема . Пусть даны две системы функций из

, ,

относительно которых известно , что первая система полна и каждая ее функция выражается через функции второй системы ,тогда и вторая система также полной.

Опираясь на эту теорему можно установить полноту еще ряда систем .

Теорема . Каждая функция из может быть выражена при помощи полинома по mod 2 – полинома Жегалкина : , где или .

Пусть - некоторое подмножество функций из . Замыканием называется множество всех булевых функций , представимых в виде формул через функции множества и обозначается .

Пример .

1. . Очевидно , что .

2. .

Замыканием этого множества будет класс всех линейных функций , т.е.

функций , имеющих вид : . где или .

Отметим некоторые свойства замыкания :

1. .

2. .

3. Если , то .

4. .

Класс функций М называется замкнутым , если .

Пример .

1. Класс является замкнутым .

2. Класс не замкнут .

3. Класс L замкнут .

Исходя из данных определений можно сказать , что система М – полная , если

.