- •Дискретная математика
- •Реализация функций формулами
- •Важнейшие замкнутые классы
- •Этот класс содержит ровно булевых функций , зависящих от переменных .
- •Этот класс также содержит ровно булевых функций , зависящих от переменных и замкнут . Функция называется двойственной для функции .
- •Алгоритмы построения минимальных дизъюнктивных нормальных форм Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (д.Н.Ф.)
- •Способы построения тупиковых д.Н.Ф.
- •Критерий поглощения.
- •Локальные алгоритмы упрощения д.Н.Ф.
- •Необходимое и достаточное условие вхождение конъюнкции в
- •Пусть и .
- •Двоичный-симметричный канал
- •Канал , в котором в каждом слове длины n может произойти любая ошибка заданного типа кратности не более s
- •Примеры кодов с исправлением одиночных ошибок различных типов.
- •Очевидно , что число w(X) равно сумме номеров единичных символов слова х.
- •Элементы теории графов
- •Задача о кратчайшем пути
- •Нахождение кратчайшего пути в графе с ребрами единичной длины
- •Нахождение кратчайшего пути на графе с ребрами произвольной длины
- •Задачи, решаемые методами теории потоков
- •Основные понятия и определения теории потоков Конечный граф (х,т) без петель называется сетью , если каждой дуге
- •В любой сети максимальное значение суммарного потока на конечных дугах равно минимальной пропускной способности разреза.
- •Определение максимального потока методом разметки вершин
- •Последовательность решения примера
- •Транспортная задача по критерию стоимости
Нахождение кратчайшего пути на графе с ребрами произвольной длины
Задача приписывания вершинам графа числовых индексов усложняется, если ребра графа имеют произвольную длину . Усложнение вызвано тем, что в сложном графе путь, проходящий через наименьшее число вершин, нередко имеет большую длину, чем некоторые обходные пути.
Отметим два свойства , которыми будут обладать приписанные вершинам индексы :
1.Пусть - произвольное ребро. Для него обязательно выполняется условие .
2.Пусть - произвольная вершина. При рассмотренном процессе приписывания индексов , индекс монотонно уменьшается.
Пусть - последняя вершина , послужившая для его уменьшения. Тогда . Следовательно, для произвольной вершины с индексом
найдется вершина , соединенная с вершиной такая, что .
Процесс приписывания индексов для такого вида графа выполняется следующим образом :
1. Каждая вершина помечается индексом .Первоначально конечной вершине приписывается индекс Для остальных вершин, предварительно полагая, .
2. Последовательно анализируя вершины и ребра графа в направлении от конечной вершины к начальной, ищем такую дугу ,длина которой обеспечивает истинность неравенства
3. Если такая дуга имеется , то индекс заменяется индексом
.
4. Процесс замены индексов продолжается до тех пор , пока остается хотя бы одна дуга, позволяющая уменьшить .
После того как закончен процесс приписывания индексов для нахождения кратчайшего пути необходимо использовать следующее правило.
Пусть - начальная вершина с индексом . Ищем вершину такую, что . Далее ищем вершину такую, что и так до тех пор, пока не дойдем до конечной вершины .
Путь , длина которого равна , является кратчайшим.
Пример.
8 6
16 5
5 9
4
а 13 2 в
1
3 4
1
10 4 6
Задачи, решаемые методами теории потоков
В соответствии с инженерной концепцией вначале дадим формулировки основных задач, которые решаются с помощью алгоритма нахождения максимального потока.
Транспортная задача. Имеется m пунктов отправления и n пунктов назначения груза. Заданы стоимости перевозок между каждым пунктом отправления и назначения, число наличных транспортных средств в каждом пункте отправления, а также потребное количество товара в каждом пункте назначения. Требуется составить план перевозок товара, обеспечивающий минимальные издержки. Решение должно быть целочисленным.
Задача о спросе и предложении. Оптовый торговец в каждый из N последовательных интервалов может покупать, продавать и хранить (чтобы продать позже) некоторый товар. Причем в каждый i-й период задаются: верхняя граница ai количества товара, больше которого торговец купить не может; верхняя граница ci количества товара, которое он может хранить, и нижняя граница bi количества товара, которое он может продать. Заданы стоимости покупки, продажи и хранения в каждый i-й период. Требуется определить оптимальную стратегию торговца, при которой он получит максимальную прибыль за N периодов.
Задача об оптимальном использовании дорог. Из различных городов xi, в пункт назначения у отправляются машины (при заданном начальном количестве ai машин в пункте xi). Заданы продолжительности tij движения автомобилей по дорогам между пунктами xi и xj; максимальное количество машин cij, которое может пропустить эта дорога; максимальное количество машин cii, которое может находиться в пункте xi . Требуется составить оптимальный план движения автомобилей таким образом, чтобы в течение времени Т в пункт назначения у прибыло максимальное число автомашин.
Задача о кратчайшем пути. Пусть задана транспортная сеть, в которой имеются исток и сток. Для каждой дуги указаны стоимости проезда (может быть указан километраж или время проезда).
Требуется найти путь, соединяющий начальную и конечную точки, суммарная стоимость проезда по которому была бы минимальна.
Задача об оптимальном назначении. Требуется распределить n рабочих по m машинам при известной производительности труда и каждого рабочего на каждой машине таким образом, чтобы общая производительность труда была максимальной.
Задача о складе. Пусть задана емкость склада: количество товара, помещенное вначале; цены на товары, покупаемые и продаваемые в каждый i-й период времени, и расходы в этот период, связанные с хранением единицы товара. Требуется определить оптимальное количество товара, который должен быть куплен и продан в разные периоды времени r1, r2, … ,rN таким образом, чтобы суммарная прибыль за N периодов была максимальна. Причем считается, что количество товара на складе в начале и в конце процесса купли-продажи равно.
Задача о поставщике. Поставщик салфеток точно знает, сколько ему потребуется свежих салфеток на каждый из последующих дней. Он может выбрать одну из двух или обе следующие стратегии: покупать новые салфетки или пользоваться салфетками, выстиранными в прачечной. В прачечной бывает срочное обслуживание и обычное, причем последнее при большей деятельности стирки стоит меньше, чем первое. Зная цену новых салфеток и стоимость стирки, требуется определить оптимальную стратегию, при которой поставщик будет обеспечивать потребителей необходимым числом салфеток при минимальных издержках в течение N дней.
Задача об оптимальном по стоимости сетевом графике. Задан сетевой график работы с общей продолжительностью tn. Считаем, что для каждой работы, которая представляется дугой, зависимость ее стоимости от продолжительности линейна. Требуется минимизировать полную стоимость проекта при заданной общей продолжительности работ.