Важнейшие замкнутые классы

1. Класс , класс , сохраняющий константу 0 .

Этот класс содержит ровно булевых функций , зависящих от переменных .

2. Класс , класс , сохраняющий константу 1.

Этот класс также содержит ровно булевых функций , зависящих от переменных и замкнут . Функция называется двойственной для функции .

3. Класс - класс всех самодвойственных функций , т.е. функций таких , что . Число самодвойственных функций равно .

Лемма 1. Если , то из нее путем подстановки функций и можно получить несамодвойственную функцию одной переменной, т.е. константу.

4. Класс М – класс всех монотонных функций .

Дадим ряд определений .

Для двух наборов и выполнено отношение предшествования , если .

Два набора и называются сравнимыми , если один из них предшествует другому .

Два набора и называются соседними , если

, .

Функция называется монотонной , если для любых наборов и таких , что , имеет место неравенство .

Лемма 2 . Если , то из нее путем подстановки констант 0 и 1 и функции х можно получить .

5. Класс L – класс все линейных функций .

Лемма 3. Если , то из нее путем подстановки констант 0 и 1 и функций и , а также , быть может , путем навешивания отрицания над , можно получить функцию .

Теорема о функциональной полноте

Для того чтобы система функций D была полной , необходимо и достаточно , чтобы она целиком не содержалась ни в одном из пяти замкнутых классов

Теорема . Из всякой полной в системы функций можно выделить полную подсистему , содержащую не более четырех функций .

Теорема Поста. Каждый замкнутый класс из имеет конечный базис .

Алгоритмы построения минимальных дизъюнктивных нормальных форм Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (д.Н.Ф.)

Введем обозначение : , где - параметр , равный 0 либо 1.

Очевидно, что

Теорема. Каждую функцию алгебры логики при любом можно представить в следующей форме :

, (1) где дизъюнкция берется по всевозможным наборам значений переменных .

Это представление называется разложением функции по m переменным. Зададим переменным произвольные значения и подставим их в правую часть равенства (1) , получим

=

.

В качестве следствия имеем два специальных случая :

1. ;

2. .

Если функция не равна тождественно нулю, то последнее равенство может быть преобразовано к виду :

.

Такое представление функции носит название совершенной д.н.ф. Аналогично введем понятие совершенной конъюктивной нормальной формы . Будем называть совершенной к.н.ф. разложение вида :

.

Основные понятия теории д.н.ф.

Элементарной конъюнкцией называется логическое произведение , где все переменные различны. Число называется рангом конъюнкции .

Д.н.ф. называется дизъюнкция элементарных конъюнкций, в которой все различны. Число m называется длиной д.н.ф.В случае m = 0 д.н.ф. называется пустой и полагается равной 0.

Минимальной д.н.ф. функции называется д.н.ф. , реализующая эту функцию и содержащая наименьшее число символов переменных по сравнению со всеми другими д.н.ф. реализующими .

Кратчайшей д.н.ф. функции называется д.н.ф., реализующая эту функцию и содержащая наименьшее число элементарных конъюнкций по сравнению со всеми другими д.н.ф. реализующими .

Теорема. Число различных д.н.ф. составленных из переменных , равно .

Обозначим - множество вершин единичного n- мерного куба. Каждой функции поставим в соответствие подмножество всех таких вершин , что Такое соответствие является взаимно однозначым и обладает следующими свойствами :

1. функции соответствует подмножество

2. функции соответствует подмножество

3. функции соответствует подмножество

4. если , то .

Подмножество называется интервалом -го ранга, если оно соответствует элементарной конъюнкции K r - го ранга.

Таким образом, каждая вершина единичного куба является интервалом n-го ранга, множество всех вершин – интервалом нулевого ранга, а интервал n-го ранга геометрически представляет собой подмножество вершин куба, заполняющих (n-r) – мерную грань.

Для каждой д.н.ф. функции выполняется соотношение .

Поэтому с каждой д.н.ф. функции связано покрытие подмножества интервалами такими, что .

Справедливо и обратное положение.

Обозначим через ранг интервала . Тогда совпадает с числом букв в д.н.ф.

Таким образом , задача построения минимальной д.н.ф. сводится к отысканию такого покрытия интервалами , чтобы выражение было минимальным. При построении покрытия , соответствующего кратчайшей д.н.ф., следует минимизировать число интервалов, участвующих в покрытии.

Интервалы , для которых , будем называть допустимыми также, как и соответствующие им конъюнкции.

Сокращенная д.н.ф.

Интервал называется максимальным для f, если и не существует интервала такого , что . Очевидно, что каждый интервал содержится в некотором максимальном интервале . Поэтому совокупность всех максимальных для f интервалов определяет покрытие подмножества , .

Д.н.ф. , реализующая функцию f и соответствующая покрытию подмножества всеми максимальными для f интервалами, называется сокращенной д.н.ф. функции f . Функции f будем обозначать ее через Сокращенная д.н.ф. определяется по функции f однозначно.

Теорема. Минимальная д.н.ф. функции получается из сокращенной д.н.ф.

функции путем удаления некоторых элементарных конъюнкций .

Следствие. Если конъюнкция К не входит а сокращенную д.н.ф. функции , то К не входит нив одну минимальную д.н.ф. для .

Теорема. Для всякой функции существует кратчайшая д.н.ф., которая получается из сокращенной д.н.ф. функции путем удаления некоторых элементарных конструкций .

Теорема. Сокращенная д.н.ф. монотонной функции не содержит отрицаний переменных и является ее единственной минимальной (кратчайшей) д.н.ф.

Методы построения сокращенной д.н.ф.

В основе этих методов лежат следующие преобразования :

1) склеивание ,

2) поглощение ,

3) неполное склеивание ,

4) обобщенное склеивание .

(операции 1), 3) можно выразить через 2) , 4) )

Метод Блейка

Метод использует операции поглощения и обобщенного склеивания .

Сначала выполняются все возможные преобразования 4).

После того как получены все конъюнкции , соответствующие максимальным интервалам , преобразование 2) удаляет все конъюнкции , соответствующие не максимальным интервалам. В результате получится сокращенная д.н.ф. Заметим , что порядок выполнения операций не существен.

Тупиковые д.н.ф.

Покрытие подмножества максимальными интервалами называется неприводимым, если после удаления из него любого интервала оно перестает быть покрытием.

Д.н.ф. функции называется тупиковой , если ей соответствует неприводимое покрытие подмножества .

Очевидно, что всякая минимальная (кратчайшая) д.н.ф. является тупиковой.

Заметим, что если сокращенная д.н.ф. по функции строится однозначно, то процесс перехода от сокращенной д.н.ф. к тупиковой неоднозначен. При этом удаление одних элементарных конъюнкций из сокращенной д.н.ф. приводит к минимальной д.н.ф., других - к тупиковой д.н.ф , не являющейся минимальной .

Процесс построения минимальных(кратчайших)д.н.ф. на основе совершенной д.н.ф можно описать следующим образом : строится сокращенная д.н.ф. , затем строятся все тупиковые д.н.ф. и среди них выделяются минимальные (сокращенные) д.н.ф.