Глава 4. Геометрические характеристики плоских сечений

1. Основные понятия

При растяжении (сжатии) мы встречались с простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения — площадью . При изгибе и кручении этой характеристики недостаточно.

Возьмем, к примеру, брус прямоугольного поперечного сечения с площадью , приложим к свободному концу силу(рис. 4.1)

Рис. 4.1

Расположим его сечение по отношению к нагрузке как показано на рис. 4.1,а,б. В зависимости от ориентации сечения прогибы будут разными.

Вывод: площадь поперечного сечения не может характеризовать сопротивляемость стержня изгибу. Необходимо привлекать к рассмотрению более сложные геометрические характеристики.

2. Статические моменты сечения

Возьмем некоторое поперечное сечение бруса (рис. 4.2)

Рис. 4.2

Свяжем его с системой координат и рассмотрим два следующих интеграла

(4.1)

Индекс у интеграла означает, что интегрирование ведется по всей площади сечения.

Первый интеграл называется статическим моментом сечения относительно оси , а второй статическим моментом относительно оси. Размерность —.

При параллельном переносе осей величины статических моментов меняются. Рассмотрим две пары параллельных осей и(рис. 4.3).

Рис. 4.3

Пусть расстояние между осями иравно, а междуиравно. Дано:. Требуется определить.

Очевидно, что

Искомые статические моменты равны

Или .

Рассмотрим подробнее, например, первое из полученных выражений

Величина может быть как положительной, так и отрицательной. Всегда можно подобратьтак, причем единственным образом, чтобы,

, тогда . Ось, относительно которой статический момент равен “0”, называется центральной.

Расстояние до центральной оси от некоторой произвольной равно

, (4.2)

аналогично

. (4.3)

Таким образом, с помощью формул (4.2), (4.3) можно найти центр тяжести любой фигуры.

3. Моменты инерции сечения. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей

Рассмотрим следующие три интеграла (рис. 4.3).

Первые два интеграла называются осевыми моментами инерции сечения относительно осей , а третий — центробежным моментом инерции относительно осей.

Пусть заданы: .

Требуется найти .

Координаты площади в системе координатравны:. Вычислим моменты инерции относительно осей.

,

,

.

После интегрирования имеем:

,

,

.

Если оси — являются центральными, тои выражения принимают вид

(4.4)

(4.4) называют формулами перехода для моментов инерции от центральных осей к произвольным.

Из первых двух формул (4.4)следует, что в семействе параллельных осей минимальный момент инерции получается относительно центральной оси (при или).

Поэтому легко установить, что при переходе от центральных осей к произвольным моменты инерции увеличиваются на и, а при переходе от произвольных к центральным эти величины нужно вычитать.

При определении центрального момента инерции следует учитывать знак и.

Пример: Найти моменты инерции прямоугольного относительно основания и относительно центральных осей (рис. 4.4).

Рис. 4.4

Момент инерции относительно оси

.

Воспользуемся формулами переноса (4.4)

.

По аналогии

.

Моменты инерции прямоугольника относительно центральных осей необходимо помнить,

.