Глава 9. Элементы теории напряженного и деформированного состояния

9.1. Основные понятия

Совокупность напряжений, возникающих во множестве площадок, проходящих через данную точку, называют напряженным состоянием в точке (или тензором напряжений).

Пусть имеется твердое тело, нагруженное произвольной системой сил (рис. 9.1).

Рис. 9.1

Возьмем произвольную т. вырежем простейшую фигуру — прямоугольный параллелепипед с гранями. На гранях будут действовать вектора полных напряженийкаждый из которых может быть разложен на три составляющиеся по осям (рис. 9.2).

Рис. 9.2

На невидимых гранях действуют такие же напряжения, но противоположно направленные. Этот элемент находится в равновесии, т.к. удовлетворяет уравнение статики

Последние три позволяют получить следующие соотношения — закон парности касательных напряжений.

В силу этого закона из указанных девяти напряжений различны только шесть. Нормальные напряжения считаются положительными, когда они вызывают растяжение элемента. Положительное напряжение компонент касательных напряжений совпадающих с положительным направлением осей, если растягивающие нормальные напряжения для той же грани совпадают с положительным направлением соответствующей оси.

9.2. Напряжения на наклонных площадках

Если даны шесть составляющих напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках, то можно найти напряжение на любой наклонной площадке, проходящей через данную точку (рис. 9.3).

Рис. 9.3

Положение в пространстве площадки определяются нормалью, направляющие косинусы которой:

Наклонная площадка вместе с координатами площадкамиобразуют бесконечно малый тетраэдр. Обозначим площадь граничерез, тогда площади:

Проектируя все силы, действующие на тетраэдр на оси с учетом последнего соотношения, после сокращения наполучим:

(9.1)

Полученная система носит название формул Коши.

9.3. Главные оси и главные напряжения

Рассмотрим два вида напряженных состояний:

а) объемное напряженное состояние

В каждой точке тела существуют также три взаимно- перпендикулярные площадки (главные), на которых действуют только нормальные напряжения, называемые главными.

Рис. 9.4

На рис. 9.4,а элемент, вырезанный произвольными площадками, на рис. 9.4,б — главными площадками.

Предположим, что наклонная площадка является главной, тогда на ней будет действовать только нормальное напряжение (рис. 9.5).

Рис. 9.5

Проекции на координатные оси равны

(9.2)

Приравнивая 9.2 и 9.1, получим:

(9.3)

Получаем систему трех алгебраических уравнений относительно направляющих косинусов . Причем известно, что. Значит одновременноне могут быть равны нулю. Поэтому система (9.3) имеет решение отличное от нуля. Система алгебраических уравнений имеет решение отличное от нуля, если определитель из ее коэффициентов равен нулю.

= 0 (9.4)

Раскрывая определитель (9.4) получим кубическое уравнение относительно

, (9.5)

где — коэффициенты кубического уравнения и определяются следующими соотношениями

= (9.6)

—называются первым, вторым, третьим инвариантом напряженного состояния. Решив кубическое уравнение, получим три действительных корня . После того как найдены, их переномеровывают согласно неравенству

. (9.7)

б) частный случай, когда одна из площадок является главной (рис. 9.6).

Рис. 9.6

В этом случае . При подстановке их в определитель (9.5) он распадается на два определителя второго порядка и первого:

(9.8)

Последний определитель сразу дает главный корень . Раскрывая второй определитель второго порядка: имеем

или .

Получим квадратное уравнение для нахождения остальных двух корней. Его решение имеет вид

(9.9)

Таким образом, если одна из площадей главная, то один корень известен , а два других находятся по формуле (9.9).