- •Введение
- •Глава 1. Основы сопротивления материалов
- •Предмет «Сопротивление материалов»
- •Объект курса
- •Внешние силы
- •Основные понятия и гипотезы (допущения)
- •Внутренние силы и их определение. Метод сечений
- •Эпюры внутренних усилий
- •Понятие о напряжении и напряженном состоянии
- •Понятие о деформации тела и о деформации физических точек
- •Глава 2. Растяжение, сжатие бруса
- •Напряжения и деформации при растяжении и сжатии. Закон Гука
- •2.6. Диаграмма сжатия
- •2.7. Расчеты на прочность при растяжении (сжатии)
- •Глава 3. Сдвиг и кручение стержней
- •3.1. Понятие о чистом сдвиге. Напряжения и деформации при сдвиге. Закон Гука
- •Практический расчет соединений работающих на сдвиг
- •Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Напряжение в брусе круглого поперечного сечения. Условия прочности. Определение угла закручивания. Условие прочности
- •Кручение бруса прямоугольного поперечного сечения
- •Потенциальная энергия бруса при кручении
- •Кручение бруса круглого поперечного сечения за пределом упругости
- •Глава 4. Геометрические характеристики плоских сечений
- •Основные понятия
- •Статические моменты сечения
- •Моменты инерции сечения. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей
- •Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции
- •Глава 5. Изгиб
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Дифференциальные зависимости между и
- •5.3. Напряжения в брусе при чистом изгибе
- •5.4. Напряжения при поперечном изгибе
- •5.5. Чистый косой изгиб
- •Внецентренное растяжение и сжатие
- •Глава 6. Перемещения при изгибе
- •6.1. Метод Мора для определения перемещений
- •6.2. Способ Верещагина
- •Глава 7. Статически неопределимые стержневые системы
- •7.1. Введение
- •7.2. Классификация стержневых систем. Системы статической неопределимости
- •7.3. Метод сил. Выбор основной системы
- •7.4. Канонические уравнения метода сил
- •7.5. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределенности
- •7.6. Определение перемещений в статически неопределимых системах
- •Глава 8. Устойчивость равновесия деформируемых систем
- •8.1. Основные понятия
- •8.2. Дифференциальное уравнение стержня потерявшего устойчивость
- •8.3. Задача Эйлера об устойчивости шарнирно опертого стержня сжатого силой р
- •8.4. Зависимость критической силы от условий закрепленного стержня
- •8.5. Пределы применимости формулы Эйлера
- •8.6. Практический метод расчета стержней на устойчивость
- •Глава 9. Элементы теории напряженного и деформированного состояния
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Напряжения на наклонных площадках
- •9.3. Главные оси и главные напряжения
- •9.4. Круговая диаграмма напряженного состояния
- •9.5. Экстремальные касательные напряжения
- •9.6. Октаэдрические площадки. Октаэдрические напряжения
- •9.7. Деформированное состояние
- •9.8. Формулы обобщенного закона Гука
- •Глава 10. Критерии пластичности и разрушения
- •10.1. Постановка вопроса
- •10.2. Условия пластичности и разрушения
- •10.3. Теория пластичности и разрушения Мора
- •Глава 11. Прочность материалов при циклически изменяющихся напряжениях
- •11.1. Понятие об усталостной прочности
- •11.2. Виды циклов напряжений
- •11.3. Предел выносливости
- •11.4. Диаграмма предельных амплитуд
- •11.5. Факторы, влияющие на усталостную прочность
- •11.5.1 Концентрация напряжений
- •11.5.2 Масштабный эффект
- •11.5.3 Влияние качества обработки поверхности
- •11.6. Расчет на прочность при переменных напряжениях
Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции
Пусть заданы моменты инерции . Требуется найти, относительно осей, повернутых к заданным на угол(рис. 4.5).
Рис. 4.5
Выберем произвольную площадку и выразим ее координаты в новых осяхичерез старые.
Проектируем замкнутый четырехугольник на осии. Так как проекция ломаной линии равна проекции замыкающей, находим:
.
В выражениях исключаем итогда
,
откуда
(4.5)
Рассмотрим первые два уравнения из 4.5, складывая их почленно, получим:
.
Таким образом, при повороте осей сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей остается постоянной. Заметим, что , где— расстояние от элементарной площадки до точки 0.
Таким образом
, (4.6)
где — полярный момент инерции.
При помощи выражения 4.6 легко найти осевые моменты инерции для круга.
.
С изменением каждая из величинименяется, а сумма их остается постоянной. Следовательно, существует такой угол, при котором один из элементов инерции достигает своего максимального значения, в то время как другой момент инерции принимает минимальное значение.
Дифференцируя первое выражение из 4.5 по , и приравнивая производную нулю, найдем
(4.7)
При этом значение один из осевых моментов достигает максимального значения, другой - минимального, а центробежный равен 0.
Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются главными осями.
Найдем величины главных моментов инерции. Для этого первые две формулы из 4.5 приведем к виду
.
Учитывая, что
,
.
Исключаем при помощи 4.7 угол , получим для определения значений главных моментов инерции.
. (4.8)
Глава 5. Изгиб
5.1. Основные понятия
Под изгибом понимается такой вид нагружения стержня, когда в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты. Если изгибающий момент является единственным силовым фактором, то изгиб называется чистым. Большей частью в поперечных сечениях бруса наряду с изгибающими моментами возникают и поперечные силы. В этом случае изгиб называют поперечным. В дальнейшем встретимся с более сложными видами изгиба.
Брус, работающий на изгиб, обычно называют балкой. Кроме балок на изгиб работают элементы рам. Рамой называется конструкция, состоящая из стержней, элементы которой работают преимущественно на изгиб.
Ранее мы уже познакомились с внутренними силовыми факторами , возникающими при изгибе, и строили их эпюры. Теперь перейдем к исследованию напряжений, возникающих при изгибе.
5.2. Дифференциальные зависимости между и
Изгибающий момент , поперечная силаи интенсивность внешней нагрузкисвязаны между собой определенной зависимостью. Вырежем из балки, загруженной распределенной нагрузкой, изменяющейся по какому—либо закону (рис. 5.1,а), элемент длиной(рис. 5.1,б).
Рис. 5.1
Нагрузку считают положительной, если она направлена вверх; на протяжении длины ее считают равномерно распределенной.
Составим два уравнения равновесия элемента:
.
.
В первом уравнении произведением как величиной второго порядка малости по сравнению с остальными слагаемыми можно пренебречь.
После элементарных преобразований из приведенных выше уравнений находим
. (5.1)
. (5.2)
Из двух полученных дифференциальных зависимостей вытекает третья:
. (5.3)
Зависимости (5.1) и (5.2) часто используются при проверке правильности построения эпюр моментов и поперечных сил.