- •Введение
- •Глава 1. Основы сопротивления материалов
- •Предмет «Сопротивление материалов»
- •Объект курса
- •Внешние силы
- •Основные понятия и гипотезы (допущения)
- •Внутренние силы и их определение. Метод сечений
- •Эпюры внутренних усилий
- •Понятие о напряжении и напряженном состоянии
- •Понятие о деформации тела и о деформации физических точек
- •Глава 2. Растяжение, сжатие бруса
- •Напряжения и деформации при растяжении и сжатии. Закон Гука
- •2.6. Диаграмма сжатия
- •2.7. Расчеты на прочность при растяжении (сжатии)
- •Глава 3. Сдвиг и кручение стержней
- •3.1. Понятие о чистом сдвиге. Напряжения и деформации при сдвиге. Закон Гука
- •Практический расчет соединений работающих на сдвиг
- •Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Напряжение в брусе круглого поперечного сечения. Условия прочности. Определение угла закручивания. Условие прочности
- •Кручение бруса прямоугольного поперечного сечения
- •Потенциальная энергия бруса при кручении
- •Кручение бруса круглого поперечного сечения за пределом упругости
- •Глава 4. Геометрические характеристики плоских сечений
- •Основные понятия
- •Статические моменты сечения
- •Моменты инерции сечения. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей
- •Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции
- •Глава 5. Изгиб
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Дифференциальные зависимости между и
- •5.3. Напряжения в брусе при чистом изгибе
- •5.4. Напряжения при поперечном изгибе
- •5.5. Чистый косой изгиб
- •Внецентренное растяжение и сжатие
- •Глава 6. Перемещения при изгибе
- •6.1. Метод Мора для определения перемещений
- •6.2. Способ Верещагина
- •Глава 7. Статически неопределимые стержневые системы
- •7.1. Введение
- •7.2. Классификация стержневых систем. Системы статической неопределимости
- •7.3. Метод сил. Выбор основной системы
- •7.4. Канонические уравнения метода сил
- •7.5. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределенности
- •7.6. Определение перемещений в статически неопределимых системах
- •Глава 8. Устойчивость равновесия деформируемых систем
- •8.1. Основные понятия
- •8.2. Дифференциальное уравнение стержня потерявшего устойчивость
- •8.3. Задача Эйлера об устойчивости шарнирно опертого стержня сжатого силой р
- •8.4. Зависимость критической силы от условий закрепленного стержня
- •8.5. Пределы применимости формулы Эйлера
- •8.6. Практический метод расчета стержней на устойчивость
- •Глава 9. Элементы теории напряженного и деформированного состояния
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Напряжения на наклонных площадках
- •9.3. Главные оси и главные напряжения
- •9.4. Круговая диаграмма напряженного состояния
- •9.5. Экстремальные касательные напряжения
- •9.6. Октаэдрические площадки. Октаэдрические напряжения
- •9.7. Деформированное состояние
- •9.8. Формулы обобщенного закона Гука
- •Глава 10. Критерии пластичности и разрушения
- •10.1. Постановка вопроса
- •10.2. Условия пластичности и разрушения
- •10.3. Теория пластичности и разрушения Мора
- •Глава 11. Прочность материалов при циклически изменяющихся напряжениях
- •11.1. Понятие об усталостной прочности
- •11.2. Виды циклов напряжений
- •11.3. Предел выносливости
- •11.4. Диаграмма предельных амплитуд
- •11.5. Факторы, влияющие на усталостную прочность
- •11.5.1 Концентрация напряжений
- •11.5.2 Масштабный эффект
- •11.5.3 Влияние качества обработки поверхности
- •11.6. Расчет на прочность при переменных напряжениях
9.4. Круговая диаграмма напряженного состояния
При расчете на прочность деталей, работающих в условиях сложного напряженного состояния, необходимым условием является определение главных напряжений. Однако это не означает, что всегда нужно решать кубическое уравнение, т.к. в большинстве встречающихся на практике случаях одна из площадок является главной, тогда положение двух других главных площадок определяется довольно просто (Рис.9.7).
Рис. 9.7
Рассмотрим равновесия прямоугольной призмы, показанной на рис. 9.7. Составим сумму проекций сил на направления и
Откуда
(9.10)
Обозначим
(9.10а)
Уравнения (9.10) и (9.10а) в координатах представляют собой уравнение окружности в параметрической форме. Роль параметра играет угол. Эту окружность принято называть кругом напряжений Мора (Рис. 9.8).
Рис. 9.8
Каждой наклонной площадке, определенной углом (рис. 9.8) на окружности соответствует некоторая точка, которую называют изображающей точкой. Координаты этой точки.
9.5. Экстремальные касательные напряжения
Прежде всего, укажем, что формулы 9.10 пригодны для плоского напряженного состояния, причем наклонные площадок, параллельны одной из главных осей. Действительно, из рис. 9.9 видно, что не дает проекций на плоскость. Таким образом формулы 9.10 остаются в силе.
Рис. 9.9
Построим поочередно три круга Мора для семейства площадок параллельных осям 1.2.3 (Рис. 9.10).
Рис. 9.10
Отмеченные точки являются вершинами кругов, которые соответствуют диагональным площадкам наклонным под углом 450 к главным осям. В теории упругости доказывается, что для произвольно наклонных площадок (не параллельных ни одной из главных осей) нормальное и касательное напряжения определяются координатами точек заштрихованной области.
Как видно из рис. 9.10 максимальные касательные напряжения равны
(9.11)
Переход тела из упругого состояния в пластическое иногда связывают с величиной , и поэтому наряду с главными напряжениямионо является важной характеристикой напряженного состояния.
9.6. Октаэдрические площадки. Октаэдрические напряжения
Площадка равно наклоненная к главным осям (), носит название октаэдрической. Напряжения, действующие на ней — октаэдрическими (рис.9.11).
а) б)
Рис. 9.11
Для такой площадки:
(9.12)
(9.13)
Величина
(9.14)
носит название интенсивности напряжений.
При изучении вопросов пластичности общая деформация материала в окружности точки разделяется на деформацию изменения объема и формы. С связывают изменения объема, а сизменения формы.
9.7. Деформированное состояние
Изменение формы тела связано с перемещением его точек. Расстояние между положением точки до деформации и после деформации называют полным перемещением (Рис. 9.12).
Рис. 9.12
Составляющие вектора полного перемещения по осям обозначим через .
Рассмотрим два ребра параллелепипеда и. Для простоты на
рис. 9.13 показан отдельно.
Рис. 9.13
После деформации отрезок занял положение. Составляющие вектора перемещений точкиотличаются от составляющих вектора перемещений точкина величины, соответствующие координате точки. Точкапереместилась вдоль осина величину, а по оси.
Аналогично и с ребром .
Относительное удлинение ребра по осиx равно
по аналогии .
Угол поворота в плоскостиравен
.
Угол поворота отрезка АС в плоскости равен
.
Сумма углов ипредставляет собой изменение прямого угла ВАС, т.е. угла сдвига в плоскости
.
Аналогично можно записать выражение углов сдвига и в двух других плоскостях. Окончательно имеем связь между перемещениями и деформациями в точке:
(9.15)
Совокупность деформаций, возникающих по различным осям и в различных плоскостях, проходящих через данную точку, носит название деформированного состояния в точке (тензор).
(9.16)
Анализ деформированного состояния показывает, что оно обладает свойствами аналогичными свойствам напряженного состояния.
Среди семейства осей, которые могут быть проведены через данную точку, существует три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых угловые деформации равны нулю. Эти оси называются главными осями деформаций, а линейные деформации в этой системе — главными деформациями.
Главные деформации определяются из кубического уравнения
, (9.17)
где
Из сопоставления с напряженным состоянием видно, что аналогом нормального напряжения здесь является линейная деформация, аналогом касательного напряжения половина угла сдвига.
Наряду с линейными и угловыми деформациями в сопротивлении материалов часто определяют объемную деформацию.