- •Введение
- •Глава 1. Основы сопротивления материалов
- •Предмет «Сопротивление материалов»
- •Объект курса
- •Внешние силы
- •Основные понятия и гипотезы (допущения)
- •Внутренние силы и их определение. Метод сечений
- •Эпюры внутренних усилий
- •Понятие о напряжении и напряженном состоянии
- •Понятие о деформации тела и о деформации физических точек
- •Глава 2. Растяжение, сжатие бруса
- •Напряжения и деформации при растяжении и сжатии. Закон Гука
- •2.6. Диаграмма сжатия
- •2.7. Расчеты на прочность при растяжении (сжатии)
- •Глава 3. Сдвиг и кручение стержней
- •3.1. Понятие о чистом сдвиге. Напряжения и деформации при сдвиге. Закон Гука
- •Практический расчет соединений работающих на сдвиг
- •Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Напряжение в брусе круглого поперечного сечения. Условия прочности. Определение угла закручивания. Условие прочности
- •Кручение бруса прямоугольного поперечного сечения
- •Потенциальная энергия бруса при кручении
- •Кручение бруса круглого поперечного сечения за пределом упругости
- •Глава 4. Геометрические характеристики плоских сечений
- •Основные понятия
- •Статические моменты сечения
- •Моменты инерции сечения. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей
- •Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции
- •Глава 5. Изгиб
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Дифференциальные зависимости между и
- •5.3. Напряжения в брусе при чистом изгибе
- •5.4. Напряжения при поперечном изгибе
- •5.5. Чистый косой изгиб
- •Внецентренное растяжение и сжатие
- •Глава 6. Перемещения при изгибе
- •6.1. Метод Мора для определения перемещений
- •6.2. Способ Верещагина
- •Глава 7. Статически неопределимые стержневые системы
- •7.1. Введение
- •7.2. Классификация стержневых систем. Системы статической неопределимости
- •7.3. Метод сил. Выбор основной системы
- •7.4. Канонические уравнения метода сил
- •7.5. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределенности
- •7.6. Определение перемещений в статически неопределимых системах
- •Глава 8. Устойчивость равновесия деформируемых систем
- •8.1. Основные понятия
- •8.2. Дифференциальное уравнение стержня потерявшего устойчивость
- •8.3. Задача Эйлера об устойчивости шарнирно опертого стержня сжатого силой р
- •8.4. Зависимость критической силы от условий закрепленного стержня
- •8.5. Пределы применимости формулы Эйлера
- •8.6. Практический метод расчета стержней на устойчивость
- •Глава 9. Элементы теории напряженного и деформированного состояния
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Напряжения на наклонных площадках
- •9.3. Главные оси и главные напряжения
- •9.4. Круговая диаграмма напряженного состояния
- •9.5. Экстремальные касательные напряжения
- •9.6. Октаэдрические площадки. Октаэдрические напряжения
- •9.7. Деформированное состояние
- •9.8. Формулы обобщенного закона Гука
- •Глава 10. Критерии пластичности и разрушения
- •10.1. Постановка вопроса
- •10.2. Условия пластичности и разрушения
- •10.3. Теория пластичности и разрушения Мора
- •Глава 11. Прочность материалов при циклически изменяющихся напряжениях
- •11.1. Понятие об усталостной прочности
- •11.2. Виды циклов напряжений
- •11.3. Предел выносливости
- •11.4. Диаграмма предельных амплитуд
- •11.5. Факторы, влияющие на усталостную прочность
- •11.5.1 Концентрация напряжений
- •11.5.2 Масштабный эффект
- •11.5.3 Влияние качества обработки поверхности
- •11.6. Расчет на прочность при переменных напряжениях
5.3. Напряжения в брусе при чистом изгибе
Рассмотрим наиболее простой из изгибов — чистый. В этом случае изгибающий момент по длине балки остается постоянным, а перерезывающая сила равна нулю. Так в средней части балки, показано на рис. 5.2, возникает изгиб.
Рис. 5.2
Изучим закон распределения напряжений в поперечном сечении бруса при чистом изгибе.
Будем полагать, что поперечное сечение имеет хотя бы одну ось симметрии и нагрузки приложены в плоскости, проходящей через нее.
Если на боковую поверхность бруса, находящегося в условиях чистого изгиба, нанести ортогональную сетку (рис. 5.3), то линии перпендикулярные к оси бруса переместятся в плоскости, но останутся прямыми.
Рис. 5.3
Можно предполагать, что и поперечные сечения плоские до деформации останутся плоскими и после деформации, т.е. справедлива гипотеза плоских сечений Бернулли.
Образование деформаций при чистом изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сечений друг относительно друга (рис. 5.3). Рассмотрим два смежных сечения, отстоящих один от другого на расстоянии (рис. 5.4).
Рис. 5.4
Примем левое сечение условно за неподвижное. Тогда в результате поворота правого сечения на угол верхние слои удлинятся, а нижние — укоротятся. Очевидно, существует слой, в котором удлинения отсутствуют. Назовем его нейтральным слоем. Отметим его отрезком. В результате поворота сечений изменение кривизны нейтрального слоя будет следующим:
.
Произвольно взятый отрезок (рис. 5.4) получим приращение длины. Так как сечения остаются плоскими,
,
где — расстояние от рассматриваемого отрезкадо нейтрального слоя. Положение этого слоя пока неизвестно.
Относительное удлинение слоя равно
. (5.4)
Если предположить, что продольные волокна бруса не давят друг на друга, то каждое из них находится в условиях простого растяжения или сжатия.
В этом случае справедлив закон Гука
.
Подставляя из предыдущей формулы, имеем
. (5.5)
Таким образом, при чистом изгибе напряжения меняются в поперечном сечении по линейному закону.
Геометрическое место точек в сечении удовлетворяющее условию , называется нейтральной линией сечения. Нейтральная линия очевидно перпендикулярна к плоскости кривизны изогнутого бруса.
Свяжем теперь напряжения с внутренними силовыми факторами, возникающими при чистом изгибе.
Рис. 5.5
Сумма элементарных сил (рис.5.5) дает нормальную силув сечении. Но при чистом изгибе, поэтомуили после подстановкиимеем. Откуда— статический момент площади относительно нейтральной оси. Так как статический момент площади равен нулю, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.
Теперь система координат может быть конкретизирована. Начало координат поместим в центр тяжести сечения. Осьнаправим по нормали к сечению. Осьпо нейтральной линии. Осьбудет лежать в плоскости изменения кривизны.
Пока мы рассматривали плоский изгиб, когда плоскость момента и кривизны совпадают.
При указанном случае момент элементарных сил относительно осиравен нулю, а относительно осиполному изгибающему моменту.
(5.6)
Второе выражение приводится к виду . Оно равно нулю в том случае, если плоскость изгибающего момента проходит через одну из главных осей. Такой изгиб называется плоским (прямым).
Из выражения (5.6) получаем зависимость кривизны бруса от изгибающего момента:
(5.7)
Возвращаясь к формуле (5.5) и, исключая из нее кривизну , получаем выражение для напряжения:
(5.8)
Максимальные напряжения при изгибе возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной линии (рис. 5.6).
Рис. 5.6
; отношение называется моментом сопротивления сечения. Таким образом,
(5.9)
Используя последнее выражение можно записать условие прочности при изгибе
5.10)
Моменты сопротивления простейших сечений:
— для прямоугольного сечения со сторонами и
— для круглого сечения
Таким образом, напряжения при изгибе обратно пропорциональны третьей степени линейных размеров сечения.
Наиболее экономичными являются сечения, для которых с наименьшей затратой материала получается наибольшая величина момента сопротивления .
Для рационально работающей на изгиб балки необходимо, по возможности, распределить площадь подальше от нейтральной оси. Так возникли стандартные двутавровые и швеллерные тонкостенные профили, показанные на ри.5.7.
Рис. 5.7