8. Понятие о деформации тела и о деформации физических точек

Под деформацией тела подразумевается изменения его формы и размеров под действием внешних сил, температуры и т.д. В дальнейшем будем различать деформацию тела в целом и деформацию его бесконечно малых частиц. Деформацию тела в целом будем характеризовать перемещениями его материальных частиц (рис. 1.8,а, б). Произвольная точка в результате деформации тела смещается в некоторое новое положение . Это смещение характеризуем вектором перемещений.

С другой стороны, деформация тела складывается из деформации его материальных частиц (рис. 1.8,в)

Рис.1.8

Характеристиками ее деформации являются три абсолютных удлинений ее ребер и три изменения угла между ними, называемые сдвигами.

Относительными удлинениями ребер назовем величины

, ,.

Три относительных удлинения и три деформации сдвига

называют компонентами деформированного состояния материальной частицы тела.

Глава 2. Растяжение, сжатие бруса

Как уже упоминалось, под растяжением понимается такой вид нагружения бруса, когда в его поперечных сечениях возникают только нормальные силы. Сжатие отличается от растяжения, только знаком силы . При растяжении нормальная силанаправлена от сечения, а при сжатии — к сечению. Таким образом, при анализе внутренних сил сохраняется единство подхода к вопросам растяжения, сжатия.

1. Напряжения и деформации при растяжении и сжатии. Закон Гука

Пусть брус растянут силами (рис. 2.1). Площадь поперечного сечения. Нормальная сила в сеченииравна(рис. 2.1,б).

Рис. 2.1

Нормальная сила является равнодействующей всех внутренних сил, действующих на бесконечно малых площадках

. (2.1)

Эксперименты показывают, что если на достаточном удалении от точки приложения сил нанести на поверхность бруса ортогональную сетку, то после деформации она также останется ортогональной, только изменятся расстояния между линиями. Горизонтальные сечения плоские до деформации останутся плоскими после деформации (гипотеза плоских сечений Бернулли). Отсюда естественно предположить, что нормальные напряжения распределяются равномерно по сечению.

Из (2.1) следует

или . (2.2)

Понятно, что высказанное предположение о равномерном распределении внутренних сил в поперечном сечении справедливо лишь постольку, поскольку из рассмотренного исключаются особенности приложения внешних сил (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Здесь руководствуются принципом Сен-Венана (французский ученый прошлого века). Особенности приложения внешних сил к растянутому стержню проявляются на расстояниях, не превышающих характерных размеров поперечного сечения стержня. Т.е. при изучении растяжения стержня достаточно принимать во внимание только равнодействующую внешних сил , не интересуясь особенностями приложенной нагрузки.

Приведенные рассуждения могут быть отнесены также и к особым участкам, содержащим резкое изменение геометрии ферм, отверстия и т.п. (рис. 2.3).

Рис. 2.3

Теперь рассмотрим деформации при растяжении. Под действием внешней нагрузки длина стержня увеличивается, а поперечные сечения уменьшаются (рис. 2.4). Пунктирной линией показан деформированный стержень.

Рис. 2.4

Мысленно вырежем элемент длиною . Продольная линейная деформация этого элемента

; .

Абсолютное увеличение стержня равно (,)

.

Таким образом, продольная деформация стержня при простом растяжении равна

. (2.3)

Поперечные деформации найдем

Для изотропных материалов

.

Отношение поперечной деформации к продольной, взятое по абсолютной величине, называется коэффициентом Пуассона

. (2.4)

Для всех изотропных материалов

.

Между напряжениями и деформациями существует в пределах упругости зависимость, называемая законом Гука:

(2.5)

Подставляя (2.3) в (2.5) имеем

или , (2.6)

где — жесткость стержня при растяжении.

Для ступенчатого стержня нагруженного несколькими силами формула для определения абсолютной деформации имеет вид:

. (2.7)

Если иизменяется по какому-либо закону, то

,

—нормальная площадь напряженного сечения. (2.8)

2. Потенциальная энергия деформации

Рассмотрим процесс деформирования упруго тела с энергетической точки зрения. Внешние силы, приложенные к упругому телу, совершают работу — . В результате этой работы накапливается потенциальная энергия —. Также работа идет на сообщение скорости массе тела, т.е. кинетической энергии.

.

Если скорость неограниченно мала, т.е. процесс статический, то

.

Поскольку на пути сила меняется отдо(рис. 2.5), то работа должна быть определена интегрированием по элементарным участкам пути.

Рис. 2.5

На элементарном пути работа текущей силыравна.

Очевидно, работа на перемещение численно равна площади заштрихованного треугольника, т.е., но, тогда.

Подставляя вместо внешней силы , равной ей внутреннюю силуполучим:

, (2.9)

если , то. (2.9’)

3. Анализ напряженного состояния при растяжении (сжатии)

Возьмем растянутый брус (рис. 2.6,а). Из него вырежем параллелепипед с гранями . На гранях этого параллелепипеда будет действовать только нормальное напряжение —. Такое напряженное состояние называется растяжением.

а) б)

Рис. 2.6

Рассечем параллелепипед наклонной плоскостью и рассмотрим равновесие одной из частей (рис. 2.6,б). Разложим вектор полного напряжения

После сокращения получим . (2.10)

, т.к.

. (2.11)

Из этих формул видно, что нормальные напряжения имеют максимальное значение при ,, а касательное напряжение в поперечных сечениях отсутствует. Касательные напряжения имеют максимальные значения при.

4. Статически определимые и статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии

Задача называется статически определимой, если все опорные реакции, а также внутренние силовые факторы в любом сечении, можно определить только с помощью уравнений статики.

Статически неопределимые называются задачи, которые нельзя решить с помощью только уравнений статики. Дополнительные уравнения составляются из рассмотрения деформаций системы.

Назовем степенью статической неопределенности разность между числом неизвестных и числом независимых уравнений статики, которые можно составить для данной задачи.

. (2.12)

Рис. 2.7

На рис. 2.7 представлены системы: а) статически определимая, б) один раз статически неопределима , в) два раза статически неопределима.

Покажем другие системы (рис. 2.8, 2.9).

Рис. 2.8 Рис. 2.9

На данные системы наложены по одной “лишней” связи, т.е. они являются один раз статически неопределимыми.

5. Диаграмма растяжения

Для изучения свойств материалов под нагрузкой производят испытания образцов, изготовленных из этих материалов. Эти испытания проводят с целью определить числовые характеристики, позволяющие оценить прочность и пластичность материала. Такие характеристики называют механическими.

Важнейшие механические свойства реальных тел могут быть выявлены из опытов на растяжение — сжатие. Эти опыты проводят на специальных машинах. На рис. 2.10 приведена схема одной из испытательных машин ZD-10/90.

Рис. 2.10

Данная машина предназначена для проведения испытаний на растяжение, сжатие и изгиб с максимальным усилием до 100 кН. Она состоит из самой машины и пульта управления. Основные узлы: 1 — основание; 4, 5 — нижняя и верхняя траверса; 6 — поперечная траверса; 7 — пульт управления. Основание (1) выполнено в виде литой конструкции, где установлены колонны (2) и червячный привод. Приводной двигатель расположен на основании пульта управления (7), который через клиноременные шкивы передает вращение на вал червячной передачи. Червячное колесо надето на гайку ходового винта (3). Ходовой винт соединен через съемный шпиндель с нижней траверсой (4). Направление движения траверсы осуществляется по ходовым каткам. Верхняя траверса (5) закреплена на поперечной траверсе (6) и жестко соединена с датчиком измерения усилия. На верхней и нижней траверсе устанавливаются захваты для испытываемых образцов. На пульте управления (7) размещаются: стрелочный динамометр (8), панель управления, ручной привод (10), регистрирующее устройство (9). Общий вид машины представлен на рис. 2.11.

Рис. 2.11

Испытания проводят на стандартных образцах круглой или плоской формы (рис. 2.12,а, б).

Рис. 2.12

На рис. 2.13 показана типичная для углеродистой стали диаграмма растяжения, полученная в результате испытания.

Рис. 2.13

Напряжения вычисляем по формуле ,первоначальная площадь.

Деформации вычисляем по формуле:

, где — первоначальная длина образца.

На участке справедлив закон Гука, т.е. напряжения, растут прямо пропорционально деформации. Пределом пропорциональностиназывают наибольшее напряжение, при котором справедлив закон Гука. (Для стали Ст321). Угол наклона этой прямой можно определить как.

Выше точки диаграмма искривлена и нарушается закон Гука. Очень близко к точке, на криволинейном участке, можно отметить точку, соответствующую пределу упругости. Пределом упругостиназывают максимальное напряжение, при котором в материале не возникает остаточной деформации, определяемой при разгрузке. По Госту условным пределом упругости называют напряжение, при котором остаточная деформация достигает 0,05 % и обозначают. Точканаходится вблизи точкипоэтому их часто считают совпадающими.

Начиная с некоторой точки диаграмма имеет почти горизонтальный участок, на нем деформации растут без увеличения нагрузки. Пределом текучести называется напряжение при котором деформации растут без увеличения напряжения. Для стали Ст3

=24. Площадка текучести наблюдается только для малоуглеродистых сталей. Большинство материалов не имеет площадки текучести.

После площадки текучести нагрузка на образец, а, следовательно, напряжения, вновь начинают расти. Происходит самоупрочение материала до точки . Пределом прочности (временным сопротивлением)называют отношение наибольшей нагрузки, выдерживаемой образцом, к первоначальной площади поперечного сечения. Предел прочности является некоторой условной характеристикой, т.к. она не является напряжением, при котором материал разрушается, т.к. площадь поперечного сечения при разрушении значительно меньше (для стали Ст3).

До точки деформация стержня является равномерной. После точкиона концентрируется в одном месте (наиболее слабом) начинает образовываться шейка — местное сужение образца (рис. 2.14,а). Наконец в точкенаступает разрыв образца. Этой точке соответствует— условное напряжение при разрыве.

Рис. 2.14

При разрыве на одной части образца виден конус, а на другой кратер (рис. 2.14,б): угол с осью . Такая форма разрушения образцов из малоуглеродистой стали, показывает, что разрушение связано со сдвигом по площадкам, наклоненным подк оси стержня, где касательные напряжений будут наибольшими. Такой тип разрушения пластичных материалов называют разрушение путем сдвига.

Для сравнения диаграмм растяжения на рис. 2.15 представлены диаграммы некоторых других материалов.

Рис. 2.15

Сталь Ст.6 по сравнению со сталью Ст.3 обладает значительно более высокими характеристиками прочности. Площадка текучести у высокопрочных сталей, как правило, отсутствует или имеет очень малую протяженность. Высокими механическими свойствами обладает титановый сплав ВТ4. Диаграмма растяжения чугуна (С4) вообще не имеет прямого участка, она искривляется уже в самом начале. Чугун, строго говоря, вообще не подчиняется закону Гука.