- •Введение
- •Глава 1. Основы сопротивления материалов
- •Предмет «Сопротивление материалов»
- •Объект курса
- •Внешние силы
- •Основные понятия и гипотезы (допущения)
- •Внутренние силы и их определение. Метод сечений
- •Эпюры внутренних усилий
- •Понятие о напряжении и напряженном состоянии
- •Понятие о деформации тела и о деформации физических точек
- •Глава 2. Растяжение, сжатие бруса
- •Напряжения и деформации при растяжении и сжатии. Закон Гука
- •2.6. Диаграмма сжатия
- •2.7. Расчеты на прочность при растяжении (сжатии)
- •Глава 3. Сдвиг и кручение стержней
- •3.1. Понятие о чистом сдвиге. Напряжения и деформации при сдвиге. Закон Гука
- •Практический расчет соединений работающих на сдвиг
- •Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Напряжение в брусе круглого поперечного сечения. Условия прочности. Определение угла закручивания. Условие прочности
- •Кручение бруса прямоугольного поперечного сечения
- •Потенциальная энергия бруса при кручении
- •Кручение бруса круглого поперечного сечения за пределом упругости
- •Глава 4. Геометрические характеристики плоских сечений
- •Основные понятия
- •Статические моменты сечения
- •Моменты инерции сечения. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей
- •Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции
- •Глава 5. Изгиб
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Дифференциальные зависимости между и
- •5.3. Напряжения в брусе при чистом изгибе
- •5.4. Напряжения при поперечном изгибе
- •5.5. Чистый косой изгиб
- •Внецентренное растяжение и сжатие
- •Глава 6. Перемещения при изгибе
- •6.1. Метод Мора для определения перемещений
- •6.2. Способ Верещагина
- •Глава 7. Статически неопределимые стержневые системы
- •7.1. Введение
- •7.2. Классификация стержневых систем. Системы статической неопределимости
- •7.3. Метод сил. Выбор основной системы
- •7.4. Канонические уравнения метода сил
- •7.5. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределенности
- •7.6. Определение перемещений в статически неопределимых системах
- •Глава 8. Устойчивость равновесия деформируемых систем
- •8.1. Основные понятия
- •8.2. Дифференциальное уравнение стержня потерявшего устойчивость
- •8.3. Задача Эйлера об устойчивости шарнирно опертого стержня сжатого силой р
- •8.4. Зависимость критической силы от условий закрепленного стержня
- •8.5. Пределы применимости формулы Эйлера
- •8.6. Практический метод расчета стержней на устойчивость
- •Глава 9. Элементы теории напряженного и деформированного состояния
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Напряжения на наклонных площадках
- •9.3. Главные оси и главные напряжения
- •9.4. Круговая диаграмма напряженного состояния
- •9.5. Экстремальные касательные напряжения
- •9.6. Октаэдрические площадки. Октаэдрические напряжения
- •9.7. Деформированное состояние
- •9.8. Формулы обобщенного закона Гука
- •Глава 10. Критерии пластичности и разрушения
- •10.1. Постановка вопроса
- •10.2. Условия пластичности и разрушения
- •10.3. Теория пластичности и разрушения Мора
- •Глава 11. Прочность материалов при циклически изменяющихся напряжениях
- •11.1. Понятие об усталостной прочности
- •11.2. Виды циклов напряжений
- •11.3. Предел выносливости
- •11.4. Диаграмма предельных амплитуд
- •11.5. Факторы, влияющие на усталостную прочность
- •11.5.1 Концентрация напряжений
- •11.5.2 Масштабный эффект
- •11.5.3 Влияние качества обработки поверхности
- •11.6. Расчет на прочность при переменных напряжениях
8.2. Дифференциальное уравнение стержня потерявшего устойчивость
Рассмотрим стержень, защемленный одним концом и шарнирно опертый на другом. Приложим продольную силу . Отклоним его от положения равновесия и рассмотрим равновесие отсеченной части.
Рис. 8.3
Выпишем дифференциальное уравнение, изогнутой оси стержня.
Изгибающий момент в произвольном сечении , равен
,
где .
.
Получим линейное неоднородное уравнение второго порядка. Продифференцировав его два раза по придем к однородному.
или
, (8.1)
где (8.2)
Общий интеграл уравнения (8.1) имеет вид
(8.3)
8.3. Задача Эйлера об устойчивости шарнирно опертого стержня сжатого силой р
Дифференциальное уравнение (8.1) имеет решения (8.3). Найдем постоянные интегрирования из граничных условий для шарнирно опертого стержня (рис. 8.4).
При или
1). 2).
Откуда:
Рис. 8.4
Если , то получим тривиальное решение, т.е. устойчива только прямолинейная форма равновесия.
При , имеем
откуда, где
, но
Тогда получим
, (8.4)
где — число полуволн (рис. 8.5)
Рис. 8.5
Минимальное значение критической силы будет при . В итоге получим формулу критической силы для шарнирно опертого стержня.
(8.5)
8.4. Зависимость критической силы от условий закрепленного стержня
На рис. 8.6 показаны различные случаи закрепления сжатого стержня. Для каждого случая необходимо проводить решение, как это сделано в предыдущем параграфе. Решение этих задач показало, что всех случаев, изображенных на рисунке, критическую силу можно определять по обобщенной формуле.
, (8.6)
Где — коэффициент приведенной длины, а величина— приведенная длина. Приведенная длина— условная длина шарнира опертого стержня, имеющего такую же критическую нагрузку, как заданный стержень. В отдельных случаях это видно из геометрии.
Рис. 8.6
8.5. Пределы применимости формулы Эйлера
Как уже упоминалось, формула Эйлера справедлива при условии, что деформации сжатия вплоть до момента потери устойчивости, подчиняются закону Гука. Иными словами, критическое напряжение не должно превышать предела пропорциональности для данного материала. Найдем выражение для
;
Введем понятие радиуса инерции
, тогда
, (8.7)
Где — гибкость стержня.
Условием применимости формулы Эйлера будет
или (8.8)
Откуда предельная гибкость стержня, при которой еще может использоваться формула Эйлера, будет
(8.9)
Условие (8.8) получает вид (8.10)
Рис. 8.7
Из этих рисунков видно, что при напряжениях в стержне выше формулой Эйлера для определенияпользоваться нельзя.
8.6. Практический метод расчета стержней на устойчивость
При назначении размеров сжатого стержня в первую очередь необходимо заботится о том, чтобы он в процессе эксплуатации не потерял устойчивость. Поэтому напряжения в стержне должны быть обязательно меньше критических
. (а)
Здесь — сжимающая сила в стержне,— критическое напряжение,— коэффициент запаса устойчивости,— площадь поперечного сечения брутто (без учета ослабленного сечения отверстиями, вырубками и
т.д. Они мало влияют на величину критической силы).
При расчете растянутых стержней на прочность применяется формула
(б)
Поделим (а) на (б) и обозначим отношение правых частей через
или ,
где — коэффициент уменьшения основного расчетного сопротивления при продольном изгибе. Оно называется “коэффициентом продольного изгиба” и зависит от гибкости стержня.
т.е. .
Расчетная формула для сжатых стержней принимает вид
, или
, (8.11)
где берется по таблице.
Расчетная формула для сжатого стержня внешне совпадает с расчетной формулой для растянутого стержня. Она удобна тем, что позволяет пользоваться одним допускаемым напряжением, как для растянутого, так и для сжатого стержня.