9.8. Формулы обобщенного закона Гука

До сих пор мы отдельно исследовали напряженные и деформационные состояния и не связывали их со свойствами материала. Однако, для решения задач необходимо установить зависимость между компонентами напряжения и деформацией. В пределах малых деформаций эта зависимость является линейной и носит название обобщенного закона Гука.

Наиболее простую форму приобрел закон Гука для изотропного материала. В этом случае коэффициент пропорциональности между ине зависят от ориентации осей в точке.

Для составления зависимости между ивоспользуемся принципом (суперпозиции) независимости действующих сил и рассмотрим раздельные силы, возникающие на гранях параллелепипеда (рис. 9.14).

Рис. 9.14

Относительное удлинение в направлении оси равно

.

Такие же выражения получим и для и. Угловые деформации будут происходить в трех взаимно перпендикулярных плоскостях.

В любой из координатных плоскостей деформация определяется только соответствующим касательным напряжением. Два других напряжения не влияют, что является следствием свойств изотропии материала.

Выпишем окончательные формулы обобщенного закона Гука.

(9.18)

Объемную деформацию получим сложением первых трех формул

. (9.19)

Глава 10. Критерии пластичности и разрушения

10.1. Постановка вопроса

Материал детали в зависимости от величины нагрузки может находиться в различных механических состояниях: упругом, пластическом и разрушения. Такая смена состояний характерна при испытании на растяжение пластичных материалов, в этом случае напряженное состояние является одноосным (рис. 10.1,а).

Рис. 10.1

Возникает вопрос: можно ли при работе материала в условиях сложного напряженного состояния (рис.10.1,б) пользоваться механическими характеристиками, полученными при одноосном растяжении?

Этот вопрос является главным, т.к. он означает, что напряженное состояние в точке является причиной изменения механических состояний материала.

Задача состоит в том, чтобы установить меру напряженного состояния, при достижении которой происходит переход от упругого состояния к пластическому, от пластичности к разрушению, т.е. выработать критерий пластичности и разрушения. Между ними нужно делать четкое разграничение, т.к. физические процессы, протекающие в этих состояниях, существенно различны и нет оснований для их отождествления.

10.2. Условия пластичности и разрушения

Условия (критерии) пластичности и разрушения являются важными обобщениями понятий пределов текучести и прочности при одноосном растяжении (сжатии) на случай напряженного состояния (рис. 10.2)

При одноосном растяжении предельные условия перехода в пластическое состояние и разрушение имеют соответственно вид (рис. 10.2)

,

а условие прочности — .

Рис. 10.2

В случае простейших видов напряженного состояния легко поставить эксперимент и путем сопоставления напряжений, возникающих в детали, с допускаемыми можно судить о ее прочности. Если пойти по этому пути в случае сложного напряженного состояния, то для каждого напряженного состояния нужно было бы иметь диаграммы испытания с числовыми характеристиками предельных точек. Такой подход совершенно не приемлем. Во-первых — невозможно исчерпать все типы напряженных состояний, т.к. их бесчисленное множество. Во-вторых — техника эксперимента в настоящее время позволяет проводить испытания лишь для некоторых типов напряженных состояний, которые часто требуют применения уникального оборудования.

Из указанного следует, что критерии пластичности и разрушения при сложном напряженном состоянии должны базироваться на ограниченном числе опытов.

Для оценки опасности сложного напряженного состояния вводят эталон, за который удобнее всего принять простое растяжение с напряжением (Рис. 10.3).

Рис. 10.3

Эквивалентное — это такое напряжение, которое нужно создать в растянутом образце, чтобы его состояние стало равноопасно с заданным сложным напряженным состоянием.

Вопрос состоит в том, как выразить через.

Для этого рассмотрим некоторые гипотезы пластичности и условия разрушения. Из множества выдвигавшихся гипотез пластичности в настоящее время сохранили свое значение лишь две.

1. Гипотеза пластичности Треска—Сен—Венана

Согласно ей переход из упругого состояния в пластическое наступает тогда, когда максимальное касательное напряжение достигает некоторого постоянного значения (Рис. 10.4).

Рис. 10.4

Приравнивая , получим

Это и есть то расчетное напряжение, которое по критерию максимальных касательных напряжений должно быть сопоставлено с пределом текучести при растяжении.

2. Гипотеза пластичности Хубера—Мизеса

Согласно этой гипотезе переход тела из упругого состояния в пластическое происходит, когда достигнет некоторого постоянного значения.

Рис.10.5

Откуда

В настоящее время эти две гипотезы часто применяются при расчетах на прочность деталей из пластичных материалов. Возникает вопрос: почему гипотеза Мизеса, приводящая к более сложному выражению для , принимается наряду с гипотезой Сен—Венана. По мнению многих авторов, она более точно отражает условие перехода в пластическое состояние. Но дело не только в этом, т.к. в процентном отношении разница не столь уже и велика. Она достигает максимума при чистом сдвиге, когда,и составляет примерно 13%. Более важным является другое обстоятельство, когда рассчитывается на прочность конструкция, то часто трудно определить, какому напряжению присвоить индекс один, два, три, т.к. нагрузки меняются по различным законам в зависимости от условий работы. В этом случае гипотеза Мизеса не обнаруживает разности в подсчетепри перестановке местами индексов 1, 2, 3, что освобождает нас от необходимости определять, какое из напряжений является наибольшим, а какое — наименьшим.

Итак, мы рассмотрели два критерия пластичности, базирующихся на правдоподобных гипотезах и согласующихся с экспериментом.

Но к данному вопросу можно подойти и с иных позиций — с позиций упрощенной систематизации экспериментальных данных. Этот метод был впервые сформулирован Мором и носит его имя.