- •Введение
- •Глава 1. Основы сопротивления материалов
- •Предмет «Сопротивление материалов»
- •Объект курса
- •Внешние силы
- •Основные понятия и гипотезы (допущения)
- •Внутренние силы и их определение. Метод сечений
- •Эпюры внутренних усилий
- •Понятие о напряжении и напряженном состоянии
- •Понятие о деформации тела и о деформации физических точек
- •Глава 2. Растяжение, сжатие бруса
- •Напряжения и деформации при растяжении и сжатии. Закон Гука
- •2.6. Диаграмма сжатия
- •2.7. Расчеты на прочность при растяжении (сжатии)
- •Глава 3. Сдвиг и кручение стержней
- •3.1. Понятие о чистом сдвиге. Напряжения и деформации при сдвиге. Закон Гука
- •Практический расчет соединений работающих на сдвиг
- •Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Напряжение в брусе круглого поперечного сечения. Условия прочности. Определение угла закручивания. Условие прочности
- •Кручение бруса прямоугольного поперечного сечения
- •Потенциальная энергия бруса при кручении
- •Кручение бруса круглого поперечного сечения за пределом упругости
- •Глава 4. Геометрические характеристики плоских сечений
- •Основные понятия
- •Статические моменты сечения
- •Моменты инерции сечения. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей
- •Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции
- •Глава 5. Изгиб
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Дифференциальные зависимости между и
- •5.3. Напряжения в брусе при чистом изгибе
- •5.4. Напряжения при поперечном изгибе
- •5.5. Чистый косой изгиб
- •Внецентренное растяжение и сжатие
- •Глава 6. Перемещения при изгибе
- •6.1. Метод Мора для определения перемещений
- •6.2. Способ Верещагина
- •Глава 7. Статически неопределимые стержневые системы
- •7.1. Введение
- •7.2. Классификация стержневых систем. Системы статической неопределимости
- •7.3. Метод сил. Выбор основной системы
- •7.4. Канонические уравнения метода сил
- •7.5. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределенности
- •7.6. Определение перемещений в статически неопределимых системах
- •Глава 8. Устойчивость равновесия деформируемых систем
- •8.1. Основные понятия
- •8.2. Дифференциальное уравнение стержня потерявшего устойчивость
- •8.3. Задача Эйлера об устойчивости шарнирно опертого стержня сжатого силой р
- •8.4. Зависимость критической силы от условий закрепленного стержня
- •8.5. Пределы применимости формулы Эйлера
- •8.6. Практический метод расчета стержней на устойчивость
- •Глава 9. Элементы теории напряженного и деформированного состояния
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Напряжения на наклонных площадках
- •9.3. Главные оси и главные напряжения
- •9.4. Круговая диаграмма напряженного состояния
- •9.5. Экстремальные касательные напряжения
- •9.6. Октаэдрические площадки. Октаэдрические напряжения
- •9.7. Деформированное состояние
- •9.8. Формулы обобщенного закона Гука
- •Глава 10. Критерии пластичности и разрушения
- •10.1. Постановка вопроса
- •10.2. Условия пластичности и разрушения
- •10.3. Теория пластичности и разрушения Мора
- •Глава 11. Прочность материалов при циклически изменяющихся напряжениях
- •11.1. Понятие об усталостной прочности
- •11.2. Виды циклов напряжений
- •11.3. Предел выносливости
- •11.4. Диаграмма предельных амплитуд
- •11.5. Факторы, влияющие на усталостную прочность
- •11.5.1 Концентрация напряжений
- •11.5.2 Масштабный эффект
- •11.5.3 Влияние качества обработки поверхности
- •11.6. Расчет на прочность при переменных напряжениях
Глава 7. Статически неопределимые стержневые системы
7.1. Введение
Под стержневой системой в общем случае понимается любая конструкция, состоящая из элементов имеющих форму бруса. Стержневые системы принято разделять на статически определимые и статически неопределимые. В статически определимых системах все усилия определяются только с помощью уравнений равновесия. В статически неопределимых системах для определения усилий уравнений статики недостаточно.
7.2. Классификация стержневых систем. Системы статической неопределимости
Стержневые системы можно разделить на три группы: плоские; плоскопространственные; пространственные. Рассмотрим только плоские системы. В них все стержни и внешние силы лежат в одной плоскости. К ним относятся: фермы, балки, рамы (рис. 7.1).
Рис. 7.1
Ферма (рис.7.1, а) — стержневая конструкция, элементы которой работают преимущественно на продольную силу. Нагрузка прикладывается в узлах фермы. Балка — прямой брус, работающий на изгиб (рис. 7.1, б). Рама — стержневая система, элементы которой работают преимущественно на изгиб (рис. 7.1, в).
Степень статической неопределимости — число “лишних связей”, удаление которых делают систему статически определимой и геометрически (кинематически) неизменяемой. Геометрически неизменяемой называют систему, изменение формы которой происходит только в связи с деформацией ее элементов.
Известно, что положение бруса в пространстве определяется шестью независимыми координатами, т.е. брус обладает шестью степенями свободы.
На брус могут быть наложены связи, фиксирующие его положение на плоскости (рис.7.2). Если на левый конец балки наложено условие, запрещающее вертикальные перемещения (рис. 7.2, а), то в этой точке имеется одна внешняя связь. Если запрещено как вертикальное, так и горизонтальное, то наложены две связи (рис. 7.2, б). Заделка полностью фиксирует положение стержня в плоскости (рис. 7.2, в).
Рис. 7.2
Примеры определения степени статической неопределимости.
Ферма (рис.7.1,а)
,
где — степень статической неопределимости;
—число стержней, включая и опорные;
—число узлов фермы.
. Следовательно, данная ферма один раз статически неопределимая.
Балка (рис. 7.1, б)
,
где — число опорных реакций, тогда, т.е. данная балка два раза статически неопределимая.
Рама (рис. 7.1,в)
,
где — число замкнутых контуров;
—число врезанных шарниров.
Первая рама внешним образом статически неопределимая, для нее . Вторая рама имеет замкнутый контур и врезанный шарнир, для нее.
7.3. Метод сил. Выбор основной системы
Одним из наиболее распространенных методов расчета статически неопределимых систем (С.Н.С.) является метод сил. Он заключается в том, что заданная С.Н.С. освобождается от «лишних» связей, а их действие заменяются неизвестными силами и моментами. Величина их подбирается так, чтобы перемещения в основной (эквивалентной) системе были равны перемещениям в заданной системе. Основной называется статически определимая, геометрически (кинематически) неизменяемая система, полученная из заданной путем отбрасывания лишних связей и заданных нагрузок. Как правило, для одной статически неопределимой системы можно подобрать сколько угодно основных систем.
Рассмотрим плоскую раму (рис. 7.3). Степень статической неопределенности «» равно. Выберем несколько вариантов основных систем, отбрасывая каждый раз семь «лишних» связей. Например, для данной рамы можно предложить основные системы а), б), ………., которые получены путем отбрасывания семи связей в различных комбинациях.
Рис. 7.3
Эквивалентная система — получается из основной, путем загружения неизвестными реакциями отброшенных связей, а также заданной внешней нагрузкой (рис. 7.4).
Рис. 7.4
Там, где запрещены линейные перемещения, приложены силы, где угловые — моменты, где взаимные — взаимные моменты и силы.
Теперь остается составить уравнения для определения неизвестных .