
- •Введение
- •Глава 1. Основы сопротивления материалов
- •Предмет «Сопротивление материалов»
- •Объект курса
- •Внешние силы
- •Основные понятия и гипотезы (допущения)
- •Внутренние силы и их определение. Метод сечений
- •Эпюры внутренних усилий
- •Понятие о напряжении и напряженном состоянии
- •Понятие о деформации тела и о деформации физических точек
- •Глава 2. Растяжение, сжатие бруса
- •Напряжения и деформации при растяжении и сжатии. Закон Гука
- •2.6. Диаграмма сжатия
- •2.7. Расчеты на прочность при растяжении (сжатии)
- •Глава 3. Сдвиг и кручение стержней
- •3.1. Понятие о чистом сдвиге. Напряжения и деформации при сдвиге. Закон Гука
- •Практический расчет соединений работающих на сдвиг
- •Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Напряжение в брусе круглого поперечного сечения. Условия прочности. Определение угла закручивания. Условие прочности
- •Кручение бруса прямоугольного поперечного сечения
- •Потенциальная энергия бруса при кручении
- •Кручение бруса круглого поперечного сечения за пределом упругости
- •Глава 4. Геометрические характеристики плоских сечений
- •Основные понятия
- •Статические моменты сечения
- •Моменты инерции сечения. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей
- •Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции
- •Глава 5. Изгиб
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Дифференциальные зависимости между и
- •5.3. Напряжения в брусе при чистом изгибе
- •5.4. Напряжения при поперечном изгибе
- •5.5. Чистый косой изгиб
- •Внецентренное растяжение и сжатие
- •Глава 6. Перемещения при изгибе
- •6.1. Метод Мора для определения перемещений
- •6.2. Способ Верещагина
- •Глава 7. Статически неопределимые стержневые системы
- •7.1. Введение
- •7.2. Классификация стержневых систем. Системы статической неопределимости
- •7.3. Метод сил. Выбор основной системы
- •7.4. Канонические уравнения метода сил
- •7.5. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределенности
- •7.6. Определение перемещений в статически неопределимых системах
- •Глава 8. Устойчивость равновесия деформируемых систем
- •8.1. Основные понятия
- •8.2. Дифференциальное уравнение стержня потерявшего устойчивость
- •8.3. Задача Эйлера об устойчивости шарнирно опертого стержня сжатого силой р
- •8.4. Зависимость критической силы от условий закрепленного стержня
- •8.5. Пределы применимости формулы Эйлера
- •8.6. Практический метод расчета стержней на устойчивость
- •Глава 9. Элементы теории напряженного и деформированного состояния
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Напряжения на наклонных площадках
- •9.3. Главные оси и главные напряжения
- •9.4. Круговая диаграмма напряженного состояния
- •9.5. Экстремальные касательные напряжения
- •9.6. Октаэдрические площадки. Октаэдрические напряжения
- •9.7. Деформированное состояние
- •9.8. Формулы обобщенного закона Гука
- •Глава 10. Критерии пластичности и разрушения
- •10.1. Постановка вопроса
- •10.2. Условия пластичности и разрушения
- •10.3. Теория пластичности и разрушения Мора
- •Глава 11. Прочность материалов при циклически изменяющихся напряжениях
- •11.1. Понятие об усталостной прочности
- •11.2. Виды циклов напряжений
- •11.3. Предел выносливости
- •11.4. Диаграмма предельных амплитуд
- •11.5. Факторы, влияющие на усталостную прочность
- •11.5.1 Концентрация напряжений
- •11.5.2 Масштабный эффект
- •11.5.3 Влияние качества обработки поверхности
- •11.6. Расчет на прочность при переменных напряжениях
Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Напряжение в брусе круглого поперечного сечения. Условия прочности. Определение угла закручивания. Условие прочности
Под кручением понимается такой вид нагружения, когда в поперечных сечениях бруса возникают крутящие моменты. Крутящий момент будем считать положительным, если, глядя со стороны внешней нормали к сечению, наблюдатель видит его направление против часовой стрелки (рис.3.9).
Нанесем на боковую поверхность скручиваемого бруса ортогональную сетку (рис. 3.10).
Рис. 3.10
После закручивания прямоугольники перекашиваются. При кручении происходит поворот одного сечения относительно другого. Сформулируем гипотезы, которые положим в основу дальнейших выводов.
Сечения, плоские до закручивания, остаются плоскими, и после закручивания.
Радиусы, проведенные в любом поперечном сечении, в процессе кручения не искривляются.
Двумя поперечными
и кольцевым сечением выделим элемент
длиною
(рис.
3.11).
Рис. 3.11
Для удобства левое
его сечение будем считать неподвижным.
Поворот правого сечения относительно
левого равен
.
Образующая
отклонится на малый угол
и перейдет в положение
.
Угол сдвига волокна, лежащего на
поверхности стержня, определяется
равенством
.
Для произвольного
волокна, отстоящего от центра на
расстоянии
,
будем иметь
.
На основании закона Гука при сдвиге для
двух указанных точек можно записать
(3.6)
,
(3.7)
где
— относительный угол закручивания.
Из формулы видно,
что напряжения
меняются по сечению по линейному закону
пропорционально радиусу
.
Графически этот закон представлен на
рис. 3.12,а. Для стержня кольцевого сечения
закон распределения касательных
напряжений показан на рис. 3.12,б.
Рис. 3.12
Элементарные
силы
создают крутящий момент
,
—полярный момент
инерции.
Откуда
,
(3.8)
Подставляя в формулу (3.7) полученное выражение (3.8) окончательно получим
(3.9)
Мы получим формулу
для определения
в любой точке поперечного сечения.
Максимальные напряжения в крайних
точках сечения определяют по формуле
,
(3.10)
где
— полярный момент сопротивления.
Взаимный угол
поворота двух сечений расположенных
на расстоянии
равен
(т.к.
).
С
учетом (3.8) получим
.
Абсолютный угол закручивания равен
(3.11)
Если
—const,
то
(3.12)
Условия прочности и жесткости при кручении имеют вид
(3.13)
(3.14)
Вычислим полярные моменты инерции и сопротивления для круга и кольца. По определению их значения определяются выражениями
,
.
Вырежем тонкое кольцо (рис.3.13).
Рис. 3.13
Его площадь
.
Подставляя
в интервал
.
После вычисления интеграла получим:
,
.
Для
кольцевого сечения (рис.3.14)
.
Рис. 3.14
Пусть
,
тогда
,
.