
- •Введение
- •Глава 1. Основы сопротивления материалов
- •Предмет «Сопротивление материалов»
- •Объект курса
- •Внешние силы
- •Основные понятия и гипотезы (допущения)
- •Внутренние силы и их определение. Метод сечений
- •Эпюры внутренних усилий
- •Понятие о напряжении и напряженном состоянии
- •Понятие о деформации тела и о деформации физических точек
- •Глава 2. Растяжение, сжатие бруса
- •Напряжения и деформации при растяжении и сжатии. Закон Гука
- •2.6. Диаграмма сжатия
- •2.7. Расчеты на прочность при растяжении (сжатии)
- •Глава 3. Сдвиг и кручение стержней
- •3.1. Понятие о чистом сдвиге. Напряжения и деформации при сдвиге. Закон Гука
- •Практический расчет соединений работающих на сдвиг
- •Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Напряжение в брусе круглого поперечного сечения. Условия прочности. Определение угла закручивания. Условие прочности
- •Кручение бруса прямоугольного поперечного сечения
- •Потенциальная энергия бруса при кручении
- •Кручение бруса круглого поперечного сечения за пределом упругости
- •Глава 4. Геометрические характеристики плоских сечений
- •Основные понятия
- •Статические моменты сечения
- •Моменты инерции сечения. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей
- •Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции
- •Глава 5. Изгиб
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Дифференциальные зависимости между и
- •5.3. Напряжения в брусе при чистом изгибе
- •5.4. Напряжения при поперечном изгибе
- •5.5. Чистый косой изгиб
- •Внецентренное растяжение и сжатие
- •Глава 6. Перемещения при изгибе
- •6.1. Метод Мора для определения перемещений
- •6.2. Способ Верещагина
- •Глава 7. Статически неопределимые стержневые системы
- •7.1. Введение
- •7.2. Классификация стержневых систем. Системы статической неопределимости
- •7.3. Метод сил. Выбор основной системы
- •7.4. Канонические уравнения метода сил
- •7.5. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределенности
- •7.6. Определение перемещений в статически неопределимых системах
- •Глава 8. Устойчивость равновесия деформируемых систем
- •8.1. Основные понятия
- •8.2. Дифференциальное уравнение стержня потерявшего устойчивость
- •8.3. Задача Эйлера об устойчивости шарнирно опертого стержня сжатого силой р
- •8.4. Зависимость критической силы от условий закрепленного стержня
- •8.5. Пределы применимости формулы Эйлера
- •8.6. Практический метод расчета стержней на устойчивость
- •Глава 9. Элементы теории напряженного и деформированного состояния
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Напряжения на наклонных площадках
- •9.3. Главные оси и главные напряжения
- •9.4. Круговая диаграмма напряженного состояния
- •9.5. Экстремальные касательные напряжения
- •9.6. Октаэдрические площадки. Октаэдрические напряжения
- •9.7. Деформированное состояние
- •9.8. Формулы обобщенного закона Гука
- •Глава 10. Критерии пластичности и разрушения
- •10.1. Постановка вопроса
- •10.2. Условия пластичности и разрушения
- •10.3. Теория пластичности и разрушения Мора
- •Глава 11. Прочность материалов при циклически изменяющихся напряжениях
- •11.1. Понятие об усталостной прочности
- •11.2. Виды циклов напряжений
- •11.3. Предел выносливости
- •11.4. Диаграмма предельных амплитуд
- •11.5. Факторы, влияющие на усталостную прочность
- •11.5.1 Концентрация напряжений
- •11.5.2 Масштабный эффект
- •11.5.3 Влияние качества обработки поверхности
- •11.6. Расчет на прочность при переменных напряжениях
Глава 6. Перемещения при изгибе
6.1. Метод Мора для определения перемещений
Если материальная точка находится в равновесии под действием некоторой системы сил (рис. 6.1), то сумма работ этих сил на любом возможном перемещении равна нулю.
.
(6.1)
Рис. 6.1
Любое упругое тело можно рассматривать как систему материальных точек, находящихся в равновесии под действием внешних и внутренних сил упругости. Следовательно, работа всех внешних и внутренних сил упругости на любом возможном перемещении для упругого тела равна нулю.
Пусть под
воздействием внешних сил
в балке возникли действительные
перемещения
,
и под действием внешних и внутренних
сил упругости оно находится в равновесии
(рис. 6.2,а). Назовем его действительным
состоянием (I
состояние). Представим себе II
состояние (фиктивное), в котором все
силы есть вариации сил действительного
состояния, тогда и перемещения в нем
будут вариациями перемещений первого
состояния (рис. 6.2,б). Составим работу
сил первого состояния на перемещениях
второго.
Рис. 6.2
,
(6.2)
где
— работа внутренних сил. Тогда можно
записать
.
(6.3)
Возьмем теперь два состояния упругой системы (рис. 6.3).
Рис. 6.3
Рассматривая перемещения точек состояния I (рис. 6.3,а) как возможные, составим на основании принципа Лагранжа работу II — состояния (рис. 6.3,б) на перемещениях I.
, (
—
связана со статическим приложением
силы)
или
.
(6.4)
Вычислим
работу внутренних силовых факторов
второго состояния на перемещениях
первого. Для этого из I
и II
состояний вырежем участок бруса длиной
(рис.
6.3).
Элементарная работа внутренних сил II состояния на перемещениях I, равна:
.
Деформации
малого элемента
определяются по известным формулам.
При растяжении:
.
При изгибе,
кручении:
,
,
.
При сдвиге:
.
Абсолютный сдвиг:
;
;
;
.
Т.к. касательные
силы распределены по сечениям неравномерно
то
,
где
—
поправочный коэффициент, учитывающий
неравномерное распределение касательных
напряжений (рис. 6.4).
Рис. 6.4
Подставляя
перемещения в выражения для
,
получим:
Для всей системы
Подставляя в уравнение Лагранжа (6.3), получим
(6.5)
В правой части этого выражения стоят интегралы Мора.
Если определяются перемещения в пространственных системах, то первыми тремя интегралами пренебрегают.
(6.6)
Если определять перемещения в плоских балках, рамах, то
(6.7)
Если определять перемещения в фермах, то
(6.8)
6.2. Способ Верещагина
Основным недостатком при определении перемещений с помощью интегралов Мора является необходимость составлять аналитические выражения подынтегральных функций и дальнейшего их интегрирования. Это особенно неудобно при большом количестве участков, т.к. приводит к громоздким вычислениям.
Если брус состоит из прямых участков с постоянной, в пределах каждого участка жесткостью, то операцию вычисления интегралов Мора можно упростить. Это упрощение основано на том, что эпюры от единичных силовых факторов на прямолинейных участках бруса всегда будут линейными.
Пусть на участке
длиной
нужно взять интеграл от произведения
двух функций
(6.9)
при условии, что
по крайне мере одна из функций — линейная.
Пусть
— линейная, тогда
(рис.6.5).
Рис. 6.5
Тогда выражение
(6.9) примет вид
.
Первый из интегралов представляет собой
площадь ограниченную кривой
, т.е. площадь криволинейной эпюры
.
Второй интеграл
представляет собой статический момент
этой площади
относительно
,
т.е.
,
где
— координата центра тяжести первой
эпюры.
В результате получим
.
Но
.
Следовательно
.
(6.10)
Таким образом, по способу Верещагина операция интегралов заменяется перемножением площади первой эпюры на ординату второй (линейной) эпюры взятую под центром тяжести первой. Если обе функции линейные, то операция перемножения обладает свойством коммутативности.
На первый взгляд способ Верещагина не дает существенных упрощений, т.к. его применение требует построения эпюр внутренних усилий от заданной и единичных сил и перемножения их. Однако почти все встречающиеся на практике эпюры внутренних усилий могут быть, как правило, разбиты на три простейшие фигуры: прямоугольник, треугольник и параболу (рис. 6.6).
Рис. 6.6