
- •Введение
- •Глава 1. Основы сопротивления материалов
- •Предмет «Сопротивление материалов»
- •Объект курса
- •Внешние силы
- •Основные понятия и гипотезы (допущения)
- •Внутренние силы и их определение. Метод сечений
- •Эпюры внутренних усилий
- •Понятие о напряжении и напряженном состоянии
- •Понятие о деформации тела и о деформации физических точек
- •Глава 2. Растяжение, сжатие бруса
- •Напряжения и деформации при растяжении и сжатии. Закон Гука
- •2.6. Диаграмма сжатия
- •2.7. Расчеты на прочность при растяжении (сжатии)
- •Глава 3. Сдвиг и кручение стержней
- •3.1. Понятие о чистом сдвиге. Напряжения и деформации при сдвиге. Закон Гука
- •Практический расчет соединений работающих на сдвиг
- •Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Напряжение в брусе круглого поперечного сечения. Условия прочности. Определение угла закручивания. Условие прочности
- •Кручение бруса прямоугольного поперечного сечения
- •Потенциальная энергия бруса при кручении
- •Кручение бруса круглого поперечного сечения за пределом упругости
- •Глава 4. Геометрические характеристики плоских сечений
- •Основные понятия
- •Статические моменты сечения
- •Моменты инерции сечения. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей
- •Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции
- •Глава 5. Изгиб
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Дифференциальные зависимости между и
- •5.3. Напряжения в брусе при чистом изгибе
- •5.4. Напряжения при поперечном изгибе
- •5.5. Чистый косой изгиб
- •Внецентренное растяжение и сжатие
- •Глава 6. Перемещения при изгибе
- •6.1. Метод Мора для определения перемещений
- •6.2. Способ Верещагина
- •Глава 7. Статически неопределимые стержневые системы
- •7.1. Введение
- •7.2. Классификация стержневых систем. Системы статической неопределимости
- •7.3. Метод сил. Выбор основной системы
- •7.4. Канонические уравнения метода сил
- •7.5. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределенности
- •7.6. Определение перемещений в статически неопределимых системах
- •Глава 8. Устойчивость равновесия деформируемых систем
- •8.1. Основные понятия
- •8.2. Дифференциальное уравнение стержня потерявшего устойчивость
- •8.3. Задача Эйлера об устойчивости шарнирно опертого стержня сжатого силой р
- •8.4. Зависимость критической силы от условий закрепленного стержня
- •8.5. Пределы применимости формулы Эйлера
- •8.6. Практический метод расчета стержней на устойчивость
- •Глава 9. Элементы теории напряженного и деформированного состояния
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Напряжения на наклонных площадках
- •9.3. Главные оси и главные напряжения
- •9.4. Круговая диаграмма напряженного состояния
- •9.5. Экстремальные касательные напряжения
- •9.6. Октаэдрические площадки. Октаэдрические напряжения
- •9.7. Деформированное состояние
- •9.8. Формулы обобщенного закона Гука
- •Глава 10. Критерии пластичности и разрушения
- •10.1. Постановка вопроса
- •10.2. Условия пластичности и разрушения
- •10.3. Теория пластичности и разрушения Мора
- •Глава 11. Прочность материалов при циклически изменяющихся напряжениях
- •11.1. Понятие об усталостной прочности
- •11.2. Виды циклов напряжений
- •11.3. Предел выносливости
- •11.4. Диаграмма предельных амплитуд
- •11.5. Факторы, влияющие на усталостную прочность
- •11.5.1 Концентрация напряжений
- •11.5.2 Масштабный эффект
- •11.5.3 Влияние качества обработки поверхности
- •11.6. Расчет на прочность при переменных напряжениях
5.5. Чистый косой изгиб
Изгиб называется косым, если плоскость действующих сил проходит через ось балки, но не совпадает ни с одной из главных осей сечения.
Его удобнее всего
рассматривать как одновременный изгиб
бруса в двух главных плоскостях
и
(рис. 5.13).
Рис. 5.13
Для этого
изгибающий момент
раскладывается на составляющие
относительно осей
и
:
,
.
Таким образом,
косой изгиб сводится к двум плоским
изгибам относительно осей,
и
.
Изгибающие моменты считаются
положительными, если они вызывают
растяжение в первой четверти.
Нормальные
напряжения в точке имеющей координаты
и
будут равны сумме напряжений от
,
т.е.
(5.13)
Следовательно, как при простом изгибе нормальные напряжения при косом изгибе образуют плоскость.
Уравнение
нейтральной линии получим, положив в
(5.13)
.
.
После
подстановки
и
получим
,
т.к.
,
то
или окончательно уравнение нейтральной
линии получим в виде:
.
(5.14)
Легко установить, что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна плоскости изгибающего момента.
Угловой
коэффициент
следа плоскости момента (рис. 5.13,б)
представляет собой тангенс угла
,
.
Угловой коэффициент нейтральной линии равен
.
Т.к. в общем
случае
,
то условие перпендикулярности прямых,
известное из аналитической геометрии,
не соблюдается, поскольку
.
Поэтому нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости момента, а несколько повернута в сторону минимального момента инерции. Брус «предпочитает» изгиб не в плоскости изгибающего момента, а в некоторой другой плоскости, где плоскость на изгиб будет меньше.
Т.к. эпюра
нормальных напряжений в сечении линейка,
то максимальные напряжения возникают
в точке, наиболее удаленной от нейтральной
линии. Пусть координаты этой точки будут
тогда:
.
(5.15)
Условие прочности можно записать в виде:
.
(5.16)
Если сечение имеет простую форму, то наиболее удаленные точки находятся сразу, если сложную то, вычертив сечение в масштабе (рис. 5.14), наносится положение нейтральной линии, и графически находится наиболее удаленная точка (рис. 5.14).
Рис. 5.14
Внецентренное растяжение и сжатие
При
внецентренном растяжении равнодействующая
внешних сил не совпадает с осью бруса,
как при растяжении и смещена относительно
оси
и параллельна ей.
Пусть в точке
приложена равнодействующая сила равная
.
Координаты ее
и
.
От этой силы в произвольном сечении
стержня возникает нормальная сила
и два изгибающих момента
и
(рис. 5.15).
Рис. 5.15
Причем
.
Правило знаков:
нормальную силу считают положительной,
если она вызывает растяжение. Изгибающие
моменты
и
считают положительными, если они вызывают
растяжение в первой четверти.
Возьмем произвольную
точку
с координатами
и
.
Нормальные напряжения в этой точке
определяем по формуле
(5.17)
Пространственная
эпюра напряжений образует плоскость.
Так как эпюра напряжений образует
плоскость, то положение нулевой линии
определится как линия пересечения этой
плоскости с плоскостью поперечного
сечения. Уравнение нейтральной линии
получаем, приравнивая
нулю:
(5.18)
Расчет на прочность
ведется для наиболее удаленной точки
.
(5.19)
Эта линия не
проходит через начало координат, как в
случае косого изгиба. Проведем нейтральную
линию, определив отрезки, отсекаемые
ею на осях. Обозначим отрезки на осях
отсекаемые нейтральной линией
(рис.5.16,а).
Рис. 5.16
При
,
— отрезок отсекаемой нулевой линии на
оси
.
При
,
— отрезок отсекаемой нулевой линии на
оси
.
Заменим
,
тогда
.
Введем понятие радиуса инерции
(см),
(см)
.
Если
,
то
.
Если точка
приложения силы
приближается к центру, то нулевая линия
будет уходить в бесконечность и наоборот.
Если нейтральная линия
пересекает поперечное сечение (рис.
5.16,а), то в частях, расположенных по
разные стороны от нее, нормальные
напряжения (5.16) имеют разные знаки. Пусть
нейтральная линия касается контура
поперечного сечения (положение
).
Соответствующая точка приложения силы
находится в полюсе
.
Если теперь катить нейтральную линию
по контуру сечения (положение
и т.д.), то полюс
будет описывать вокруг центра тяжести
сечения
некоторую замкнутую кривую (рис. 5.16,б),
область внутри которой называется ядром
сечения. Если сила приложения внутри
ядра сечения, то нейтральная линия
находится вне сечения и в нем возникают
напряжения одного знака.