Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды

.pdf

Скачиваний:

100

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2215 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

РЯДЫ

§1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. СУММА РЯДА

Пусть задана числовая последовательность a1, a2 , ..., an , ...

Выражение вида

∞
a1 + a2 + ... + an + ... = ∑ ak	(1)
k =1

называется числовым рядом, числа a1, a2 ,..., an – членами числового ряда,

а число an – n-ным или общим членом ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда (1)

Sn = a1 + a2 + ... + an =			n
Sn = a1 + a2 + ... + an =			∑ ak
		k =1
называется n-ной частичной суммой ряда (1).
Таким образом,
S1 = a1 – первая частичная сумма ряда (1);
S2 = a1 + a2 – вторая частичная сумма ряда (1);
S3 = a1 + a2 + a3 – третья частичная сумма ряда (1);
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an –	n-ная частичная сумма ряда (1).
Если для последовательности { Sn }		частных сумм ряда (1) сущест-
вует конечный предел S,	lim Sn = S ,
	lim Sn = S ,			(2)
	n →∞
то ряд (1) называется сходящимся, а число S –			суммой данного ряда.
Если предел последовательности { Sn }			не существует или равен бес-
конечности, то ряд (1) называют расходящимся и суммы он не имеет.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд
a + aq + aq2 + ... + a × qn −1...				(3)
Решение. Данный ряд –	геометрическая прогрессия с первым чле-
ном a (a ¹ 0) и знаменателем	q . Пусть	Sn	– сумма для первых n	чле-
нов прогрессии (3)
Sn = a + aq + ... + a × qn −1 .				(4)
Умножая (4) на q , получим
Sn × q = aq + aq2 + ... + a × qn .				(5)

141

Вычитая почленно (5) из (4), получим

Sn (1 − q) = a − aqn

или сумма n

первых членов геометрической прогрессии равна

(q ¹ 1)

a − aqn

aqn

Sn =

−

(6)

1 − q

1) Если

< 1, то qn → 0 при

n → ∞ и, значит

S = lim Sn

= lim

−

aqn

(7)

− q

n→∞

− q

И так, если

< 1, то ряд (3) сходится и его сумма равна

S =

− q

2) Если

> 1,

→ ∞, при n → ∞, т.е.

то

lim Sn не существует.

n →∞

Значит ряд (3) расходится и суммы не имеет.

3) Если

q = 1,

то

ряд (3)

имеет вид

a + a + ... + a + ...

Sn = n × a,

lim

= ¥ , т.е. ряд (3) расходится.

n →∞

4) Если

q = −1, то ряд (3) имеет вид

a − a + a − a + ..., тогда

Sn = 0 , при n четном; Sn = a , при n нечетном;

следовательно, последовательность Sn

не имеет предела, а значит ряд (3)

расходится.

Пусть дан ряд (1), ряд an +1 + an + 2 + ... называют n-ным остатком ря-

да (1).

Очевидно, m-ная часть частичная сумма n-ного остатка ряда равна разности Sn + m − Sn частных сумм самого ряда. С другой стороны имеем Sn + m = Sn + (Sn + m − Sn ) , откуда, переходя к пределу по m(m → ∞) , получим

lim Sm + n = Sn	+ lim	(Sm + n − Sn ) .	(8)
m →∞	m→∞
Предел слева – есть сумма	S исходного ряда, а предел справа –
сумма rn его n-ного остатка. Отметим,		что из существования предела в

левой части этого равенства следует существование предела в правой его части и наоборот. Поэтому, если сходится один из остатков ряда, то схо- дится и сам ряд. Также из сходимости ряда следует и сходимость каждого его остатка. Из формулы (8) следует, что частичная сумма сходящегося ря- да отличается от его суммы остатка. Следовательно, чем меньше сумма ос- татка ряда, тем точнее описывает соответствующая частичная сумма ряда сумму всего ряда.

142

Теорема 1. Если ряд (1) сходится, то сумма rn его n-ного остатка с
ростом n стремится к нулю.
Доказательство. Так как равенство S = Sn + rn	справедливо для
любого n, то переходя к пределу при	n → ∞ получим

S = lim

( S

+ r

) = lim S

+ lim r .

n →∞

n →∞ n

= S , откуда следует, что

lim r = 0 .

А для сходящегося ряда

lim S

x →∞

n →∞ n

Теорема 2. На сходимость данного ряда не влияет отбрасывания ко-

нечного числа его членов.

Доказательство. Пусть для ряда (1) Sn

– сумма

первых членов

ряда (1), Ck

– сумма k

отброшенных членов (при достаточно большом n

все отброшенные члены содержатся в сумме Sn ),

Tn − k

– сумма членов ря-

да, входящих в сумму

и не

входящих

Ck .

Тогда имеем

Sn = Ck

+ Tn − k ,

где Ck –

постоянное число, не зависящее от n.

Из последнего соотношения следует, что если существует

lim Tn − k ,

n →∞

то существует и

lim Sn ; если существует

lim Sn ,

то существует и

n →∞

→∞

lim Tn − k , что и доказывает справедливость теоремы.

n →∞

Пример 2. По заданным частным суммам рядов, написать эти ряды и

найти их суммы:

n + 1

2n − 1

1) S

;

3)	Sn = arctg (n) ;
Ответ:	1) 2 −		∞		1	;	S
			∑		1


∞			n = 2 n(n − 1)
∞			1		S =		π;
3) ∑ arctg			1	;
3) ∑ arctg		n2 − n + 1		;
n = 1		n2 − n + 1					2

		4)		S		=	(−1)n
					n					.
										n

= 1;				∞		1				S = 1;
		2)		∑					;

				n =1		2n
∞	(−1)	n		2n − 1				− 1; S = 0.
4) ∑

n =1			n(n − 1)

Пример 3. Напишите бесконечную геометрическую прогрессию,

сумма которой равна а,			а первый член равен b. Когда это возможно?
	∞		(a − b)	n
Ответ: a =	∑	b			; 0 <	b	< 2.
			bn
	n = 0					a

143

Пример 4. Доказать, что если остатки ряда образуют геометриче- скую прогрессию, то и сам ряд является геометрической прогрессией.

Пример 5. Для данных числовых рядов найти Sn , S, rn , r5 , r10 .

5.1.	∞		4			;
	∑


	n =1(2n		-1)(2n + 1)
	∞	2n + 1

5.3.	∑			;

	n =1 n2 (n + 1)2
5.5.	∞		1		;
	∑


	n =1 n(n		+ 3)(n + 6)

Решения и ответы:

5.2.	∞	1			;
	∑


	n =1(3n -	2)(3n +1)
5.4.	∞	2		;
	∑


	n =1 n(n +1)(n + 2)
5.6.	∞	1	.
	∑ arctg


	n =1	2n2

5.1. Общий член исходного ряда разложим на простейшие дроби, пользуясь методом неопределенных коэффициентов,

(2n -1)(2n + 1)

2n -1

2n + 1

2n -1

2n + 1

Тогда

Sn =

1× 3

3 × 5

5 × 7

(2n -1)(2n + 1)

= (2 -

) + (

) + ... -

= 2 -

3 5

2n -1 2n -1 2n +1

2n + 1

Таким образом,

Sn = 2 -

следовательно,

2n + 1

S =

lim

= 2; r =

, r =

; r =

→∞

5.2. S

(1 −

);

S =

;

r =

; r

3n + 1

3(3n + 1)

5.3.Sn

5.4.Sn

5.5.Sn

= 1 −				1					; S = 1; r =							1			; r =			1		; r =				1		.
= 1 −									; S = 1; r =										; r =					; r =						.
					(n +			1)2				n		(n + 1)2						5	36				10		121
					(n +			1)2						(n + 1)2							36						121
=	1		−					1			; S =		1		; r =						1					; r =			1			; r =		1	.
=			−			(n +		1)(n + 2)			; S =				; r =			(n + 1)(n +								; r =						; r =			.
	2											2				n									2)		5	42				10	132
	2											2													2)			42					132
		1 73							1			1					1				1				1						1
=							−			+				+					−				−					−					;
=							−			+				+			+ 3		−				−					−					;
	18 60							n + 1 n + 2 n									+ 3			n + 4 n + 5 n											+ 6

144

S =

; r =

1 1

−

1080

n + 2

n + 3

n +

n + 5

18 n + 1

n + 6

5.6. Воспользуемся тождеством (подобрав а и с)

arctg

- arctg

= arctg

a + n -1

a + n

c2 + (a + n)(a + n -1)

= arctg

; S = p ; r = arctg

n +

2n + 1

Теорема 3. Если ряды

a1 + a2 + ... + ...,

(9)

b1 + b2 + ... + ...

(10)

сходятся, и их суммы равны соответственно

то ряды

Ca1 + Ca2 + ... + Can + ...,

(11)

(a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) + ... + (an + bn ) + ...,

(12)

(a1 - b1 ) + (a2 - b2 ) + ... + (an - bn ) + ...

(13)

также сходятся и их суммы соответственно равны C × S, S + S и S - S .

Доказательство. Пусть n-ная частичная сумма ряда (9) Sn , а ря-

да (11) Tn . Тогда

Tn = Ca1 + Ca2 + ... + Can = C (a1 + a2 + ... + an ) = C × Sn .

Откуда имеем
lim Tn	= lim CSn	= C × lim Sn = C × S .
n →∞	n →∞	n →∞

Таким образом, ряд (11) сходится и его сумма равна C × S . Анало- гично доказываем теорему для ряда (12) и (13).

Замечание 1. Про ряд (11), (12) и (13) говорят, что они получены в результате почленного умножения на константу, почленного сложения или почленного вычитания рядов (9), (9) и (10), (9) и (10) соответственно.

145

§2. НЕОБХОДИМЫЙ И ДОСТАТОЧНЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ РЯДА

Теорема 1. Если ряд

∞

(1)

∑ un

сходится, то lim un = 0 .

n =1

n →∞

∞

Доказательство.

следует,

Из

сходимости ряда ∑ un

что

= lim Sn −1 = S ,

n =1

lim Sn

S – конечное число, сумма исходного ряда. Но

n →∞

= lim (Sn −1 + un ) = lim Sn −1

+ lim un ,

вместе

тем

lim Sn

т.е.

n →∞

S = S + lim un ,

значит

lim un = 0 .

n →∞

Следствие 1. Если lim un ¹ 0 ,

то данный ряд расходится.

n →∞

Пример 1. Пусть дан ряд

∞

∑

n =1 2n + 1

Так как

lim un = lim

= 1, то согласно теореме 1 имеем,

что

n →∞

n →∞ 2n + 1

данный ряд расходится.

Отметим, что рассмотренный в теореме 1 признак является только

необходимым,

но не является достаточным, т.е. из того, что un → 0 ,

еще

не следует, что ряд сходится, следовательно, ряд может и расходится.

Пример 2. Исследовать сходимость гармонического ряда

∞

1 +

+ ... +

+ ... = ∑

2 3

n =1 n

Решение.

Для

гармонического

ряда

имеем,

что

lim u

= lim

= 0 .

Но

докажем,

что

данный

ряд

расходится,

хотя

n →∞

n →∞ n

lim un = 0 .

n →∞

∞ 1

Предположим, что гармонический ряд ∑

сходится,

Sn его n-ная

n =1 n

частичная сумма,

–

сумма ряда, т.е.

lim Sn = S . Аналогично, имеем

n →∞

что

lim S2n = S , тогда

lim (S2n − Sn ) = lim S2n − lim Sn = S − S = 0 .

n →∞

→∞

n →∞

146

Но так как

____

S2n

- Sn

+ ... +

k = 1, n

³ n ×

n + 1 n + 2

n + k 2n

2n 2

то, переходя к пределу, получим

lim

(S2n - Sn ) = 0 >

. Это противоречие

n →∞

приводит к тому, что предположение о сходимости гармонического ряда неверно, т.е. гармонический ряд расходится.

∞	1
Пример 3. Доказать, что ряд ∑			удовлетворяет необходимому


n =1		n

признаку сходимости, но является расходящимся.

Решение. Необходимый признак сходимости выполняется, т.к.

lim un = lim

= 0 .

n →∞

Для доказательства расходимости данного ряда оценим его n-ную

частичную сумму:

;

1 >

Sn =1 +

+ ... +

, k =1, n

n раз

Sn ³

lim Sn

= lim

= ¥ .

Итак, имеем

n , а

n →∞

→∞

Значит, исходный ряд расходится.

∞

В теореме 1 установлено, что если ряд

сходится, то справед-

∑ un

lim un = 0 .

n =1

ливо

n →∞

Отсюда следует, что если ряд (1) сходится, то справедливо

lim (un + un +1 + ... + un + k ) = 0 ,

(2)

n →∞

где

k – некоторое фиксированное число, так как в отдельности имеем

lim un = 0,

lim un +1 = 0, .....

lim un + k = 0

n →∞

→∞

n →∞

сумма конечного числа (k) бесконечно малых величин есть величина бес- конечно малая.

Очень важно заметить следующее: когда ряд (1) сходится, (2) спра- ведливо не только для фиксированного k, но и для неограниченно возрас- тающего при n → ∞ .

147

Но еще более важно обратное утверждение, а именно, что равенство

(2) справедливо при любом k, тогда ряд (1) сходится, т.е. имеет место сле- дующая теорема.

Теорема 2. Необходимым и достаточным условием сходимости ряда (1) является справедливость равенства (2) при любом k.

∞

Доказательство. Для того чтобы ряд ∑ un сходился, необходимо и

n =1

достаточно, чтобы последовательность частичных сумм { Sn } имела бы

пределом конечный предел S, т.е. lim Sn = S . В силу критерия Коши для

n →∞

последовательностей необходимым и достаточным условием существова-

ния конечного предела S для последовательности { Sn }

является выпол-

нение неравенства

Sq − S p

< ε , где q ³ Nε ,

p ³ Nε ( e ³ 0 , произвольно

малое, но самое главное ε –

фиксированное число).

Если положить p = n -1, а q = n + k , то

S p = u1 + u2 + ... + un −1 , Sq = u1 + u2 + ... + un + k .

Откуда имеем

для n > Nε и

Sq − S p

un + un +1 + ... + un + k

< ε

k – любое число.

А это означает, что для существования конечного предела у последо-

вательности {Sn } ,

∞

а, следовательно, и для сходимости ряда ∑ un

необ-

u =1

ходимо и достаточно, что бы равенство

lim (un + un +1 + ... + un + k ) = 0

n →∞

было справедливо для любого k.

Что и требовалось доказать.

Заметим,

что

необходимый признак

сходимости

числового

ряда

∞

, lim un

= 0

очень удобен для применения, а вот необходимый и

∑ un

u =1

n →∞

достаточный признак (теорема 2) применить для практики практически не- возможно. Поэтому, после проверки на практике необходимого признака, обращаются к достаточным признакам.

148

§3. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ

3.1. Признаки сходимости рядов

Существует довольно обширный класс приемов, дающих возмож- ность установить сходимость или расходимость рядов. Эти приемы назы- вают признаками сходимости. Современная теория рядов располагает значительным числом различных признаков сходимости. Некоторые из них мы уже применяли при исследовании сходимости рядов – составляя частичные суммы и находя предел этих частичных сумм. Этот прием (на- хождения частичных сумм) является необходимым и достаточным призна- ком сходимости рядов. Стремление к нулю члена ряда по мере роста его номера тоже признак, сходимости ряда, но только необходимый.

К числу признаков сходимости относятся различные теоремы, кото- рые дают возможность свести решение вопроса о сходимости данного ряда к аналогичному вопросу о другом ряде, который устроен более просто или более знаком. Эти теоремы состоят в сравнении членов исследуемого ряда с членами другого ряда, поведение которого выяснено. Поэтому их назы- вают признаками сравнения.

3.2. Признаки сравнения

∞

Пусть дан ряд ∑ an , an ³ 0 , тогда последовательность частичных

n =1

сумм { Sn } данного ряда является неубывающей. Необходимым и доста-

точным условием сходимости такой последовательности является ее огра- ниченность (монотонно возрастающая последовательность и ограниченная сверху всегда имеет предел).

Теорема 1. (первый признак сравнения). Пусть даны два ряда

∞
∑Un ,	Un ³ 0 ,	(1)
n =1
и
∞
∑ Gn ,	Gn ³ 0 ,	(2)
n =1
причем, начиная с некоторого номера k Î N ,		справедливо неравенство
для n ³ k
Un £ Gn		(3)
149

Тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из рас- ходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Доказательство. Так как отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на сходимость ряда, поэтому достаточно доказать теорему для случая, когда k =1. Пусть S1 , S2 , … , Sn и T1 , T2 , … , Tn … – последова- тельности частичных сумм рядов (1) и (2). Из выражения (3) имеем, что

Sn ≤ Tn	(4)
при любом n ³1.
Пусть ряд (2) сходится и T – его сумма. Так как ряд (2) содержит
положительные члены, то Tn < T при любом	n . Это значит, что частич-

ные суммы ряда (1) в совокупности ограничены, а, следовательно, ряд (1) сходится и пусть его сумма S . Переходя в неравенстве (4) к пределу, при

n → ∞ получаем lim Sn ≤ limTn = T (т.к. ряд (1) сходится, то предел сле-

n →∞

ва существует), т.е. S £ T .

Пусть теперь ряд (1) расходится. Это значит, что его частичные сум-

мы

{ Sn } неограниченно возрастают. Но тогда, в силу (4), неограниченно

должны возрастать суммы {Tn }

ряда (2), который тем самым расходится.

Пример 1. Установить сходимость числового ряда

+ …+

Решение. Отбросив первый член ряда (это на сходимости не скажет-

ся), сравним его с рядом

+…+

, который сходится, т.к.

n(n +

× 2 2

+ …+

= 1×

+ …+

=1 -

n + 1

× 2 2

n(n + 1)

n + 1

и lim Sn = 1.

n →∞

Так как для n ³1,

имеем

и в силу теоремы 1

(n + 1)2

n(n + 1)

(признак сравнения) имеем, что данный ряд сходится.

Пример 2. Рассмотрим ряд sin	1	+ sin	1	+ …+ sin		1		+ ….
	2		2			2
1		2				n				∞
					1	<		1			1
Решение. Так как справедливо неравенство sin									, а ряд	∑
					n2		n2
										n =1 n2

сходится (пример 1), то исходный ряд также сходится.

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2215 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20153.63 Mб118умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб106умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб111умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб111умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб119умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб100умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб110умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб157умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf