Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Так как y2 = dy1 − y1 − x , тогда dx

y2 = (C2 − 2C1 − 2C2 x)e− x − 6x + 14 .

Следовательно, общее решение данной системы определяет пара функций ( y1, y2 ) .

Пример 3. Решить систему дифференциальных уравнений

	dy1		= y + y		+ x,
			= y + y	2	+ x,
		1		2
dx

	dy2		= −4 y − 3y				+ 2x,
			= −4 y − 3y				+ 2x,
		1				2
dx

удовлетворяющую начальным условиям y1(1) = −3 и														y2 (1) = 6 .
Решение. В примере 2 найдено общее решение, которое определяет-
ся функциями:
y = (C + C		2	x)e− x	+ 5x − 9 и y				2		= (C	2	− 2C − 2C	2	x)e− x − 6x + 14 .
1	1	2						2			2	1	2
Для определения частного решения требуется определить постоян-
ные C1 и C2 .		Они находятся из решения следующей системы линейных
уравнений относительно						C1 и	C2
			(C1 − C2 )e−1 + 5 − 9 = −3,
						− 2C	− 2C			)e−1 − 6 + 14 = 6,
			(C		2	− 2C	− 2C		2	)e−1 − 6 + 14 = 6,
					2	1			2

то есть C1 = e , а C2 = 0 . Таким образом, решение, удовлетворяющее за- данным начальным условиям, имеет вид

y = e1− x + 5x − 9 и y	2	= −2e1− x − 6x + 14 .
1
Пример 4. Решить систему дифференциальных уравнений
x′ = −2x + 2 y + z,
y′ = 2x + 2 y + 2z,

z′ = x − 2 y − 2x.

Решение. Данную систему решим сведением к одному дифференци- альному уравнению с одной неизвестной функцией. Продифференцируем первое уравнение системы, получим x′′ = −2x′ + 2 y′ + z′ .

Входящие в это уравнение первые производные заменим их выраже- ниями из системы, получим x′′ = 9x − 2 y .

Дифференцируя последнее уравнение ещё раз, заменяя первые про-

изводные неизвестных функций их выражениями из системы, получим x′′′ = −22x + 14 y + 5z .

121

Таким образом, имеем систему трех уравнений, в которые входят

производные функции

x′ = −9x + 2 y + z,

x¢¢ = 9x - 2 y,

x¢¢¢ = -22x + 14 y + 5z.

Из первых двух уравнений выражаем y и z через x, x′ и x² и под- ставляем в третье уравнение системы, после приведения подобных полу- чим уравнение третьего порядка

x′′′ + 2x′′ − 5x′ − 6x = 0 .

Характеристическое уравнение

0 = k 3 + 2k 2 - 5k - 6 = (k 3 + 1) + 2(k 2 -1) - 5(k + 1) = = (k + 1)(k 2 + k - 6) = (k + 1)(k - 2)(k + 3).

Корни характеристического уравнения			k1 = −1, k2 = 2 , k3 = −3 , то-
гда общее решение имеет вид
x = C e−t + C		e2t + C e−3t .
1	2		3

Используя исходную систему уравнений, находим y и z и, тем са- мым, общее решение исходной системы дифференциальных уравнений

x = C e−t + C			e2t			+ C e−3t	,
	1	2				3
		5
		5
y = 4C e−t +				C		e2t ,
y = 4C e−t +				C		e2t ,
	1	2		2
		2			e2t - C e−3t .
z = -7C e−t - C					e2t - C e−3t .
	1			2		3

Пример 5. Вещество А, количество которого равно C, разлагается на два вещества А1 и А2. Скорость образования каждого из веществ пропор- циональна количеству неразложившегося вещества. Найти закон измене-

ния веществ А1 и А2, если	х(0) = 0, y(0) = 0;			x (t ) =	3	С, y (t ) =		1	C, где
ния веществ А1 и А2, если	х(0) = 0, y(0) = 0;			x (t ) =		С, y (t ) =			C, где
				8			8
x(t) и y(t) – количества веществ А1 и А2 в момент времени t.
Решение. Скорость образования веществ				А1 и А2			в момент време-
ни t такова
	dx		= K (C - x - y),
			= K (C - x - y),
dt		1
		1
	dy
	dy		= K2 (C - x - y).
			= K2 (C - x - y).
dt

122

Получили систему двух линейных уравнений первого порядка. Най- дём решение данной системы. Дифференцируя первое уравнение системы

и подставляя в полученное уравнение							dy		из второго уравнения системы,
и подставляя в полученное уравнение							dt		из второго уравнения системы,
							dt
получим
	d 2 x		= −K		dx	+ K		(C − x − y)		.
			= −K			+ K	2	(C − x − y)		.
	dt	2	1				2
	dt			dt

Из первого уравнения системы выразим (С – x – y) и подставим в последнее уравнение, получим однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

d 2 x	+ (K + K		)	dx	= 0 .
dt 2
	1	2		dt

Корни характеристического уравнения

τ1 = 0 и

τ2 = – ( К1 + К2), а

общее решение имеет вид

x = C + C e−(K1 + K2 )t .

Выражая из первого уравнения системы

y и подставляя в него x и

y = C +

−( K1 + K2 )t

− C1.

, получим

C2e

Тогда общее решение исходной системы имеет вид

x = C + C

e−(K1 + K2 )t ,

= C +

−(K1 + K2 )t

− C1.

C2e

Используя начальные условия x(0) = 0

и y(0) = 0,

находим С1 + С2,

решая систему уравнений:

C1 + C2

= 0,

K1C

K1 + K2

C2 = C

= −

K1C

K1 + K2

Подставляя С1 и С2

в общее решение системы, получим законы

изменения величины x

и y:

K1C

−(K + K

x =

1 − e

K + K

K2C

1 − e−(K1 + K2 )t .

y = −

K1 + K2

123

Неизвестные коэффициенты К1 и К2 находим, используя условия

x(1) =	3	С ;	y(1) =	C	,	решая следующую систему уравнений:
x(1) =		С ;	y(1) =		,	решая следующую систему уравнений:
8			8
																К С											+ К
							3									К С							− К			1	+ К	2
							3						=				1				− е					1		2
								С												1
								С							К1 + К					1
							8
							8												2

															К С						−		К + К
															К С						−		К + К

							С			=						2			1 − е				1				2
										=				К +К					1 − е				1				2
						8								К +К				2
															1			2

Откуда имеем						K =					3			ln2 ,				K		=	1	ln 2 . Подставляя найденные зна-
Откуда имеем						K =								ln2 ,				K	2	=		ln 2 . Подставляя найденные зна-
						1	4												2		4
							4														4
чения K1 и K2, окончательно получим
						x =			3			C(1 − 2−t ), y =												C	(1 − 2−t ) .
						x =						C(1 − 2−t ), y =													(1 − 2−t ) .
							4																8

2. Решение системы дифференциальных уравнений методом ин- тегрируемых комбинаций (непосредственный метод)

Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное урав- нение, полученное как следствие решения уравнений системы

dyi	= f	(x, y , y		,..., y		) i =		,
			2		n		1, n

dx	i	1

которое сводится к интегрируемому типу дифференциального уравнения.

Суть метода интегрируемых комбинаций состоит в следующем:

посредством арифметических операций сложения, вычитания, деления данных уравнений системы образуют интегрируемые комбинации, т.е. ин- тегрируемые дифференциальные уравнения, полученные из данной систе- мы вида

ϕx,u, du = 0 . (16)

Вслучае линейной однородной системы с постоянными коэффици- ентами интегрируемая комбинация – дифференциальные уравнения с раз- деленными переменными; в случае линейной неоднородной системы – ли- нейное дифференциальное уравнение первого порядка. Каждая интегри- руемая комбинация дает один первый интеграл. Если их число равно числу уравнений системы, то интегрирование закончено. В противном случае получим систему с меньшим числом неизвестных функций.

124

Нормальную систему дифференциальных уравнений (1) полезно за- писать в симметричной форме

dy1

= ..... =

dyn

(17)

f1 ( y1, y2 ,..., yn )

fn ( y1, y2 ,..., yn )

При нахождении первых интегралов системы (1) используют свойст-

во ряда равных отношений

= ... =

k1a1 + k2 a2 + ... + kn an

(18)

k1b1 + k2b2 + ... + knbn

Отметим, что необязательно, чтобы все отношения участвовали в

этой комбинации.

(i =

)

выбирают так, чтобы знаменатель равнялся

Множители ki

1, n

нулю, а числитель был полным дифференциалом или же знаменатель не равнялся нулю, но числитель – дифференциал той комбинации перемен- ных, которой выражается знаменатель.

Отметим, что все переменные входят равноправно в симметричную сис- тему (17), а это может облегчить нахождение интегрируемых комбинаций.

Пример 6. Решить систему дифференциальных уравнений

= y2 ,

dy2

= y .

Решение. Первую интегрируемую комбинацию находим почленным

сложением уравнений данной системы, т.е.

dy1

dy2

= y

+ y

Откуда имеем

d ( y1 + y2 )

= y

+ y

или

d ( y1 + y2 )

= dx .

y1 + y2

Интегрируя

полученное

дифференциальное

уравнение, находим

y1 + y2

= x + C ,

откуда

+ y

= ex +C1

= C ex

или

y1 + y2

= C .

Вторую интегрируемую комбинацию получаем, почленно вычитая из первого уравнения данной системы второе, т.е.

dy1 − dy2 = y2 − y1 = −( y1 − y2 ), dx dx

125

d ( y1

− y2 )

= −( y1 − y2 )

или

d ( y1

− y2 )

= −dx .

y1 − y2

Интегрируя,

получим ln

y − y

= −x + C ,

откуда

y1 − y2

= C . Из

e− x

полученных соотношений определяем решение данной системы

y1 =

(C1ex + C2e− x ), y2 =

(C1ex − C2e− x ).

Пример 7. Проинтегрировать систему дифференциальных уравнений

= y,

= −x.

Решение. Умножая почленно уравнения данной системы соответст-

венно на x и y и складывая полученные уравнения, получим интегрируе-

мую комбинацию x dx + y dy = 0 .

dt	dt
Интегрируя, получим первый интеграл x2 + y2 = 2c . Выбирая по-

ложительное значение	y, получим y = 2c − x2 . Подставляя данное зна-

чение y в первое уравнение исходной системы, получим

2c − x2 .

Интегрируя это уравнение, получим arcsin

= t + C

или первый

интеграл системы arcsin

− t

= C1 .

Первые интегралы независимы и, следовательно, их совокупность

образует общий интеграл данной системы.

Пример 8. Проинтегрировать систему дифференциальных уравнений

x + y

Решение. Данная система записана в симметричной форме. Интег-

рируя первое уравнение системы

, приходим к равенству

ln C1x = ln y ,

126

откуда имеем первый интеграл системы	y	= C . На основании свойств ряда

	x	1

равных отношений составляем производную пропорцию и запишем в виде

dx + dy

x + y

Из последних двух отношений

dx + dy

получаем вторую

x + y

интегрируемую комбинацию

dz = dx + dy .

Интегрируя полученное уравнение, имеем z = x + y + C2

или z − x − y = C2 – второй интеграл.

Интегралы независимы и, следовательно, их совокупность образует общий интеграл данной системы.

4.2. Линейные нормальные системы дифференциальных уравнений

Нормальная система дифференциальных уравнений вида

	y′	= a (x) y + a (x) y			2	+ ... + a	(x) y		n		+ ϕ (x),
	1	11	1	12		1n					1
		= a (x) y + a (x) y				+ + a		(x) y			+ ϕ		(x),
y′
	2	21	1	22	2	2n				n		2	(19)
....................................................................
	′	= an1 (x) y1 + an2 (x) y2				+ + ann (x) yn + ϕn (x)
yn

называется линейной.

Систему (19) можно записать в матричной форме

y		ϕ (x)
y1	,		ϕ1 (x)	,
где y = 2	,	ϕ =	2	,

...		...
yn			ϕn (x)

y′ = Ay + ϕ ,						(20)
a11 (x)		a12 (x) ...		a1n (x)
a	(x)	a (x) ...		a	(x)
A = 21		22		2n
		...	...	...
...
an1	(x)	an2 (x) ...		ann (x)

Если функции ϕi (x) = 0 (i = 1, n) , то система (19) называется одно-

родной, в противном случае – неоднородной.

Для линейных систем дифференциальных уравнений справедливы теоремы, аналогичные установленным ранее для линейных дифференци- альных уравнений. Сформулируем их без доказательства.

127


Теорема 1.					Если	y1 (x)		и y2 (x) –	решения линейной однородной
системы		y′ = Ay ,			то сумма C1 y1 (x) + C2 y2				– также решение системы, где
C1 и C2 –		произвольные постоянные.
Теорема 2. Если
						y	(x) –	решение линейной неоднородной системы
(20), а	y(x) – решение соответствующей однородной системы									y′ = Ay , то
	y(x) +			(x)	будет решением неоднородной системы.
сумма			y
Определителем						Вронского (вронскиан) системы				функций
y1 (x),	y2 (x), ..., yn (x) называют определитель вида

y11 (x)

W (x) = y21 (x)

...

yn1 (x)

y12 (x) ... y1n (x) y22 (x) ... y2n (x)

... ... ...

yn2 (x) ... ynn (x)

Теорема 3. Для того, чтобы система функций y1 (x), y2 (x), ..., yn (x) ,

являющихся решениями линейной однородной системы дифференциаль-

ных уравнений y′ = Ay , была линейно независимой на [a;b], необходимо и достаточно, чтобы W (x) ¹ 0 на [a;b].

Теорема 4. (о структуре общего решения однородной системы). Об- щее решение однородной системы дифференциальных уравнений y′ = Ay

имеет вид

y = C1 y1 + C2 y2 + ... + Cn yn ,

(21)

где y1, y2 , ..., yn – решения однородной системы дифференциальных уравнений

y′ = Ay .

(22)

Теорема 5. (о структуре общего решения неоднородной системы). Общее решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений (20) имеет вид

y = yодн.	+ yчаст. ,	(23)
где yодн. – общее решение (22),	yчаст. – любое частное решение (20).

128

4.3.Системы линейных дифференциальных уравнений

спостоянными коэффициентами

Система

y1¢		= a11 y1 + a12 y2 + ... + a1n yn ,
		= a	y	+ a	y		+ ... + a	y		,
y¢		= a	y	+ a	y		+ ... + a	y		,	(24)
	2	21	1	22		2	2n		n		(24)
..........................................
y¢		= a	y	+ a	y	2	+ ... + a	y	n	,
	n	n1	1	n2		2	nn		n

в которой aij – действительные числа (i, j =1, n) , называется нормальной

линейной однородной системой дифференциальных уравнений с постоян- ными коэффициентами. Систему (24) запишем в матричной форме

y′ = A × y ,

(25)

a11

a12 ...

a1n

...

где

A = 21

2n ,

y =

...

... ... ...

...

an1

an2 ...

ann

Решение системы (24) (или (25) будем искать в виде

= a

× eλx

(i =

1, n)

(26)

(i =

)

и λ –

постоянные числа, которые требуется определить.

где

1,n

Подставляя (26) в (24) и сокращая на

eλx ¹ 0 , получим систему n ли-

нейных

однородных

алгебраических

уравнений с n

неизвестными

(i =

) :

1, n

(a11 - l)a1 + a12a2 + ... + a1nan = 0,

a + (a

- l)a

+ ... + a

= 0,

(27)

11 1

.................................................

a + a

+ ... + (a

- l)a

= 0.

n1 1

Для того чтобы система (27) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

			a11 - l	a12	...	a1n

D =	A - lE	=	a21	a22 - l	...	a2n	= 0 .	(28)

			...	...	...	...

			an1	an2	...	ann - l

129

Равенство (28) – уравнение относительно l, которое называется ха-

рактеристическим уравнением системы (19). Уравнение (28) – много-

член степени n относительно l с действительными коэффициентами, и поэтому данное уравнение имеет n корней с учетом их кратностей. Урав- нение (28) есть характеристическое уравнение матрицы А, а его корни λ1, λ2 , ...,λn – собственные значения этой матрицы.

Рассмотрим следующие случаи нахождения общего решения систе- мы (24) в зависимости от корней характеристического уравнения (23).

1. Корни характеристического уравнения λ1 , λ2 , ...,λn – дейст-

вительные и различные числа.

Подставляя последовательно λ1, λ2 , ...,λn в систему линейных урав-

нений (27), решая ее, находим n линейно независимых собственных век- торов матрицы А:

a11

a12

a1n

1 = a21

2 = a22

, …,

n =

a2n .

(29)

...

an1

an2

ann

Полученным

собственным

векторам

соответствует

векторов

k (k =

) , являющихся решениями системы (19):

1, n

a11

a1n

a21

λ x

a2n

, ...,

× e

(30)

× e

...

an1

ann

Система векторов (30)

линейно независима, так как ее определитель

Вронского

a11eλ1x

a12eλ2 x ...

a1neλn x

...

a eλ1x

eλ2 x ...

eλn x

W (x) =

(λ +λ

+...+ λ

) x

a21

a22

...

a2n

...

= e

...

... ... ...

...

an1eλ1x

an2eλ2 x ...

anneλn x

an1 an2

...

ann

отличен

от нуля

для

любых x,

т.к. e(λ1 + λ2 +...+ λn ) x ¹ 0 , а

определитель,

стоящий в правой части последнего равенства – это определитель матрицы линейно независимой системы векторов (30), не равен нулю. Тогда в силу теоремы 4 общее решение имеет вид

y = C1

+ C2

+ ... + Cn

(31)

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20153.63 Mб42умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб40умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб46умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб47умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб53умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб35умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб45умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб93умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf