14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды

0

ти погрешность вычисления.

Решение. Разложив подынтегральную функцию в степенной ряд, получим

Подставляя в полученный ряд значения x, получим величину интеграла.

3. Нахождение сумм числовых рядов

Используя известные разложения в степенной ряд, свойства сходя- щихся рядов, операции интегрирования и дифференцирования находим значение определенной функции в заданной точке.

Пример 7. Найти сумму ряда:

192

сумма, то эта функция удовлетворяет следующему дифференциальному

193

Решение. Данный знакочередующийся ряд является сходящимся. Рассмотрим геометрическую прогрессию

4. Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов

В теоретических и прикладных исследованиях в качестве математи- ческих моделей реальных процессов часто используются такие дифферен- циальные уравнения, решения которых на основании общей теории диф- ференциальных существуют, но не являются элементарными функциями, или решение мы не можем найти. В этих случаях решения ищут в виде степенных рядов и некоторых элементарных функций. При таком подходе можно получить аналитические представления решений для широкого класса весьма сложных линейных и нелинейных дифференциальных урав- нений, в том числе уравнений в частных производных. Процесс нахожде- ния решения дифференциального уравнений с помощью степенных рядов обычно осуществляется в три этапа:

1)определяется вид степенного ряда;

2)определяем коэффициенты этого ряда (вычисляют их некоторым способом);

3)исследуют характеристики полученного ряда (прежде всего, ради- ус сходимости, область сходимости).

194

Отметим, что внутри области сходимости ряда решение y(x) ис-

ходного дифференциального уравнения может быть вычислено с любой наперед заданной точностью (в виде частичной суммы ряда с соответст- вующим числом членов).

Может оказаться, что решение исходного дифференциального урав- нения существует на промежутке более широком, чем область сходимости. Поэтому частичную сумму ряда можно использовать для нахождения при-

ближенных значений y(x) решения y(x) и за областью сходимости. Од-

нако в этом случае к полученным значениям y(x) следует относиться с

осторожностью, потому что их погрешность может оказаться неприемле- мой, т.к. вне области сходимости нет общих способов оценки отбрасывае- мый остаток ряда.

Рассмотрим два основных метода нахождения решений дифферен- циальных уравнений в виде степенных рядов на примере обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

4.1. Метод последовательного дифференцирования

Данный метод применяется для решения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений и базируется на следующей теореме.

Теорема 1. Если в задаче Коши для дифференциального уравнения второго порядка

ограниченные производные по x, y и y′ , то существует единственное реше-

ние задачи (1), которое можно представить в виде ряда Тейлора

195

ходного уравнения), а затем в полученные выражения подставляют x = x0

и найденные значения y(x0 ), y¢(x0 ), y¢¢(x0 )...y(n) (x0 ) в ряд (2). Если удает-

ся получить y(n) (x) в общем виде – тогда находим точное решение y(x) ,

и найти область сходимости полученного ряда – где решение задачи Коши (1) в виде ряда существует. Если же коэффициенты ряда (2) в общем виде найти не удается, то выписывают несколько первых членов ряда Тейлора –

частичную сумму, которую принимают за приближенное решение y(x)

исходной задачи. В этом случае остаются неизвестными как область схо- димости ряда, так и величина погрешности приближенного решения, до- пускаемая при отбрасывании остатка ряда.

y¢¢ = xy¢ + y

Пример 11. Найти решение задачи Коши

y(0) = y¢(0) =1.

Решение. Так как первые и вторые частные и смешанные производ- ные по x, y и y′ от правой части уравнения равномерно ограничены в

окрестности точки (0, 1, 1), а все частные и смешанные производные более высоких порядков равны нулю, то по теореме 1 решение данной задачи в виде ряда Тейлора (2) существует в некоторой окрестности точки x0 = 0 .

196

ченное в виде ряда решение задачи Коши сходится на интервале (−∞;+∞) .

4.2. Метод неопределенных коэффициентов

Рассмотрим данный метод для нахождения общего решения линей- ного дифференциального уравнения второго порядка

а также для нахождения частных решений (задача Коши) для уравнения (3) при начальных условиях

При этом степенной ряд с неопределенными коэффициентами под- ставляет в уравнение (3), а значит, исходя из соотношений, определяемых полученным равенством, определяют коэффициенты ряда. Вид и свойства полученного решения в большей мере зависит от свойств p(x), q(x) и f (x) .