Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2210 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

ственно равен нулю на [a;b] . Обратное утверждение неверно, т.е. опреде-

литель Вронского может обращаться в нуль и в том случае, когда данные функции линейно независимы на некотором промежутке. Например, рас- смотрим функции

0, 0 £ x £1,

y1 = x -1, 1 < x £ 2.

x -1, 0 £ x £1,

и y2 = < <

0, 1 x 2.

На отрезке [0;2]

функции

y1 и

линейно независимы, т.к. ра-

венство

C1 y1 + C2 y2 = 0

имеет место при C1 = C2 = 0 . В то же время опре-

делитель Вронского для функций

y1 и

будет иметь вид: для

x Î[0;1]

W ( y , y

) =

x -1

º 0 ,

а для x Î(1;2]

W ( y , y

) =

x -1

º 0 ,

т.е. для

любого

x Î[

0;2] W ( y1, y2 ) º 0 .

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения

y¢¢ + 2 × y¢ + y = 0 . x

Решение. Структура общего решения однородного уравнения второ- го порядка с переменными коэффициентами имеет вид

y = c1 × y1 + c2 × y2 ,

где y1 и y2 – частные линейно независимые решения исходного однород-

ного уравнения.

Подбором устанавливаем, что частным решением исходного уравне-

ния является функция

sin x

. (Непосредственно, проверкой убедитесь

в этом). Полагая,

y =

sin x

∫ zdx

последовательно находим

y′ , y′′ , под-

y′ и y′′ после преобразований полу-

ставляем в исходное уравнение

y ,

чим уравнение z′sin x + 2cos xz = 0 .

Откуда имеем z =

sin2 x

Тогда общее решение исходного уравнения

y =

sin x

∫

sin x

- c1ctgx) = c2

sin x

- c1

cos x

(c2

sin

2 x

Замечание 6. Подстановка y = sinx x ∫ zdx дала возможность понизить

порядок линейного дифференциального уравнения до дифференциального уравнения первого порядка линейного относительно новой функции.

Замечание 7. Отметим, что, зная одно частное решение y1 линейно-

го однородного уравнения, можно при помощи замены искомой функции y = y1 ∫ zdx понизить его порядок, а, следовательно, и порядок соответст-

вующего неоднородного уравнения на единицу. Полученное уравнение от- носительно z будет снова линейным.

Поэтому, если мы рассматриваем линейные дифференциальные уравнения второго порядка, то указанная замена приводит к линейному дифференциальному уравнению первого порядка, которое интегрируется в квадратурах.

Упражнение. Найти общее решение дифференциального уравнения

1. y′′ −	y	+	y	= 0 .

	x		x2

Ответ: частное решение y	= x ; общее решение y =	x	ln	2 x + c x ln x + c x .

1	2			1	2
2. y′′sin2 x = 2 y .

Ответ: частное решение y1 = ctgx ; общее решение y = c1ctgx + c2 (1 − xctgx) .

3.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами

Дифференциальное уравнение вида

	d 2 y	+ p(x)	dy	+ q(x) y = f (x)	(1)
	dx2
			dx
(где p(x), q(x) и f(x) – непрерывные функции от х) –					линейное уравнение

относительно функции y и y′, y″, которое называется линейным неодно-

родным дифференциальным уравнением второго порядка с перемен- ными коэффициентами.

Теорема 1 (о структуре общего решения неоднородного уравнения). Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Доказательство. Пусть y* некоторое частное решение дифференци- ального уравнения (1) т.е.

d 2 y *	+ p(x)	dy *	+ q(x) y* = f (x) .	(2)
dx2
		dx

Вычитая из уравнения (1) уравнение (2) получим

d	2 ( y − y*)	+ p(x)	d ( y − y*)	+ q(x)( y − y*) = 0 .	(3)
	dx2		dx

Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка с пе- ременными коэффициентами, структура общего решения которого (п. 3.3, теорема 2) имеет вид

y – y* = C1y1 + C2y2,

(4)

где y1 и y2 – суть частные линейно независимые решения соответствую- щего однородного уравнения (1).

Из равенства (4) следует, что общее решение неоднородного диффе- ренциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами имеет вид

y = y* + C1y1 + C2y2,

(5)

где y* – любое частное решение дифференциального уравнения (1), а C1y1 + C2y2 – общее решение соответствующего однородного дифференци- ального уравнения.

Из теоремы 1 следует, что для нахождения общего решения неодно- родного уравнения нужно найти общее решение соответствующего одно- родного уравнения (см. п. 3.3, теорема 3) и любое y* – частное решение неоднородного уравнения.

Функцию y* можно определить методом вариации произвольных постоянных.

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Пусть дано неоднородное дифференциальное уравнение второго по- рядка с переменными коэффициентами (1), соответствующее ему одно- родное уравнение

y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0	(6)
имеет общее решение
y = C1y1(x)+ C2y2(x),	(7)

где y1 и y2 – частные линейно независимые решения уравнения (6).

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (1), согласно методу вариации произвольных постоянных, будем искать в виде общего решения (7) однородного уравнения (6), cчитая, что С1 и С2 – функции x, т.е.

y = C1(x) y1 + C2(x) y2.	(8)
Дифференцируя равенство (8), получим
y′ = C1′(x)y1 + C1(x)y1′ + C2′(x)y2 + C2(x)y2′ =
	(9)
= (C1′(x)y1 + C2′(x)y2) + (C1(x)y1′ + C2(x)y2′).
Поскольку необходимо определить две функции C1(x) и	C2(x), то

одно соотношение между ними можно выбрать произвольно. Пусть	C1(x)
и C2(x) такие, что справедливо равенство
C1′(x)y1 + C2′(x)y2 = 0.	(10)
Тогда первая производная, определяемая формулой (9), упрощается
и примет вид
y′ = C1(x)y1′ + C2(x)y2′.	(11)
Дифференцируя равенство (11), получим
y" = C1(x)y1" + C2(x)y2" + C1′(x)y1′ + C2′(x)y2′.	(12)

Подставляя выражения (7), (11) и (12) в дифференциальное уравне- ние (1), получим

C1(x)y1" + C2(x)y2" + C1′(x)y1′ + C2′(x)y2′ +

+ p(x)[C1(x)y1′ + C2(x)y2′] + q(x)[C1(x)y1 + C2(x)y2] = f(x)

или

C1(x)[y1" + p(x)y1′ + q(x)y1] +

(13)

+ C2(x)[y2" + p(x)y2′ + q(x)y2] + C1′(x)y1 + C2′(x)y2 = f(x).

Так как функции y = y1(x) и y = y2(x) есть решения линейного од- нородного уравнения (6), то выражения, заключенные в квадратные скоб- ки, равны нулю. Тогда получаем еще одно условие

C1′(x)y1′ + C2′(x)y2′ = f(x).

Условия (10) и (14) образуют систему уравнений

	C '(x )y + C '(x )y									2		= 0,
		1		1	2					2
		C '(x )y ' + C				2	'(x y) '= f x(
		1		1		2						2
	y	y	2										y	2	′
	y	y											y		′
D =	1			= y y¢	- y¢y			2	=		ln					× ( y y	2	) .
D =	y¢	y¢		= y y¢	- y¢y				=		ln		y			× ( y y		) .
	y¢	y¢		1 2		1							y			1
	1		2											1

(14)

(15)

(16)

Решая систему алгебраических уравнений (15) относительно C′(x)

и C′ (x) , находим

'(x )= −

f (x)

; C2 '(x )=

f (x)

(17)

′

Интегрируя полученные дифференциальные уравнения (17), находим

C1(x) = −∫

f (x)dx

+ C1 ,

(18)

C2 (x) = ∫

f (x)dx

+ C2 .

(19)

Подставляем (18) и (19) в равенство (7), получим общее решение ли- нейного неоднородного дифференциального уравнения (1).

y = y1 −∫		f (x)dx
						′
	y		ln	y	2


	1			y1

(C1 y1 + C2 y2 ) + − y1 ∫



				f (x)dx
+ C1	+ y2	∫		f (x)dx				+ C2	=
+ C1	+ y2	∫					′	+ C2	=
					y	2	′
			y2	ln		2
			y2	ln	y1
					y1

f (x)dx

y2 ′ y1 ln y1



+ y2 ∫		f (x)dx
+ y2 ∫			y		′	.
			y	2
	y2	ln		2
	y2	ln	y1
			y1

Заметим, что первое слагаемое (первая скобка) – это общее решение однородного уравнения (6), а второе слагаемое (вторая скобка) – это част-

ное решение y* неоднородного уравнения (1).

Замечание 1. Для линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами

y''+ p(x) y '+ q(x) y = f (x) .

Соответствующая система уравнений для определения C1(x) и

C2 (x) имеет вид

		'	(x) y + C	'	y		(x) = 0,
C
	1		1	2		2		'(x) = f (x).
C		'(x) y ' + C		'(x) y
	1		1	2				2

Решением этой системы являются функции (можно методом Крамера найти C1'(x) и C2' , а затем проинтегрировать)

C1(x) = -∫	y2 × f (x)			dx;C2 = ∫	y1 × f (x)			dx .

	W ( y , y	2	)		W ( y , y	2	)
	1				1

Тогда частное решение неоднородного дифференциального уравне- ния будет иметь вид

yr = - y1 × ∫	y2 × f (x)			dx + y2	∫	y1 × f (x)			dx ,

	W ( y , y	2	)			W ( y , y	2	)
	1					1
где W ( y1, y2 ) – определитель Вронского для у1 и								у2 .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального урав- нения второго порядка с переменными коэффициентами запишем в виде

y = C1 y1 + C2 y2 + yr = C1 y1 + C2 y2 - y1 ∫

y2 × f (x)

dx +

∫

y1 × f (x)

dx .

W ( y , y

)

W ( y , y

)

Так, например, найдем общее решение уравнения

( y''+

y '+ y = 0)

y' =

sin x

; y

cos x

;W ( y , y

) = -

А частное решение неоднородного уравнения

y =

sin(x)

;

cos(x)

; W ( y , y

) = -

тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения вто- рого порядка с переменными коэффициентами имеет вид

y = C	sin x	+ C		cos x	+	sin x	× ln	tg	x	.
			2
1				x		x		2
	x

Замечание 2. Обратите внимание еще раз на то, что линейное неод- нородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами

можно проинтегрировать в квадратурах, если известно одно частное реше- ние y1 ( x) соответствующего однородного уравнения; общее решение не-

однородного уравнения имеет вид			y2 = C1 y1 + C2 y2 + yr , где							y2 определя-
ется через y1	по формуле
y2 = y1 ∫	e−∫ p( x)dx	dx , а yr = - y1		× ∫	y		× f (x)	dx + y2 ∫	y × f (x)
						2			1		dx .
	y12				W ( y1, y2 )
									W ( y1, y2 )

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

xy" – y′ = x5 + 1.

Решение. Соответствующее однородное дифференциальное уравне- ние имеет вид

xy" – y′ = 0,

частными линейно независимыми его решениями будут функции y1 = x2; y2 = 1.

Следовательно, общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

y= C1x2 + C2·1,

аобщее решение неоднородного дифференциального уравнения будем ис-

кать в виде

	y = C1(x)x2 + C2(x)·1.
C1(x) и C2(x) – определяем из системы (15), которая в нашем случае
имеет вид
		2	+ C		'(x )× 1= 0,
C '(x )× x			+ C		'(x )× 1= 0,
	1			2	'(x )× 0= x5 + 1
C '(x )× 2x + C				2	'(x )× 0= x5 + 1
	1			2

Откуда

						x4						1										x6					x
C '(x )=									+					,	C	2	'(x )= -							-				,
C '(x )=									+					,	C		'(x )= -							-				,
	1				2								2x									2					2
					2								2x									2					2
		x5			1																		x7					x	2
		x5			1																		x7					x
а C (x) =			+				ln				x		+ C ,			C		2	(x) = -							-				+ C	2	.
а C (x) =			+				ln				x		+ C ,			C			(x) = -							-				+ C		.
1	10				2									1								14						4
	10				2																	14						4
Тогда общее решение исходного неоднородного дифференциального
уравнения имеет вид
x5			1																	x7		x	2
x5			1																	x7		x
y =		+		ln				x		+ C				x2 +				-			-				+ C					×1.
y =		+		ln				x		+ C				x2 +				-			-				+ C					×1.
	10		2									1								14		4						2
	10		2																	14		4

При нахождении частных решений неоднородных уравнений имеет место следующая теорема.

Теорема 2.	Если y1(x) решение линейного уравнения
	y″ + p(x)y′ + q(x)y = f1(x),	(20)
а функция y2(x) –	решение линейного уравнения
	y″ + p(x)y′ + q(x)y = f2(x),	(21)
то функция y = y1(x) + y2(x) будет решением уравнения
	y″ + p(x)y′ + q(x)y = f1(x) + f2(x).	(22)
Доказательство. Подставляя значения y, y′ и y" в уравнение (22) и учи-
тывая, что y1 и y2 –	решения уравнений (20) и (21) соответственно получаем
	y1" + y2" + p(x)(y1′ + y2′) + q(y1 + y2) =
= (y1" + p(x)y1′ + q(x)y1) + y2" + p(x)y2′ + q(x)y2 = f1(x) + f2(x).

3.5.Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида

y′′ + py′ + q = 0 ,

(1)

где p, q – действительные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными ко- эффициентами.

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения (1), дос- таточно, как было доказано выше (п. 3.3, теорема 2), найти два линейно не- зависимых частных решения.

Частные решения (1) будем искать в виде

y = ekx ,	k = const,	(2)
тогда
y′ = kekx ,	y′′ = k 2ekx .	(3)
Подставляя (2) и (3) в уравнение (1), получим
ekx (k 2 + pk + q) = 0 .		(4)
Так как ekx ¹ 0 , то из (4) следует, что
k 2 + pk + q = 0 .		(5)

Значит, если k будет удовлетворять уравнению (5), то ekx будет частным решением уравнения (1).

Уравнение (5) называется характеристическим уравнением для диф- ференциального уравнения (1).

Характеристическое уравнение (5) есть квадратное уравнение, имеющее два корня:

k = -	p	+	p2	- q ,	k		= -	p	-	p2	- q .
						2
1	2		4				2		4

Возможны следующие случаи:

1. Корни характеристического уравнения (5) действительны и различны:

k ¹ k			, т.е. D =			p2		- q > 0 .
k ¹ k	2		, т.е. D =					- q > 0 .
1	2						4
							4
В этом случае частными решениями, согласно формуле (2), будут
функции
y		= ek1x и		y	2		= ek2 x .		(6)
1					2

Эти решения линейно независимы, т.к.


	y1	=	ek1x	= e(k1 −k2 ) x ¹ const .
		=		= e(k1 −k2 ) x ¹ const .
	y2		ek2 x
Значит, общее решение дифференциального уравнения (1) имеет вид
			y = C ek1x + C			ek2 x .	(7)
		1			2

Пример 1.	Найти общее решение уравнения y′′ − 2 y′ − 3y = 0 .
Решение.	Характеристическое уравнение для данного дифференци-

ального уравнения имеет вид k	2 - 2k - 3 = 0 , корни которого k = −1 и
	1

k2 = 3 , действительные различные числа. Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид

		y = C e− x			+ C e3x .
				1	2
2. Корни характеристического уравнения (5) действительны и
равны, т.е.
k = k		= -	p	, т.к. D =		p2	- q = 0 .
k = k	2	= -		, т.к. D =			- q = 0 .
1	2	2			4
		2			4

Одно частное решение в этом случае y = ek1x	. Второе частное ре-
1

шение y2 = ek2 x – линейно зависимое с первым (функция ek2 x тождест-

венно равна ek1x , и поэтому не может рассматриваться в качестве второго частного решения).

Второе частное решение –

линейно независимое решение можно

найти, используя теорему 3 (п. 3.3), по формуле y2 = y1 ∫

−

∫ p( x)dx

dx .

y 2

В нашем случае имеем

−

e− ∫ pdx

−

e− px

−

y2 = e 2

∫

dx = e 2

∫

dx = e 2

∫dx = (x + c)e 2 .

− px

Полагая с = 0, получим другое частное линейно независимое реше-

ние с y1 :

−

y2 = xe

2 .

Тогда общее решение дифференциального уравнения (1) имеет вид

−

+ C

y = C e

2 .

Пример 2. Найти общее решение уравнения

y′′ − 6 y′ + 9 y = 0 .

Решение. Характеристическое уравнение для данного уравнения

имеет вид k 2 - 6k + 9 = 0 .

Его корни

k1 = k2 = 3 , тогда общее решение исходного дифференци-

ального уравнения имеет вид

y = C e3x

+ C

xe3x .

Замечание 1. В случае, когда корни характеристического уравнения

одинаковы, т.е. k

= k

= -

, то второе частное линейно независимое ре-

−

шение исходного уравнения можно искать в виде

y2 = u(x) × e 2 .

′

′′

, и подставляя в уравнение (1),

Дифференцируя, находим y2

после преобразований получим, что

u′′ = 0 ,

т.е.

u(x) = Ax + B . В частно-

− p x

сти, полагая A = 1 и B = 0, получим u(x) = x , а, следовательно, y2 = xe 2 .

3. Корни характеристического уравнения (5) комплексные, и так как коэффициенты p и q дифференциального уравнения (1) – действитель-

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2210 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20153.63 Mб42умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб40умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб46умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб47умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб53умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб35умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб45умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб93умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf