14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды

y = C α eλ1x + C α

eλ2 x + ... + C α

eλn x

,

1

1

11

2

12

n 1n

eλn x ,

y

= C α

eλ1x + C

α

eλ2 x + ... + C α

2

1

21

2

22

n

2n

(32)

dy1

= y

+ 2 y

,

2

dx

1

dy2

= 4 y

+ 3y

.

1

2

dx

y = α eλx , y

2

= α

2

eλx .

1

1

Составляем характеристическое уравнение

1 − λ

2

= 0

или

λ2 − 4λ − 5 = 0 ,

4

3 − λ

корни которого

λ1 = 5, λ2 = −1

– действительные и различные числа.

Построим частное решение,

соответствующее корню λ1 = 5 . Со-

гласно соотношениям (27) α

(1)

и

α

(1)

будем искать из системы

(1 - 5)a1

1

= 0,

2

-4a1

+ 2a2

= 0,

+ 2a2

(1)

(1)

(1)

(1)

,

- 5)a

= 0.

или

4a (1)

- 2a

4a (1) + (3

(1)

(1)

= 0.

1

2

1

2

2a

(1)

- a

(1)

= 0,

a

(1)

=1,

1

- a

2

= 0.

,

1

= 2.

2a

(1)

(1)

a

(1)

1

2

2

y

(1)

=1× e5x и y

(1)

= 2e5x .

1

2

Найдем частное решение, соответствующее корню

λ2 = −1. Соглас-

но соотношениям (27)

2a

(2)

+ 2a

(2)

= 0,

a

(2) =1,

a

= -1.

1

2

, откуда

(2)

4a (2)

+ 4a

(2)

= 0.

1

2

1

2

y (2)

=1× e− x

и

y

(2) = -1× e− x .

1

2

Тогда общее решение исходной системы имеет вид

= C y

(1)

+ C

y

(2)

= C × e

5x

+ C e

− x

,

y

2

1

1

1

1

1

2

e− x .

y

2

= C y

(1)

+ C

2

y

2

(2) = 2C e5x - C

1

2

1

2

Пример 2. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

y′ = 2 y - y

2

+ y ,

1

1

3

y2¢ = y1 + 2 y2 - y3 ,

y¢ = y - y

2

+ 2 y .

3

1

3

Решение. Характеристическое уравнение данной системы

2 - l

-41

1

= (2 - l)3 - (2 - l) = (2 - l)(1 - l)(3 - l)

1

2 - l

-1

1

-1

2 - l

имеет корни

λ1 = 1,

λ2 = 2,

λ3 = 3.

При λ1 = 1 система (27) имеет вид

a - a

2

+ a

3

= 0,

1

a1 + a2 - a3 = 0,

a - a

2

+ a

3

= 0,

1

решением которой являются числа

α1 = 0,

α2 = α3 , полагая α3 = 1, получим

0

1

1

y = C1

× a1 + C2 a2 + C3 a3 = C1

×

× ex + C2

1

1 e2 x + C3

0

e3x

1

1

1

y = C

e2 x + C e3x

,

1

2

3

= C ex

+ C

e2 x ,

y

2

1

2

y = C ex

+ C e2 x + C e3x .

3

1

2

3

p1

q1

p

q

p ± iq =

2

± i

2

.

...

...

pn

qn

p1 + iq1

p1 - iq1

p

+ iq

× e(α +βi) x

p

- iq

× e(α −βi) x

2

2

и

2

2

...

...

pn + iqn

pn - iqn

+ iq )e(α + iβ) x = eαx ( p

cosβx − q

sin βx) + ieax ( p

sin βx + q

cosβx), k =

,

( p

k

k

1, n

k

k

k

k

то векторы

p1 cosbx - q1 sin bx

p1 cosbx + q1 sin bx

p

cosbx - q

sin bx

× eax

p

cosbx + q

sin bx

× eax

u(x) = 2

2

и u(x) = 2

2

...........................

...........................

pn cosbx - qn sin bx

pn cosbx + qn sin bx

2 - l

-3

= 0

или

l2 - 4l +13 = 0 .

3

2 - l

Корни характеристического уравнения

λ1 = 2 + 3i, λ2 = 2 − 3i . Ча-

стное решение, соответствующее корню

λ1 = 2 + 3i , будем искать в виде

y = a e(2 + 3i) x ,

z = a

2

e(2 + 3i) x . Числа

α

и

α

2

определяем из системы

1

1

(2 - 2 - 3i)a1 - 3a2 = 0,

a1i + a2 = 0,

3a1 + (2 - 2 - 3i)a2 = 0.

или

a1 - ia2 = 0.

y = e2 x cos3x,

z

= e2 x sin 3x,

1

z

1

= -e2 x cos3x.

y

2

= e2 x sin 3x,

2

a + bi , то сопряженный ему корень

a − bi также является корнем харак-

теристического уравнения кратности

k. Находим k линейно независимых

dx

= x − y,

dt

ных уравнений

dy

= x

+ 3y.

dt

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

1 − λ

−1

= 0

или

λ2 − 4λ + 4 = 0 .

1

3 − λ

Корни характеристического уравнения кратные k1 = k2 = 2 . Следо-

вательно, решение будем искать

x = (α + β t)e2t ,

y = (α

1

1

2

+ β

t)e2t .

2

Полагая, что α1 = C1,

β1 = C2 , то общее решение исходной системы

запишем в виде

x = (C + C t)e2t ,

1

2

y = −(C + C

2

+ C

t)e2t .

1

2

y′

= a y + b y

2

+ d y + ϕ (x),

1

1

1

1

1

3

1

y′

= a y

+ b y

2

+ d

2

y + ϕ

2

(x),

(33)

2

2

1

2

3

′

= a3 y1

+ b3 y2 + d3 y3 + ϕ3 (x).

y3

Считаем, что

решение

соответствующей однородной

системы

(ϕ1(x) = 0; ϕ2 (x) = 0;

ϕ3 (x) = 0)

для (33) известно и имеет вид

y = C1

+ C2

+ C3

(34)

y1

y2

y3

или в координатной форме

y1 = C1 y11 + C2 y12 + C3 y13 ,

y

2

= C y

21

+ C

2

y

22

+ C y

23

,

(35)

1

3

y = C y + C

y + C y .

3

1

31

2

32

3

33

Решение неоднородной системы (33) будем искать в виде (35) –

об-

щее решение соответствующей

однородной

системы,

считая,

что

C1, C2 ,

C3 – функции от x, т.е.

y1 = C1(x) y11 + C2 (x) y12 + C3 (x) y13 ,

y

2

= C (x) y

21

+ C

2

(x) y

22

+ C (x) y

23

,

(36)

1

3

y = C (x) y + C

2

(x) y + C (x) y ,

3

1

31

32

3

33

где C1(x), C2 (x), C3 (x)

– неизвестные функции.

Дифференцируя соотношения (36) и подставляя их в первое уравне-

ние системы (33), собирая подобные при C1(x), C2 (x),

C3 (x)

получим

′

′

′

′

C1

(x) y11 + C2

(x) y12 + C3

(x) y13 + C1(x)( y11 − a1 y11 − b1 y21 − d1 y31) +

′

− b1 y22

′

− a1 y13 − b1 y23 − d1 y33 ) = ϕ1

(x).

+C2 (x)( y12 − a1 y12

− d1 y32) + C3 (x)( y13

Но так как

y1,

y2 ,

y3

– решения однородной системы,

то все выра-

′

′

′

тельно C1(x), C2 (x),

C3 (x) , определитель которой отличен от нуля в силу

(x)

(x) . Решая систему

линейной независимости векторов

y1

(x),

y2

и

y3

(37) – (39),

находим искомые функции

C1(x), C2 (x), C3 (x)

и,

следова-

тельно, общее решение системы (33), подставляя

C1(x), C2 (x)

и

C3 (x) в

соотношения (36).

y′ = −2 y + z − e2x ,

ний

z′ = −3y + 2z + 6e2 x .

Решение. Соответствующая

y′ = −2 y + z,

однородная

система

z′ = −3y + 2z

имеет характеристическое уравнение

−2 − λ

1

= 0 или

λ2 − 1 = 0; λ = 1, λ = −1.

−3

2 − λ

1

2

y = C (x)ex + C

2

(x)e− x

1

z = 3C (x)ex + C

2

(x)e− x ,

1

где C1(x) и C2 (x)

–

подлежащие определению непрерывно дифферен-

цируемые функции x.

′

′

C′(x)ex

+ C′ (x)e− x = e−2 x ,

Находим C

(x)

и

C

(x) из системы

1

2

2

1

3C′(x)ex

+ C′

(x)e− x = 6e2x .

1

2

′

(x) =

7

x

′

= −

9

3x

Решая полученную систему, находим

C1

e

, C2

(x)

e

.

2

2

Откуда, интегрируя, получим

C (x) =

7

ex + C ,

C

(x) = −

3

e3x + C

.

2

2

1

2

1

2

Тогда общее решение заданной неоднородной системы имеет вид

y = C ex + C

e− x + 2e2x ,

1

2

z = 3C ex

+ C

e− x + 9e2 x .

1

2

dx

= a x + b y + F (t),

dt

1

1

1

(40)

dy

= a2 x + b2 y + F2 (t).

dt

d (x + λy)

= (a + a λ)x + (b + b λ) y + F + λF .

(41)

dt

1

2

1

2

1

2

Цель будет достигнута, если

b1 + b2λ = λ(a1 + a2λ)

или

a λ2

+ (a − b )λ − b = 0 .

(42)

2

1

2

1

Тогда имеем следующую интегрируемую комбинацию

(U = x + λy)

dU

= dt .

(43)

(a + a λ)U + F + F λ

1

2

1

2

U = x + λy = Φ(t, λ, c) .

(44)

x + λ1 y = Φ(t, λ, c1),

(45)

x + λ

2

y = Φ(t, λ, c );

2

x + (α + iβ) y = Φ(t, α + βi, A + Bi) ,

(46)

dx

= 6x − y,

dt

линейных дифференциальных уравнений

dy

= 3x + 2 y.

dt

d x -

y

3

= dt .

5 x -

y

3

y

= 5(t + C) , откуда

Интегрируя это уравнение, получим

ln

x -

3

(3x - y) × e−5 y = C , где C = e5C .

1

1

Во втором случае (λ2 = −1)

интегрируемая комбинация имеет вид

U2 = x − y и

d (x − y)

= dt

или

d (x − y)

= dt .

(6 - 3)(x - y)

3(x - y)

Интегрируя данное уравнение, получим

(x - y)e−3t = C2 , где

C2 = e3C .

Таким образом, общий интеграл системы имеет вид

(3x - y)e−5t = C ,

(x - y)e−3t = C

1

2

.