Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2212 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Последовательно дифференцируя дважды y* получим

( y*)'= (3Ax2 + 2Bx )ex + (Ax3 + Bx2 )ex ,

( y*)" = 2 × (3Ax2 + 2Bx)ex + (6 Ax + 2B)ex + ( Ax3 + Bx2 )ex .

Подставляя y*, ( y*)', (y *)" в исходное уравнение после сокраще-

ния на ex ¹ 0 ,	получим 6 Ax + 2B = x .
Откуда имеем A =				1	, B = 0 . Следовательно, частное решение исход-

	6
ного уравнения	y* =	x3	ex ,		а его общее решение y = C ex + C		xex +	x3	ex .
						2
	6				1		6

3.Правая часть уравнения (1) имеет вид

f (x) = a1 cosbx + a2 sin bx .
Она получается из выражения (2) при α = 0		и Pn (x) , Rm (x) – по-
стоянные числа a1 и a2.
3.1. Числа 0 ± βi не	являются корнями	характеристического
уравнения
	k 2 + pk + q = 0 .
Тогда частное решение исходного уравнения будем искать в виде
y* = A1 cosbx + A2 sin bx .		(15)
Подставляя y, ( y)',	(y *)" в исходное уравнение и приравнивая
коэффициенты при cosβx и	sin βx , находим A1	и A2 , и, тем самым, ча-

стное решение данного уравнения, а, следовательно, и его общее решение.

3.2. Одно из чисел 0 ± βi корень характеристического уравнения k 2 + pk + q = 0 ,

тогда частное решение исходного уравнения будем искать в виде

y* = x × ( A1 cosbx + A2 sin bx) .

Коэффициенты A1 и A2 определим аналогично, как и в п 3.1.

3.3. Характеристическое уравнение

k 2 + pk + q = 0

не может иметь кратных (комплексных) корней, поэтому для данной функции возможны только случаи пп. 3.1 и 3.2.

111

4.Правая часть уравнения (1) имеет вид

	f (x) = eαx (P (x) cosbx + R (x)sin bx) .
	n	m
	4.1. Числа α ± βi не являются корнями характеристического
уравнения
	k 2 + pk + q = 0 ,
тогда частное решение исходного уравнения (1) будем искать в виде
	y* = eαx[M k (x)cosbx + Nk (x)sin bx],		(16)
где	k = max(m, n) , M k (x) и	Nk (x) – многочлены с действительными
коэффициентами, которые требуется найти.
	4.2. Одно из чисел α ± βi	корень характеристического уравнения
	k 2 + pk + q = 0 ,
тогда частное решение исходного уравнения (1) будем искать в виде
	y* = x × eαx[M k (x)cosbx + Nk (x)sin bx] ,		(17)
где	M k (x) и Nk (x) – из формулы (16).
	4.3. Характеристическое уравнение

k 2 + pk + q = 0

не может иметь кратных (комплексных) корней, поэтому для данной функции возможны только случаи пп. 3.1 и 3.2.

5. Если правая часть f(x) дифференциального уравнения (1) является суммой функций рассмотренных видов, то частное решение y* равно сумме соответствующих решений.

Пример 4. Найти общее решение уравнения

y"+ 3y '+ 2y = 4sin 3x + 2cos3x .

Решение. Корни характеристического уравнения k 2 + 2k + 3 = 0 будут k1 = −2 и k2 = −1. Следовательно, общее решение однородного уравнения

y = C1e−2x + C2e− x .

Число 0 ± βi = 3i не является корнем характеристического уравне- ния, поэтому частное решение неоднородного дифференциального уравне- ния будем искать в виде y* = Asin 3x + B cos3x .

112

Определим коэффициенты A и B, для этого найдем ( y *) ' и ( y *)" :

( y*)'= 3A cos3x − 3B sin 3x , ( y*)" = −9 Acos3x − 9B cos3x .

Подставляя в исходное дифференциальное уравнение, получим

−9 Asin 3x − 9B cos3x + 9 Acos3x − 9B sin 3x + +2 Asin 3x + 2B cos3x = 4sin 3x + 2cos3x.

Откуда

(−7 A − 9B)sin 3x + (9 A − 7B)cos3x = 4sin 3x + 2cos3x .

Приравнивая коэффициенты при								sin 3x и				cos3x , получим систему
уравнений
				−7 A − 9B = 4,
				9 A − 7B = 2.

Откуда A = −	1	,	B = −	5	, следовательно,							y* = −	1	sin 3x −		5	cos3x .
Откуда A = −		,	B = −		, следовательно,							y* = −		sin 3x −			cos3x .
13			13									13			13
Тогда общее решение неоднородного уравнения
y = C e−2x + C						e− x −	1	sin 3x −			5	cos3x .
y = C e−2x + C						e− x −		sin 3x −				cos3x .
1			2			13				13
						13				13
Пример 5. Найти общее решение уравнения y"+ 9 y = 6cos3x .
Решение. Корни характеристического уравнения
		k 2 + 9 = 0 ; k = 3i; k							2	= −3i .
						1			2

Тогда общее решение однородного уравнения y = C1 cos3x + C2 sin 3x .

Число 3i = bi является простым корнем характеристического урав-

нения, поэтому

y* = ( Asin 3x + B cos3x) × x ,

( y*)'= A sin 3x + B cos3x + x × (3A cos3x + B sin 3x ),

( y*)" = 6 Acos3x - 6B sin 3x + x × (-9 Asin 3x - 9B cos3x) .

Подставляя y*,( y*)',(y *)" в исходное уравнение, получим

6 Acos3x - 6B sin 3x = 6cos3x + 0 ×sin 3x .

Откуда, приравнивая коэффициенты при sin 3x и cos3x , получим

A =1, B = 0 .

113

Тогда частное решение y* = xsin 3x , а общее решение будет

y = C1 cos3x + C2 sin 3x + x sin 3x .

Пример 6. Найти общее решение уравнения

y"− 2 y '+ y = sinx + e− x .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

k 2 − 2k + 1 = 0 ,

его

корни

k1 = k2 = 0 .

Общее

решение

соответствующего однородного

уравнения

y = C ex

+ C

xex .

Так как правая часть уравнения состоит из суммы двух функций

sin x

e− x ,

то частное решение y*

будем искать в виде

y* = y1 * + y2 * ,

где

y1* –

частное решение уравнения

y"− 2 y '+ y = sinx ,

а y2* – частное

решение уравнения

y"− 2 y '+ y = e− x .

Определим y1* для дифференциального уравнения y"− 2 y '+ y = sinx .

Число

βi = i

не является корнем характеристического уравнения,

поэтому частное решение y1* будем искать в виде

y1* = Asin x + B cos x .

Подставляя y *,

( y *)',

(y *)"

в исходное уравнение и приравнивая

коэффициенты при

sin x и cos x ,

получим

A = 0, B =

и, следователь-

но,

y * =

cos x .

y"− 2 y '+ y = e− x

Частное решение y2* для уравнения

будем искать в

виде

y = Ae− x .

Подставляя y

( y

*)',

*)" в уравнение

y"− 2 y '+ y = e− x нахо-

дим

A =

а, следовательно

y2* =

− x

Таким образом, частное решение заданного дифференциального

уравнения будет иметь вид

y* =

cos x

− x

а его общее решение

y = C ex

+ C

xex +

cos x +

e− x ..

114

§4. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Системой дифференциальных уравнений называется система, связывающая независимую переменную, неизвестные функции этой переменной и производные функций по независимой переменной.

Если система дифференциальных уравнений разрешима относительно всех входящих в нее производных, то ее называют нормальной системой:

dy1

= f (x, y , y ,..., y

dy2

= f2

(x, y1, y2

,..., yn ),

(1)

...

dyn

= f

(x, y

, y

,..., y

При этом предполагается, что число уравнений равно числу искомых функций.

Так уравнение второго (или более высокого) порядка можно привести к нормальной системе дифференциальных уравнений вида (1).

Уравнение второго порядка y '' = f (x, y, y ') путем замены y ' = p(x) , y '' = p ' сводится к нормальной системе дифференциальных уравнений вида

y ' = p,

p ' = f (x, y, p),

а систему двух дифференциальных уравнений второго порядка

d 2 x		= f1(x, y,t, x ', y '),
	2

dt
d 2 y		= f2 (x, y,t, x ', y '),
	2
dt

описывающую движение точки на плоскости, путем введения новых переменных x' =u, y ' = v, приводим к нормальной системе.

dxdt =u,

dydt = v,

dudt = f1(x, y,t,u,v),

dv = f2 (x, y,t,u,v).

115

Общим решением системы дифференциальных уравнений (1) в об-

ласти D изменения переменных x, y1,					y2 ,		yn называется совокупность n
функций
y = ϕ (x,C ,C ,...,C								n		),
1		1		1	2			n
y		= ϕ		(x,C ,C			,...,C				),
	2		2	1		2			n		(2)
...		= ϕ
y	n	= ϕ	n	(x,C ,C		2	,...,C		n		),
	n		n	1		2			n

имеющих частныепроизводныепо x, которая обладаетследующими свойствами: 1) система уравнений (2) разрешима в области D относительно про- извольных постоянных C1, C2 , ..., Cn , т.е. все эти произвольные постоян-

ные не могут быть исключены из системы; 2) функции системы (2) должны удовлетворять системе дифференци-

альных уравнений (1), т.е. являются решением этой системы при всех про- извольных постоянных C1, C2 , ..., Cn .

Механический смысл нормальной системы дифференциальных уравнений

Заменим нормальную систему дифференциальных уравнений (1) в виде

		dx1		= F (t, x , x ,..., x ),
	dt			= F (t, x , x ,..., x ),
	dt		1		1	2	n

	dx2			= F2 (t, x1, x2			,..., xn ),
								(3)

	dt
	...

		dxn		= F (t, x , x ,..., x ),
				= F (t, x , x ,..., x ),
				n	1	2	n
	dt
где t – время; x1	, x2 , ..., xn –			прямоугольные координаты точки фазово-
го пространства;	n = 1 – это прямая R1, n = 2 – это плоскость R2, n = 3 –
это пространство R3.
Любое решение системы (3)
	x1 = x1 (t),			x2 = x2 (t), ..., xn = xn (t)				(4)

называется движением, определяемым системой (3), а путь, который опи- сывает точка в фазовом пространстве, называется траекторией движения.

Система (3) задает поле скоростей движений, определяемых этой системой. Задача интегрирования данной системы состоит в восстановле- нии по этому полю движений системы.

116

Задача Коши для системы дифференциальных уравнений (3) форму- лируется следующим образом: найти решение (траекторию движения) (4), удовлетворяющее начальным условиям

		x1 (t0 ) = x10 , x2 (t0 ) = x20 , ..., xn (t0 ) = xn0 ,	(5)
где	t,	x10 , x20 ,..., xn0 – заданные числа (начальные данные).
	Другими словами, необходимо найти такую траекторию движения (4),
при	которой движущаяся точка находится в заданной		точке
( x10	, x20	, ..., xn0 ), фазового пространства в заданный момент времени t0.

4.1.Интегрирование систем дифференциальных уравнений

1.Метод сведения системы к однородному дифференциальному уравнению высшего порядка – метод исключения.

Суть данного метода интегрирования систем дифференциальных уравнений состоит в следующем: последовательное дифференцированием одного из уравнений системы (1) и исключение всех неизвестных функций,

кроме одной. Полученное дифференциальное уравнение интегрируем и на- ходим общее решение системы, не применяя интегрирования.

Дифференцируя по х первое уравнение системы (1), получим

2 y

¶f

¶f dy

¶f

+ ... +

(6)

dx2

¶x

¶y

Заменяя производные

dy1

dy2

,...

dyn

их выражениями f , f

,... f

из

dx dx

уравнения системы (1), получим уравнение второго порядка

d 2 y1

= F ( x, y , y

,...y

) .

(7)

dx2

Дифференцируя уравнение (7) по переменной х и заменяя производ-

ные dy1 , dy2 ,... dyn их выражениями из системы (1), получим уравнение

dx dx	dx
третьего порядка
		d 3 y1	= F	( x, y , y	2	,..., y	n	) .	(8)
			= F	( x, y , y		,..., y		) .	(8)
		dx3	3	1
		dx3
Продолжая этот процесс далее (дифференцируем –									подставляем –

получаем) приходим к уравнению порядка п следующего вида

d yn1 = Fn ( x, y1, y2 ,..., yn ) . (9) dx

117

После полученных преобразований приходим к следующей системе уравнений

dy1

= f (x, y , y

,..., y

2 y

= F2 (x, y1, y2

,..., yn ),

dx2

(10)

.........................................

= F (x, y , y

,..., y

dxn

Из первых (п – 1) уравнений системы (10) определяем y2 , y3 ,..., yn ,

выразив их через х, функцию у1 и её производные

y	2	= ϕ	2	(x, y , y'		,..., y(n −1) ),
	2		2	1	1	1
					'	(n −1)
		= ϕ3 (x, y1, y1,..., y1					),
y3		= ϕ3 (x, y1, y1,..., y1					),

........................................
y	n	= ϕ	n	(x, y , y'		,..., y(n −1) ).
	n		n	1	1	1

'	''	(n −1)	.
y1	, y1 ,..., y1

(11)

Подставляя y1, y2 ,..., yn

из (11) в последнее уравнение системы (10),

получим уравнение п-ного порядка относительно у1

d n y1

= Φ(x, y , y',..., y(n −1) ).

(12)

dxn

Решая уравнение (12), получим

y1 = ψ1 (x,C1,C2 ,...,Cn ).

(13)

Дифференцируя (13) п – 1

раз и подставляя значения производных

(n −1)

в уравнения системы (11), находим функции

y2 , y3 ,..., yn :

, y1 ,...y1

= ψ

(x,C ,C

,...,C

= ψ

(x,C ,C

,...,C

(14)

.....................................

= ψ

(x,C ,C

,...,C

Следовательно, функции, определяемые уравнениями (13) и (14), за- дают общее решение системы дифференциальных уравнений (1).

118

Замечание 1. При решении системы дифференциальных уравнений (1) методом сведения системы к одному дифференциальному уравнению пред- полагали, что из первых (п – 1) уравнений системы (10) можно найти функ-

ции y2 , y3 ,..., yn . Если переменные y2 , y3 ,..., yn можно исключить из мень-
шего числа уравнений чем п, то для у					получим уравнение, порядок кото-
рого ниже п.
Пример 1. Решить систему дифференциальных уравнений
	dy1		= y		+ y ,

dx				2		3

dy		2	= y		+ y ,


dx				1		3

	dy3		= y		+ y		.
						2
				1
dx

Решение. Дифференцируя по х

первое уравнение системы, получим

d 2 y

= ( y

+ y )

+ ( y + y

) = 2 y + y

+ y .

dx2

= y

+ y

2 y

= 2 y

+ y

+ y ,

Исключая y2

и y3

из уравнений

dx2

получим уравнение второго порядка относительно y1:

d 2 y

−

− 2 y

= 0 ,

dx2

общее его решение

(k1 = −1;

k2 = 2)

y = C e− x

+ C

e2 x ,

dy1

− y = C e− x + 2C

e2 x − y .

Подставляя y1

и y2 в третье уравнение системы, получим уравнение

dy3

+ y = 3C

e2 x ,

интегрируя которое, имеем

y3 = C3e− x + C2e2 x .

Тогда в силу уравнения (2) получим

y2 = −(C1 − C3 )e− x + C2e2 x .

119

Выражения y1, y2 , y3 задают общее решение исходной системы дифференциальных уравнений.

Замечание 2. Если система дифференциальных уравнений (1) линей- ная относительно искомых функций y1, y2 ,..., yn , то и уравнение (12) бу-

дет линейным.

Замечание 3. Для того чтобы получить решение системы дифферен- циальных уравнений (1), удовлетворяющих начальным условиям

y1 (x0 ) = y1; y2 (x0 ) = y2 ,..., yn (x0 ) = yn ,

(15)

требуется найти из уравнений (13), (14) значения постоянных C1,C2 ,...,Cn .

Пример 2. Решить систему дифференциальных уравнений

dy1

= y

+ y

+ x,

dy2

= −4 y − 3y

+ 2x.

Решение. Дифференцируем по х

первое уравнение данной системы,

2 y

+ 1.

получим

dx2

Подставляя из системы

dy1

dy2

в последнее уравнение систе-

d 2 y

= ( y

+ y

+ x) + (−4 y − 3y

+ 2x) + 1

мы, получим

или

dx2

d 2 y

= −3y − 2 y

+ 3x + 1.

(*)

dx2

Из первого уравнения данной системы имеем

dy1

− y − x и,

подставляя y2 в уравнение (*), получим

2 y

= −3y

− 2

− y − x

+ 3x + 1

dx2

или

y1" + 2 y1' + y1 = 5x + 1.

Это дифференциальное уравнение второго порядка неоднородное с постоянными коэффициентами, со специальной правой частью, общее ре-

шение которого имеет вид

y1 = (C1 + C2 x)e− x + 5x − 9 .

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2212 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20153.63 Mб42умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб40умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб46умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб47умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб53умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб35умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб45умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб93умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf