умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

f (x) - f (0)

ный выше результат, имеем f (0) = lim

Покажем, что если f (n −1) (0) = 0 , то и значение производной порядка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2219 20 21 22 > Следующая >>>

§ 8. РЯД ТЕЙЛОРА. ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

8.1. Формула Тейлора

Теорема 1.

Если функция

f(x)

имеет в некотором промежутке

(x0 , x) непрерывные производные до

(n + 1)

порядка включительно, а

точка а лежит внутри этого промежутка, тогда

для любого x

из этого

промежутка имеет место формула Тейлора

′

′′

− a)

(a)

f (x) = f (a) +

f (a)

(x − a) +

f (a)(x

+ ... +

(x − a)n + R

(x) , (1)

где Rn (x) – остаточный член, который может быть записан в виде:


R (x) = f (n +1)	(c)(x − x	0		)n +1		,	c (x		0	, x) – форма Лагранжа,	(2)
n		0							0
R (x) = 0((x − x			0		)n ),		x → x	0		– форма Пеано.	(3)
n			0					0

Если функция f(x) в некотором промежутке имеет производные всех порядков (т.к. они имеются все, то каждая из них будет дифференцируе- мой и поэтому непрерывной), то можно написать формулу Тейлора для любого значения n. Положим при любом n = 1, 2, 3 …

		′			f	(n)	(a)(x − a)
Sn	(x) = f (a) +	f (a)(x − a)	+ ...	+				(4)
							n!
	1!
и	f (x) − Sn (x) = Rn (x) .
								(5)

Если

lim Rn (x) = 0 ,

n →∞

то степенной ряд

f (a)

′′

(n)

(a)(x

− a)

f (a) +

(x − a) +

f (a)

(x − a)2 + ... +

+ ...

сходится, и его суммой будет функция f(x).

Представление функции f(x)

в виде ряда

′

′′

(n)

(a)(x − a)

f (x) = f (a) +

(a)

(x − a) +

f (a)

(x − a)

+ ... +

называется разложением функции в ряд Тейлора.

(6)

(7)

(8)

181

В частности, при a = 0 разложение в ряд Тейлора называется разло-

жением в ряд Маклорена

	f ¢(0)		f	¢¢(0)	x2 + ... +	f (n) (0)
f (x) = f (0) +		x +					xn + ...	(9)
	1!			2!
						n!
Обратите внимание, что остаточный член в формуле Тейлора								(1) не
обязательно является остатком ряда Тейлора (7) этой функции.
Пусть некоторая функция f(x)				бесконечно дифференцируема на ин-

тервале x (−R, R) и ее ряд Тейлора сходится на этом интервале к функ-

ции S(x). Будет ли справедливо равенство f (x) = S (x) ?

Покажем, что ответ на этот вопрос отрицательный, т.е. существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряды Тейлора которых сходятся в некотором интервале, но их сумма не равна этим функциям. Рассмотрим следующий пример

	−	1

		x	2	, x ¹ 0
f (x) = e
		x = 0.
0,

Установим, что эта функция бесконечно дифференцируема на любом интервале, и найдем ее производные.

− 1

Если x ¹ 0 , то f (x) = e x 2

получим

и, дифференцируя сложную функцию,

	2		−	1			4		6			−	1						1		−	1
					2									2			(n)						2
f ¢(x) =			e	x		, f ¢¢(x) =		-			× e		x		,	f		(x) = P		e		x		,

	x	3				x6			x	4								3n x

		1			1
где	P		–	многочлен степени 3n относительно		.

	3n x				x

Отсюда следует, что

f (n) (x) существует и конечна при любом

x ¹ 0 . Определим

f (n) (0)

для любого

n. Отметим, что для любого

−

x 2

t 2

справедливо lim

= lim

= 0 , а значит для любого многочлена P

x →0 xm

t →∞ et

−

× e

= 0 .

имеем lim P

x →0 x

182

Тогда по определению производной для x = 0 и, используя получен-

n при x = 0 тоже будет равно 0, т.е.

f (n) (0) = 0 .

Действительно, по определению производной порядка n, имеем

(n)

(0)

= lim

f (n −1)

(x) - f

(n −1) (0)

= lim

(n −1) (x)

x →0

−

P3(n −1)

× e

−

= lim

= lim P

× e x2 = 0.

x →0

(3n − 2)

x →0

Таким образом, получим, что функция f(x) непрерывна и имеет не- прерывные производные любого порядка, при этом все производные при

x = 0 равны нулю, т.е. f (0) = f ¢(0) = f ¢¢(0) = ... = f (n) (0) = 0 .

Тогда

ряд

Тейлора

для

этой функции

имеет

вид

0 + 0 × x + 0 × x2 + ... + 0 × xn + ... ,

а его сумма тождественно равна нулю, но

f(x)

не является тождественно равной нулю. В этом случае имеем S (x) = 0

f (x) ¹ S (x) . Отметим, что равенство

f (x) = S (x)

может выполняться

не на всей области существования f(x). Так, пусть f (x) =

; эта функ-

- x

ция определена для всех x ¹ 1. Но ряд Тейлора для f(x)

в окрестности точ-

ки

x = 0 имеет вид

1 + x + x2 + ... + xn + ... , геометрическая прогрессия со

знаменателем

x, интервал сходимости

<1 и внутри его

S (x) =

- x

В этом случае

f (x) = S (x) не на всей области определения функции

f(x),

< 1.

а только при

Следовательно, из сходимости ряда Тейлора для функции f(x) еще не следует его сходимость именно к этой функции. Поэтому, при разло- жении функции в ряд Тейлора необходимо проверять соблюдение усло-

вия (6).

Отметим, что не всякая функция, даже если ее можно неограничен- ное число раз дифференцировать, разложима в ряд Тейлора. Однако, если

183

разложение функции в какой-либо степенной ряд вообще возможно, то оно является разложением именно в ряд Тейлора.

Теорема 2. Пусть

f (x) = C + C (x − a) + ... + C						n		(x − a)n + ... ,		(10)
0		1				n
где стоящий справа ряд сходится на промежутке (a – R , a + R)										к функции
f(x). Тогда этот ряд является рядом Тейлора, т.е.
		Cn =	f	(n) (a)
					.					(11)
					.					(11)
				n!
Доказательство. Применяя к равенству (10) n раз теорему о по-
членном дифференцировании степенного ряда, получим
f (n) (x) = n!Cn +	(n + 1)!	Cn +1 (x - a) + ... +					(n + 2)!		Cn + 2 (x - a)2 + ...
f (n) (x) = n!Cn +		Cn +1 (x - a) + ... +							Cn + 2 (x - a)2 + ...
1!								2!

Полагая в этом тождестве x части, кроме первого, обращаются

=a , имеем, что все слагаемые в правой

внуль и, значит, получим

f (n) (a) = n!Cn ,

откуда следует (11). Что и требовалось доказать.

Следствие. Если имеются два разложения одной и той же функции f (x) в одной и той же области в степенные ряды по степеням (x − a) , то

эти два ряда – один и тот же ряд Тейлора.

Удобный для практических приложений признак разложимости

функции f (x)

в ряд Тейлора.

Теорема 3. Если функция

f (x) имеет производные сколь угодно

высоких порядков и существует такая постоянная

C > 0 , что при любых x

и n

f (n) (x)

< C , то функция

f (x)

разлагается в ряд Тейлора (8)

при

любом a.

Доказательство. По условию для остаточного числа Rn (x)

для

функции

f (x)

в формуле Тейлора имеем

f (n)

(c)

- a)n

£ C

x - a

R (x)

x - a

так что

lim

R (x)

£ C × lim

= 0 .

n →∞

n →∞ n!

Что и требуется доказать.

184

8.2. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

f (x) = ex .

Так как

f (n) (x) = ex

f (n) (x)

< e A

при

< A ,

A > 0 , то это значит, что данная функция

разложима в ряд Маклорена,

сходящийся к ней при любом

x R

∞

ex = 1 +

+ ... +

= ∑

(1)

n =0 n!

т.к. a =

f (n) (0)

Заменяя в (1) x

на – x, получим

e− x = 1 −

−

− ... + (−1)n

(2)

Область сходимости – вся числовая прямая.

f (x) = sin x .

Так

как

f (n) (x) = sin(n) x = sin x + n π

f (n) x

≤ 1,

x R , то

sin x + n

x2n +1

∞

(−1)n x2n +1

sin x = x −

+ ... + (−1)n

+ ... =

∑

(3)

(2n + 1)!

n =0 (2n + 1)!

f (x) = cos x .

Так как cos x = (sin x)′

и, используя формулу

(3),

получим искомое разложение

x2n

∞

(−1)n x2n

cos x = 1 −

− ... + (−1)n

+ ... = ∑

(4)

(2n)!

n =0

4. f (x) = ln(1 + x) . В силу теоремы о почленном интегрировании

степенного ряда и с учетом выражения для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеем

1	= 1	− x + x2	− x3
1 + x

Этот ряд сходится равномерно при

x	dt	x		∞
ln(1 + x) = ∫		= ∫		∑	(−t)n dt
	1 + t
0		0	n = 0

+... + (−1)n xn .

x< 1, поэтому

∞	(−1)n xn +1
= ∑		, то есть

n = 0	n + 1

185

∞

(−1)n xn +1

ln(1 + x) = x −

−

... = ∑

(5)

n + 1

x (−1;1].

n = 0

для

f (x) = (1 + x)α ,

α R .

Дифференцируя равенство f (x) = (1 + x)α

раз,

получим

f (n) (x) = α(α − 1)(α − 2)...(α − n + 1)(1 + x)α − n ,

тогда

f (n) (0) = (α − 1)(α − 2)...(α − n + 1) .

Тогда рядом Маклорена для функции

f (x)

будет ряд

1 + α x + α(α − 1) x2 + ... + α(α − 1)(α − 2)...(α − n + 1) xn + ...

(6)

Если

α = n (целое положительное),

n N , то все коэффициенты ря-

да (6), начиная с номера (n + 1) ,

обращаются в нуль, и степенной ряд ста-

новится биномом Ньютона (конечная сумма)

(1 + x)n = 1 + nx + n(n − 1)x2 n!

n
+ ... + x4 = ∑ Cnk xk .	(7)

k = 0

Если же α – число нецелое или целое, но отрицательное, то ни один из коэффициентов ряда в нуль не обращается, и, тем самым, мы имеем дело с бесконечным рядом, который называется биноминаль-

ным, а его коэффициенты – биноминальными коэффициентами.

Для

определения

радиуса сходимости

ряда (6) находим

и un +1

un +

α − n + 2

, т.е.

R = 1.

lim

n →∞

n + 1

Замечание. В области сходимости ряда (6) справедливы условия

′

(8)

(1 + x) × S (x) = a × S (x)

S (0) = 1, где

S (x) – сумма ряда (6) и

(1 + x) × f

′

(9)

(x) = a × f (x)

f (0) = 1.

Так как задача Коши для дифференциального уравнения (8) или (9)

∞

имеет единственное решение, то

найдется степенной

ряд

1 + ∑ an xn ,

n =1

удовлетворяющий условиям (8) или (9), который будет искомым разложе- нием для данной функции.

186

8.3. Методы разложения функций в ряд Тейлора

Непосредственное разложение функций в ряд Тейлора требует вы- числения производных, исследования и решения вопросов о сходимости полученных рядов. Для более эффективного решения ряда вопросов, свя- занных с разложением в ряд Тейлора рассмотрим некоторые приемы.

Метод, основанный на использовании суммы бесконечно убы- вающей геометрической прогрессии.

Используя разложение в ряд	1	=1 - x + x2 - x3 + ...	x	<1 и


1	+ x

теоремы о дифференцировании и интегрировании рядов, находим разло- жение функции в ряд Тейлора.

Пример 1. Разложить в ряд Тейлора функцию

f (x) =

в окре-

1 + x

стности точки x0 = 2 .

−1

Решение. В силу того, что

, тогда

+ x 1

+ (x + 2) - 2 1 - (x + 2)

при

x + 2

будем иметь

-1

∞

= -(1 + (x + 2) + (x + 2)2 + ... + (x + 2)n ) = - ∑ (x + 2)n

1 + x 1 - (x +

n =0

для

x (−3;−1) .

Метод подстановки

Суть метода подстановки при разложении в ряд Тейлора состоит в следующем: тождественными преобразованиями заданной функции в ок- рестности точки разложения приводим ее (после подходящей подстановки) к известному разложению соответствующих функций.

Пример 2. Разложить функцию

y = sin πx

в ряд Тейлора в окрест-

x0 = 2 .

ности точки

Решение. В силу равенства

(x − 2) =

t =

= cost

sin

x = sin

(x − 2 + 2) = sin

(x − 2)

= cos

(x − 2)

и используя разложение		cost , после возвращения к переменной x, имеем
p	=1 -	p2 (x - 2)2	p4 (x - 2)4	p2k (x - 2)2k
cos (x - 2)	=1 -	+	+ ... +	.
4		42 × 2!	44 × 4!	42k × (2k )!

187

Полученный	ряд	сходится				к		заданной функции при
−∞ < π (x − 2) < ∞ ,	т.е. при любом			x R .		Таким образом, имеем
4
π	∞		π 2k (x − 2)2k
sin	x = ∑ (−1)k						,	− ∞ < x < ∞ .
sin	x = ∑ (−1)k						,	− ∞ < x < ∞ .
4	k =0		4		(2k )!

Метод дифференцирования

Суть данного метода состоит в следующем: для искомой функции f (x) требуется найти разложение в ряд Тейлора, для этого выбираем функцию ϕ(x) , для которой проще написать ряд Тейлора, тогда на облас-

ти сходимости имеет место равенство f (x) = (ϕ(x))′ .

Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию

f (x) =

(1 − x2 )2

′

Решение. Так как имеет место соотношение

− x2 )2

− x2

∞

= ∑ x2n ,

при

< 1.

1 − x2

n =0

∞

′

∞

Тогда

∑ x2n

= (1 + x2 + x4 + ... + x2n )′ = ∑ 2nx2n −1 ,

для

− x2 )

n =0

n =1

x (−1;1) .

Метод интегрирования

Суть данного метода состоит в следующем: для искомой функции f (x) требуется найти разложение в ряд Тейлора, для этого выбираем функ-

цию ϕ(x) , для которой проще написать ряд Тейлора и имеет место равенство

f (x) = ∫ ϕ(t)dt

на области сходимости ряда для

ϕ(x) .

Пример 4. Разложить в ряд Маклорена функцию f (x) = arctgx .

Решение. Так как

′

2n − 2

(arctgx)

= 1 − x

+ x

− ... + (−1)

+ ... ,

< 1 и arctg0 = 0 ,

1 + x2

тогда при

< 1

имеем

2n −1

arctgx = ∫

= ∫dx − ∫ x2 dx + ∫ x4 dx + ... = x −

− ... + (−1)

+ ... ,

+ x2

2n − 1

0 1

188

∞

−1 x

2n −1

то есть

arctgx = ∑ (−1)

< 1.

2n −

n =1

Отметим, что для разложения функций в ряд Тейлора используют

методы, основанные на операциях умножения и деления рядов.

Пример 5. Разложить в ряд Маклорена функцию

f (x) = ln

1 + x

1 − x

Решение. I способ.

Имеем

f (x) = ln

1 + x

= ln(1 + x) − ln(1 − x)

и, ис-

1 − x

пользуя разложения

ln(1 + x) = x −

+ ... + (−1)n −1

ln(1 − x) = −x −

−

− ... −

находим, что ln(1 + x) − ln(1 − x) = ln1 + x1 − x = 2x +

2x3

+ ... +

2x2k −1

+ ...

2k − 1

Итак, получим

1 + x

∞

x2n +1

= 2 ∑

x (−1;1) .

− x

n = 0

2n + 1

способ. Применим метод интегрирования. Так как справедливы

1 + x

∞

соотношения ln

= 2

= ∑ t2n при

< 1, тогда имеем

1 − x

0∫

1 − t2

1 − t 2

n = 0

1 + x

∞

2n +1

= 2∫

(∑t2n )dt = 2 ∑

, x (−1; 1) .

1 − x

n = 0

2n +

8.4. Приложения степенных рядов

1. Приближенное вычисление значений функций

Для нахождения приближенного значения функции f (x)

в точке

x = x0

с заданной точностью поступают следующим образом:

находим

разложение функции f (x) по степеням (x − x1 ) с интервалом сходимо-

сти, содержащим точку x0 , где x1 – точка, в которой значения функции

189

и ее производных вычисляются точно. Полагая x = x0						в полученном чи-
∞
словом ряду ∑ an (x0 − x1 )n ,		оставляем только члены, гарантирующие за-
n = 0
данную точность вычислений. Минимальное число					n0	таких членов ряда
определим из соответствующей оценки либо остатка						Rn (x0 ) формулы
Тейлора, либо остатка rn (x0 )		ряда Тейлора, так как в случае сходимости
степенного ряда функции f (x) они равны между собой.
Пример 1.	Вычислить	ln1,8 , взяв 10 членов ряда, и оценить по-
грешность.
Решение.	ln1,8 = ln(1 + 0,8) ≈ 0,8 −		0,82	+ ... −	0,810		≈ 0,58 . Погреш-

		2			10

ность не превосходит (по теореме Лейбница для знакочередующихся рядов)

0,811 ≈

0,0078 .

Пример 2. Тяжелая нить (провод, цепь) под влиянием собственного

+ e−

y =

) = ach

, где

a =

, H –

веса провисает по цепной линии

(ea

горизонтальное натяжение нити,

q –

вес единицы длины.

Какой более простой линией может быть заменена цепная линия, ес-

ли x мало по отношению к a?

−

Решение. Напишем ряд Маклорена для функций

e a и

e a :

1 x

1 x 4

e a

= 1 +

+ ...,

a 2!

3! a

4! a

−

= 1 −

x 2

−

x 3

+ ...

e a

a 2!

Откуда с точностью

имеем

y = a +

или

y =

x2 .

Следовательно, при малых по отношению к a значениях x цепная линия может быть заменена параболой.

190

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2219 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20153.63 Mб42умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб40умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб46умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб47умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб53умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб35умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб45умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб93умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf