умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

cos nx + b sin nx)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2221 22 > Следующая >>>

2) Интеграл по отрезку [−π;π] от квадрата любой функции систе-

мы (2) отличен от нуля, причем

∫ 12 dx = 2p;

∫ cos2 mxdx = ∫ sin2 mxdx = p .

(4)

−π

Доказательство. Докажем некоторые из них:

1 π

∫ cos nxdx =

∫ cos nxdnx =

sin nx

= 0

−π

n −π

−π

sin mxdx = -

= 0

∫

cos mx

−π

∫ cos mx × cos nxdx =

∫ (cos(m - n)x + cos(m + n)x)dx = 0,

m ¹ n

−π

π 1 - cos 2mx

∫

sin

mxdx = ∫

dx =

∫ dx -

∫ cos 2mxdx = p .

−π

Аналогичным образом доказываются и другие равенства.

Теорема 2. Если

и ряд (5) сходится равномерно на [-p;p] , то его коэффициенты определя-

ются по формулам

a0 =

1 π

∫

f (x)dx, an

∫

f (x)cos nxdx,

−π

p −π

(6)

(n =1, 2, 3 ...).

∫ f (x)sin nxdx

−π

Доказательство. Интегрируя почленно ряд (5) и учитывая формулы

(3), находим

∞

∫

f (x)dx =

∫ dx + ∑ an × ∫ cos nxdx + ∑ bn × ∫ sin nxdx =

∫ dx = a0 × p ,

−π

n =1

−π

n =1

−π

a0 =

то есть

∫ f (x)dx .

p −π

201

Заметим, что при почленном умножении ряда (5) на sin kx

или

cos kx получаем ряд, равномерно сходящийся на отрезке

[−π;π] , так как

члены этого ряда

по модулю не

превосходят члены

данного

ряда

(

sin kx

≤ 1,

cos kx

≤ 1

при любом k).

Умножая поочередно ряд (5) на

sin kx и cos kx , а затем, интегрируя

почленно полученные ряды (принимая во внимание теорему 1), находим

π	π
∫	f (x)cos kxdx = ak ∫ cos2 kxdx = ak π ,
−π	−π

∫f (x)sin kxdx = bk π .

−π

Тогда получим

	=	1	π	ak =	1	π	bk =	1	π	(k = 1, 2, 3 ...) .
a0			∫ f (x)dx,			∫ f (x)cos kxdx,			∫ f (x)sin kxdx
		π			π			π
			−π			−π			−π

		Тригонометрический ряд (5), коэффициенты которого определяются
по формулам (6), называется рядом Фурье, а числа an и										bn – коэффи-
циентами функции Фурье f (x) .
		Рассмотрим вопрос о сходимости ряда Фурье к функции, для кото-
рой он составлен.
		Функция		f (x) называется кусочно-диффенренцируемой на отрезке

[ab] , если этот отрезок можно разбить точками a = x0 < x1 < x2 ... xn = b
так, что	f (x) и	′	непрерывны на каждом интервале (xk , xk +1 )
		f (x)

(k =
	0,	n − 1) , и, кроме того, существуют конечные односторонние пределы
f (x)		и	′	на концах интервалов. Функция кусочно-дифференци-
			f (x)
руемая на			[ab] может быть непрерывной на нем или иметь конечное чис-
ло точек разрыва первого рода.
	Теорема 3.			Если функция		f (x) кусочно-дифференцируема на от-
резке		[−π;π] , то ее ряд Фурье сходится в каждой точке						x0 (−π;π) и
имеет сумму					f (x0 − 0) + f (x0 + 0)
				S (x0 ) =
							,	(7)
						2

202

в частности, если x0 –	точка непрерывности				f (x) , то
f (x0 ) =		a0	+	∞	+ bn sin nx0 ) .
				∑ (an cos nx0			(8)

	2			n =1
На концах отрезка [−π;π]				сумма ряда Фурье определяется формулой
	S (±π) =			f (−π + 0) + f (π − 0)		.	(9)

				2
9.3. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Если функция	f (x) четная, т.е. x [−a; a] f (−x) = f (x) , то гра-

фик этой функции симметричен относительно оси Oy. А так как опреде- ленный интеграл можно рассматривать как площадь криволинейной тра- пеции, для четных функций имеем

a		a
∫	f (x)dx = 2∫ f (x)dx .		(10)
−a		0
Для нечетных функций, т.е. таких, что x [−a; a]			f (−x) = − f (x) ,
получаем
a	a	a
∫ f (x)dx = ∫		f (x)dx + ∫ f (x)dx = 0 .	(11)
−a	−a	0

Из определения четных и нечетных функций следует, что

1)произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная;

2)произведение четной и нечетной функции есть функция нечетная.

Тогда для	x [−π;π] ,	если		f (x)			– четная функция, то
		1	π					2	π
	an =	1	∫ f (x)cos nxdx =					2	∫ f (x)cos nxdx,
	an =	π	∫ f (x)cos nxdx =					π	∫ f (x)cos nxdx,
		π	−π					π	0	(12)
			−π			π			0
					1
				=			f (x)sin nxdx = 0,
			bn			∫
			bn			∫
					π
						−π
т.е. ряд Фурье для четной функции содержит только косинусы.
Если	f (x) –	кусочно-дифференцируемая функция на отрезке
[−π;π] , то для ее точек непрерывности x (−π;π)

203

							a0	∞
			f (x) =				a0	+ ∑ an cos nx .
			f (x) =					+ ∑ an cos nx .
				2				n =1
Если f (x) – нечетная функция, то имеем
					1	π
			an	=	1	∫ f (x)cos nxdx = 0,
			an	=		∫ f (x)cos nxdx = 0,
					π
			π			−π				π
	=	1	π	f (x)sin nxdx =					2	π
bn		1	∫						2	∫ f (x)sin nxdx,
bn		π	∫						π	∫ f (x)sin nxdx,
		π	−π						π	0
			−π							0

(13)

(14)

т.е. ряд Фурье для нечетной функции f (x)

содержит только синусы. Если

функция

f (x) кусочно-дифференцируема на [−π;π] , то для точек непре-

рывности

x (−π;π)

∞

f (x) = ∑ bn sin nx ,

(15)

n =1

где bn –

определяются по формулам (14).

Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом

2π

функцию

f (x) = −1, - π ≤ x < 0,

0 ≤ x ≤ π.

Решение. Построим график функции

f (x)

(рис. 1).

–3 π

– π

3π

–2 π

2π

					Рис. 1
Для функции	f (x)			выполнены условия разложения в ряд Фурье,
тогда определяем an		и	bn	– коэффициенты Фурье для f (x)
	1		π		1		0	π
a0 =			∫ f (x)dx =				∫ (−1)dx +∫1dx = 0 ,
		π				π
			−π				−π	0

204

∫

f (x)dx =

∫

− cos nxdx + ∫cos nxdx

= 0 ,

−π

1 cos nπ

cos nπ

∫−sin nxdx + ∫sin nxdx

−

−π

если n = 2k,

− (−1)n ) = 4

πn

если n = 2k + 1.

πn

Тогда ряд Фурье для

f (x)

имеет вид

sin 3x

sin 5x

sin(2k + 1)x

f (x) =

sin x

+ ... +

+ ... .

2k + 1

Рассмотрим геометрический смысл разложения данной функции в ряд Тейлора. Для этого найдем несколько частичных сумм полученного разложения и построим графики функций f (x), S1 (x), S2 (x), S3 (x) .

Первая частичная сумма для ряда имеет вид S (x) =	4	sin x , вторая –

1	π

		4		sin 3x		sin 5x
S3	(x) =		sin x +		+		.
				3
		π				5

Строим графики	f (x), S1(x), S2 (x) и		S3 (x) (рис. 2 – 4).
	y			S1 (x)
	1
				π	x
– π	0
		–1
		–1
	Рис. 2

205

S2 (x)

– π

–1

Рис. 3

S3 (x)

-π

– 1

Рис. 4

На приведенных рис. 2 – 4 изображены графики частичных сумм

S1 (x), S2 (x) и S3 (x) , которые являются тригонометрическими многочле-

нами, отсюда видно, как частичные суммы Sn (x) ряда Фурье все точнее

представляют функцию

f (x) при

n → ∞ .

Пример 2. Найти ряд Фурье для функции f (x) =

x [−π;π] .

Решение.

Так как функция

f (x) =

– четная,

то все bn = 0 , а

∫ xdx = π ;

an =

∫ x cos nxdx .

206

Интегрируя один раз по частям, после тождественных преобразова-

			4
		−		, если n = 2k,
	an	−	πn2	, если n = 2k,
ний получим, что	an	=	πn2

		0, если n = 2k + 1.

Следовательно, имеем

cos x

cos3x

cos(2n − 1)x

−

+ ... +

+ ...

(2n − 1)2

π2	= 1 +	1
Полагая в последнем равенстве x = 0 , получим
Полагая в последнем равенстве x = 0 , получим		32
8		32

+ 1 + 1 + ...

52 72

Полученный ряд можно использовать для вычисления суммы ряда

								1						1				1					∞		1
			S = 1 +					1				+		1		+		1	+ ... = ∑						1		.
			S = 1 +					2				+		2		+		2	+ ... = ∑						2		.
									2				3				4						n =1 n
			1			1				1										1			1				1
S = 1	+			+					+						+	...	+					+			+					+ ...	=
S = 1	+		2	+	5		2		+	7	2				+	...	+			2	2	+	4	2	+	6			2	+ ...	=
		3			5					7										2			4			6
			π2			1							1				1						π2					S
	=			+					1	+						+			+ ... =						+
	=		8	+		4			1	+			22			+	32		+ ... =					8	+		4
			8			4							22				32							8			4

	S =	π2	∞	1	=	π2
Откуда			, т.е. ∑			.

		6	n =1 n2			6

9.4. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке [−l, l ]

Полагая t = px , получим l

то t [−π;π] , а, следовательно,

x =	l × t	;	dx =			l	dt . Тогда, если x [−l;l ] ,
	π					π

f (x) = f			lt		= ϕ(t) , для которой в точках


				π

		a0			∞
непрерывности ϕ(t) =		a0			+ ∑ (an cos nt + bn sin t) ;
непрерывности ϕ(t) =					+ ∑ (an cos nt + bn sin t) ;
	2				n =1
						1	π
					an =	1	∫ ϕ(t)cos ntdt ;
					an =		∫ ϕ(t)cos ntdt ;
						π
							−π
			1		π
bn	=		1		∫ ϕ(t)sin ntdt			n = 0, 1, 2 ...
bn	=		π		∫ ϕ(t)sin ntdt			n = 0, 1, 2 ...
			π	−π
				−π

207

В точках разрыва сумма ряда Фурье вычисляется по формуле

Возвращаясь к переменной x,

получаем

∞

nπx

f (x) =

+ ∑ an cos

nπx

+ bn sin

n =1

где

nπx

∫

f (x)cos

−l

nπx

n = 0, 1, 2 ...

∫

f (x)sin

dx,

−l

(7).

(16)

(17)

Ряд (16), коэффициенты an и bn которого вычисляются по форму-

ле (17), называется рядом Фурье функции f(x), заданной на отрезке [−l;l] . Условия сходимости ряда Фурье к функции f(x) выражаются тео-

ремой 3. Равенство (16) выполняется в точках непрерывности f(x). В точ- ках разрыва сумма ряда Фурье определяется формулой (7).

9.5. О разложении в ряд Фурье непериодических функций

Если функция f(x) не является периодической, то для того чтобы представить ее рядом Фурье, строят некоторую вспомогательную перио- дическую функцию F(x), которая в области определения функции (на- пример, на отрезке [−l;l] ) совпадает с функцией f(x). В этом случае го-

ворят, что функцию f(x) периодически продолжают на всю числовую ось. Рассмотрим возможные случаи:

1. Если функция f(x) задана на отрезке [−l;l] , то строят вспомога-

тельную периодическую функцию F(x) с периодом T = 2l , которая на [−l;l] совпадает с f(x), а на остальной части числовой оси является перио-

дическим продолжением.

2. Если функция f(x) задана на произвольном отрезке [a; a + 2l]

длиной 2l , то строят вспомогательную периодическую функцию F(x) с периодом T = 2l , которая на отрезке [a; a + 2l] совпадает с функцией f(x), а на остальной части числовой оси является ее периодическим про- должением. В этом случае тригонометрический ряд имеет вид, определяе- мый формулой (16), но его коэффициенты находятся по формулам

	=	1	a + 2l
a0		1	∫ f (x)dx ,
a0		l	∫ f (x)dx ,
		l	a
			a

208

	=	1 a + 2l				nπx		n N ,
an				∫	f (x)cos		dx,
		l
				a		l

	=	1 a + 2l				nπx		n N .
bn				∫	f (x)sin		dx,
			l
				a		l

Для определения	коэффициентов Фурье было использовано сле-

дующее свойство интегрирования периодической функции. Значение инте- грала от периодической функции с периодом T = 2l по произвольному отрезку длиной 2l постоянно, поэтому, если кусочно-дифференцируемая функция f(x) задана на отрезке [0;l], то ее можно разложить в ряд Фурье

только по косинусам или только по синусам, или и по косинусам, и по си- нусам.

Для разложения функции в ряд по косинусам ее продолжают на от- резок [−l;0] четным образом, т.е. строят вспомогательную функцию

f (−x), x [−l;0] F (x) = f (x), x [0;l ],

которую затем периодически продолжают на всю числовую ось. В этом

случае ряд Фурье для f(x) на отрезке

[0;l]

содержит только косинусы

∞

nπx

f (x) =

+ ∑ an cos

n =1

где a0 =

an =

nπx

dx, n N .

∫ f (x)dx,

∫ f (x)cos

Для разложения функции

f(x),

заданной на отрезке [0;l], в ряд по

синусам ее продолжают на отрезок

[−l;0]

нечетным образом, т.е. строят

вспомогательную функцию

F (x) =

− f (x), x [−l;0]

f (x), x [0;l ],

которую затем периодически продолжают на всю числовую ось. В этом случае ряд Фурье для f(x) на отрезке [0;l] содержит только синусы

∞
f (x) = ∑ bn sin nπx ,
n =1	l

209

	bn =	2 l		npx
где			∫ f (x)sin		dx .
		l
			0	l
	Пример 3. Функцию f (x) =					sin x	(0 £ x £ p) разложить по косину-

сам в ряд Фурье.
	Решение. График функции с четным продолжением (в условии зада-
чи разложение по косинусам) на [-p;0]							и последующим продолжением

на всю числовую ось 0x имеет вид, как показано на рис. 5.

		y
				x
–2 π	– π	0	π	2π

Рис. 5

Условия разложения в ряд Фурье для функции выполнены, и, т.к. функция четная, то

a0 = p2 ∫0 sin xdx = p4 ,

2 π

1 + (-1)n

an =

∫sin x cos nxdx =

(n ¹1) .

n2 -

Если n = 1, то a1

2 sin

∫sin x cos xdx =

= 0 .

Таким образом,

0, n = 2k + 1,

, n = 2k.

-1

Тогда искомый ряд имеет вид

cos 2x

cos 4x

cos 6x

sin x

...

3 × 5

5 ×

210

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2221 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20153.63 Mб42умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб40умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб46умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб47умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб53умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб35умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб45умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб93умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf