Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2211 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

ные числа, то корни	k1	и k2 квадратного уравнения (5) –			сопряженные
комплексные числа,	т.е.	имеют вид k = α + iβ , k		= α − iβ ,	где a = -	p	,
			2
		1			2

b = q - p2 . 4

Тогда частные решения уравнения (1) можно записать в виде

y = e(α+iβ) x ,	y	2	= e(α−iβ) x .	(8)
1		2
А так как при действительном x,	по формуле Эйлера имеем
ek1x = e(α+iβ) x = eαx × eiβx = eαx × (cosbx + i sin bx) ,				(9)
ek2 x = e(α−iβ) x = eαx × e−iβx	= eαx × (cosbx - i sin bx) .			(10)

Тогда общее решение (1) будет иметь вид

y= C1 y1 + C2 y2 = C1eαx (cosbx + i sin bx) + C2eβx (cosbx - i sin bx) =

=eαx [(C1 + C2 )cosbx + i(C1 - C2 )sin bx].

Полагая С1 = С1 + С2 и С2 = (С1 - С2 ) ×i , тогда общее решение урав-

нения (1) имеет вид			y = eαx (C cosbx + C			2	sin bx) .
			1			2
		Из формулы общего решения следует, что
			y = eax cosbx ,	y	2		= eax sin bx .		(11)
			1		2
		Это два действительные частные					линейно независимые		решения
(	y1	= ctgbx ¹ const )	уравнения (1),	и общим действительным решением
(		= ctgbx ¹ const )	уравнения (1),	и общим действительным решением
	y2
уравнения (1) будет			y = C eαx cosbx + C					eαx sin bx ,
			y = C eαx cosbx + C					eαx sin bx ,	(12)
			1				2

где C1 и C2 – суть действительные произвольные постоянные.

Пример 3. Найти общее решение уравнения y′′ − 2 y′ + 5 y = 0 .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k 2 - 2k + 5 = 0 .

Его корни k1 = 1 + 2i и k2 = 1 − 2i – сопряженные комплексные чис-

ла. Этим корням соответствуют частные линейно-независимые решения

y = ex cos 2x ,	y	2	= ex sin 2x .
1		2

101

Поэтому общее решение имеет вид

y= C1ex cos 2x + C2ex sin 2x = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x) .

3.6.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение вида

y′′ + py′ + qy = f (x) ,

(1)

где p, q – действительные числа, f (x) – непрерывная функция, назы-

вается линейным неоднородным дифференциальным уравнением вто- рого порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение дифференциального уравнения (1) согласно теореме 1 (п. 3.4) о структуре общего решения неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

y = C y + C			y	2	+ y*	,	(2)
1	1	2		2

где y* – любое частное решение уравнения (1), а y1 и y2 – два частных линейно независимых решения соответствующего однородного уравнения для (1), т.е.

y′′ + py′ + qy = 0 .

(3)

Так как уравнение (3) всегда решается (см. п. 3.5), то, определив ча- стное решение уравнения (1), находим общее решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (1).

Дифференциальное уравнение (1) можно решать методом вариации произвольной постоянной (см. п. 3.4), т.к. всегда можно найти общее ре- шение соответствующего однородного уравнения (3).

Пример 1. Методом вариации произвольной постоянной найти об-

щее решение дифференциального уравнения y¢¢ - y =						ex	.
щее решение дифференциального уравнения y¢¢ - y =						+ ex	.
					1	+ ex
Решение.	Характеристическое уравнение k 2 -1 = 0 имеет корни
k1 = 1, k2 = −1,	поэтому общее решение соответствующего однородного
уравнения имеет вид			× e− x .
	y = C ex + C	2	× e− x .
	1	2
Общее решение исходного неоднородного дифференциального урав-
нения будем искать в виде y = C (x)ex + C				2	(x)e− x .
	1			2

102

Функции C1(x) и C2 (x) определим, решив систему уравнений

C¢(x)ex + C¢			(x)e− x = 0,
	1	2
		(x)e− x =		e	x
C¢(x)ex - C¢				e		.
C¢(x)ex - C¢				+ ex		.
1	2		1	+ ex

Откуда имеем

C¢(x) =

, C¢ (x) = -

e2 x

или

C (x) =

(x - ln(1 + ex )) + C ,

2(1

+ ex )

+ ex

C2 (x) = -

(ex +1) +

ln(ex +1) + C2 .

Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид

y = e

x 1

x - ln(1 + e

) + C

+ e

− x

+ 1 + ln(e

+ 1))

+ C

= C ex

+ C

e− x +

x - ln(1 + ex )

e− x

ex + 1 + ln(ex

+ 1) ,

где y = C ex + C

e− x – общее решение однородного уравнения, а

y* =

x - ln(1 + ex ) -

e− x

+1 + ln(ex

+1)

есть частное решение исходного неоднородного уравнения.

Замечание 1. Частное решение y* в общем случае для дифферен-

циального уравнения (1) можно найти следующим образом. Обращаясь к методу Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной (п. 3.4)), мы

видим, что частное решение			y* уравнения (1) определяется формулой
			y* = C y + C						2	y	2	,							(4)
						1		1	2		2
где y1 и y2	– линейно независимые частные решения однородного
уравнения (3), а	C1 и C2 –		функции от x , производные которых опреде-
ляются по формуле (17) п. 3.4, и имеют вид
	C¢ = -		f (x)				,	C¢	=				f (x)					.	(5)

						¢											¢
	1			y				2							y
		y	ln	y	2						y			ln	y	2
					2							2				2

	1
				y1											y1

103

Формулы эти имеют место и в случае, когда p и q – постоянные

коэффициенты в уравнении (1) и принимают простой вид.

1. Корни

характеристического уравнения

k 2 + pk + q = 0

–

действительные и различные, тогда

y = ek1x и

= ek2 x .

Откуда

= e(k2 −k1 )x и

= (k

− k )x .

Поэтому

′

= k2 − k1 .

Подставляя в формулы (5) последнее равенство, получим

′

f (x)

′

f (x)

= − ek1x (k

= ek2 x (k

− k ) .

− k ) , C2

Откуда имеем

−1

∫ f (t)e−k1t dt ; C2 =

∫ f (t)e−k2t dt .

− k

1 x

Подставляя найденные

в формулу (4), находим:

k x

y* =

−e 1

∫ f (t)e−k1t dt +

∫ f (t)e−k2t dt

− k

1 x

или, упрощая, получим

y* =

f (t) ek2 ( x−t ) − ek1 ( x−t ) dt .

∫

(6)

k2 − k1 x

2. Корни

характеристического уравнения

k 2 + pk + q = 0

–

комплексные числа. В этом случае корни

k2 – сопряженные числа,

k1 = α − iβ , k2 = α + iβ , причем

k2 − k1 = 2βi ,

ek2 ( x−t ) = e(α+iβ)( x−t ) = eα( x−t ) × eiβ( x−t ) .

Тогда в силу формулы Эйлера имеем

ek2 ( x−t ) = eα( x−t ) [cosb(x - t) + i sin b(x - t)].

(7)

Так как

отличается от

только знаком мнимой части, то

ek1 ( x−t ) = eα( x−t ) [cosb(x - t) - i sin b(x - t)].

(8)

104

Вычитая из (7) равенство (8), находим

ek2 ( x−t ) - ek1( x−t ) = 2ieα( x−t ) sin(x - t) .

(9)

Из равенства (9) в силу формулы (6) (действительная часть (9)) име- ем, что частное решение в этом случае имеет вид

y* =

f (t)eα( x−t ) sin b(x - t)dt .

∫

(10)

b x

3. Характеристическое уравнение

k 2 + pk + q = 0

имеет равные кор-

ни k

= k

= -

Чтобы получить формулу для частного решения

y* ,

будем рассмат-

ривать этот случай как предельный, т.е. когда оба корня k1

и k2 до пре-

дела различные, а в пределе равны.

Формулу (6) запишем в виде

( x−t )

k ( x−t )

y* = ∫

f (t)

- e 1

k2 - k1

и отметим, что выражение под знаком интеграла есть отношение прираще-

ния функции ek ( x−t ) к приращению независимого переменного

k ,

когда

оно пробегает значения от

до

k2 .

В силу теоремы Лагранжа о сред-

нем, это отношение равно производной

(ek ( x−t ) ) для некоторого чис-

ленного значения k* Î(k ;k

) .

Значит, до перехода к пределу имеем

y* = ∫ f (t) × (x - t)ek* ( x−t )dt .

Если оба корня характеристического уравнения стремятся к фикси-

рованному численному значению

k , тогда и среднее k* Î(k ;k

)

будет

иметь пределом число k1.

Переходя к пределу, получаем формулу

−

( x−t )

y* = ∫

f (t) × (x - t)e 2

(11)

частного решения y* неоднородного уравнения (1) в случае равных кор-

ней характеристического уравнения.

105

3.7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

и специальной правой частью

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение

y"+ py '+ qy = f (x ).	(1)
Структура общего решения, методы решения уравнения (1) рассмот-
рены выше.
Для специального вида правых частей f (x)	уравнения (1) частное

решение можно найти методом неопределенных коэффициентов (без применения операции интегрирования), а так как характеристическое уравнение – квадратное и частные решения, находящиеся также без при- менения операции интегрирования, то, следовательно, общее решение уравнения (1) находим без операции интегрирования.

Этот метод используется,	если правая часть f (x)	уравнения (1)
имеет специальный вид, т.е.
f (x) = eαx [ P (x)cosbx + R (x)sin bx] ,		(2)
n	m

где Pn (x) и Rm (x) – многочлены с действительными коэффициентами степени n и m соответственно, а a и β – действительные числа.

Получим вид частного решения для уравнения (1) когда

f(x) = Pn (x)eαx .

1.Пусть дано дифференциальное уравнение

			y"+ py '+ qy = P (x )eαx .	(3)
			n
Частное решение уравнения (1) будем искать в виде
			y* = Q (x)eαx ,	(4)
			n
где Q (x) = a xn + a xn−1			+ ... + a .
n	0	1	n
Числа a0 , a1,..., an –			коэффициенты многочлена Qn (x)	неизвестны, а

коэффициенты многочлена Pn (x) и число α известны (заданы по условию задачи). Так как (4) частное решения уравнения (3), то, дифференцируя ра- венство (4) дважды и подставляя в уравнение (3), будем иметь

( y*)'= Qn '(x )eαx + a ×Qn (x )eαx ,

( y*)" = Qn "(x)eαx + Qn '(x )× a × eαx + a ×Qn '(x )eαx + a2Qn (x )eαx

106

eαx × Q "(x) + 2a × Q '(x )+ a2Q (x )+ p[Q '(x )+ a ×Q (x )] + qQ (x )							= P (x )eαx
n	n		n	n	n	n	n
или, собирая подобные при производных от многочлена						Qn (x) ,	получим
после сокращения на		eαx ¹ 0	равенство
	Q "(x) + Q '(x )[ 2α + p] + Q (x ) α2				+ pα + q = P (x ).		(5)
	n	n	n			n

Проанализируем равенство (5): его правая часть – многочлен степени n с известными (заданными) коэффициентами, а его левая часть содержит, вообще говоря, многочлен степени n с неизвестными коэффициентами.

Определим эти коэффициенты, найдем частное решение по формуле (4) дифференциального уравнения (3). Решать эту задачу будем, используя понятие равенства двух многочленов (два многочлена равны тогда и толь- ко тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых (равных) степенях в равенстве (5)).

1. Рассмотрим характеристическое уравнение для дифференци- ального уравнения (1).

Возможны следующие случаи в зависимости от α:

1.1. Число α не является корнем характеристического уравнения

k 2 + pk + q = 0	(6)
однородного дифференциального уравнения
y"+ py '+ qy = 0	(7)

для данного неоднородного дифференциального уравнения (3).

Тогда в равенстве (5) левая часть является многочленом степени n

(т.к. 2a + p ¹ 0, a2 + pa + q ¹ 0 ), и, приравнивая коэффициенты при оди-

наковых степенях x многочленов, получим совместную систему линей- ных уравнений относительно коэффициентов многочлена Qn (x) , решая которую находим коэффициенты многочлена Qn (x) , а, следовательно, и

частное решение уравнения (3), которое имеет вид, определяемый фор- мулой (4).

1.2. Пусть a = k1 – корень характеристического уравнения (6), k1 ¹ k2 , тогда в левой части равенства (5) коэффициент при Qn (x) равен нулю (α – корень характеристического уравнения (6)), а, следовательно, многочлен в левой части (5) – многочлен степени (n – 1), поэтому, чтобы степени многочленов в левой и правой частях (5) совпадали, требуется рас-

107

сматривать функцию вида (Ax + B) Qn (x) , а, тогда частное решение урав-

нения (3) примет вид

y* = x ×Q (x) × ek1x .	(8)
n

1.3. Пусть k1 = k2 = a = - p , т.е. корни характеристического урав-

нения (6) совпадают, а это значит, что коэффициенты в левой части (5) при Qn (x) и Qn '(x ) равны нулю, следовательно, многочлен в левой части (5) –

многочлен степени (n – 2), поэтому, чтобы степени левой и правой части (5)

совпадали требуется рассматривать функцию (Ax2 + Bx + C) × Q (x) , а сле-
			n
довательно, частное решения уравнения (3) имеет вид
	p	x
			(9)
y* = x2 ×Q (x) × e 2 .
n

Итак, для дифференциального уравнения (3) со специальной правой частью вида Pn (x)eαx получено правило нахождения частного решения:

частное решение уравнения (3) получено в виде правой части – y = Qn (x)eαx с учетом совпадения числа α с корнями характеристического уравнения k 2 + pk + q = 0 , а именно: если α совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение y* уравнения (1) имеем в виде (формула (8))

y* = xQn (x) × ek1x ,

если α = k1 = k2 , т.е. оба корня характеристического уравнения совпада-

ют с числом α уравнения (1), имеем в виде (формула (9)) y* = x2Qn (x) × eαx .

Рассмотрим частные случаи выражений вида (2) и, используя резуль- тат, полученный выше для уравнения (3), найдем вид частных решений для уравнения (1).

2. Правая часть уравнения (1) есть многочлен степени n:

f (x) = Pn (x) .	(10)
Оно получается из выражения (2) при α = 0	и β = 0 . Тогда воз-
можны следующие три случая:

2.1. Число 0 не является корнем характеристического уравнения

k 2 + pk + q = 0 .

(11)

108

Тогда частное решение y* неоднородного уравнения (1) имеет вид

	y* = Q (x) = a xn + a xn−1 + ... + a ,				(12)
	n	0	1	n
где коэффициенты	a0 , a1,..., an	определяются		методом,	рассмотренным
выше в п. 1.
2.2. Число 0 –	простой (однократный)			корень характеристиче-

ского уравнения (12), что возможно только при q = 0 . Опираясь на ре-

зультат 1 п. 1, частное решение y* будем искать в виде

y* = xQn (x) ,

(13)

где Qn (x) – многочлен степени n, определяется формулой (12).

2.3. Число 0 является двукратным корнем характеристического уравнения (11), то аналогично п. 1 (1.1) имеем, что частное решение бу- дем искать в виде

			y* = x2Q (x) .		(14)
			n
Пример 1.	Найти общее решение уравнения				y"− 2 y '− 3y = 2x .
Решение.	Характеристическое уравнение имеет вид k 2 − 2k − 3 = 0 ,
его корни k1 = −1 и		k2 = 3 .	Общее решение соответствующего однород-
ного уравнения
			y = C e− x + C e3x .
			1	2
Так как число		α = 0	( 2x = 2 × x × e0x ,	a = 0 ) не является корнем ха-

рактеристического уравнения, то частное решение исходного дифференци- ального уравнения будем искать в виде

y* = Ax + B , ( y*)'= A , ( y*)" = 0 .

Подставляя в исходное неоднородное дифференциальное уравнение, получим −2 A − 3B − 3Ax = 2x .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему линейных уравнений

-3A = 2,

-2 A - 3B = 0,

решением которой являются A = -	2	,		B =		4	, следовательно, частное реше-

3				9
ние данного уравнения
y* = -			2	x +	4		,

		3		9

109

а общее решение исходного уравнения

y = C e− x + C

e3x

x +

Пример 2. Найти общее решение уравнения y"+ 2 y '+ y = 4x × ex .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

k 2 - 2k +1 = 0 ,

его корни

k1 = k2 = -1.

Общее решение соответствующего однородного

уравнения

y = C e− x

+ C

xe− x .

Правая часть исходного уравнения

f (x) = xex – произведение мно-

гочлена первой степени на ex (a =1)

и, так как a =1 ¹ k

= k

= -1, поэто-

му частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

y* = ( Ax + B) × ex .

Последовательно

дифференцируя

дважды y*, и

подставляя y * ,

( y*)', ( y*)" в исходное уравнение, после сокращения на

ex ¹ 0 , получим

Ax + 2 A + B + 2( Ax + A + B) + Ax + B = 4x

или

4 Ax + 4 A + 4B = 4x .

Откуда имеем

A = 1, B = −1. Следовательно, частное решение исход-

ного уравнения принимает вид

y* = (x -1)ex ,

а его общее решение

y = C e− x + C

xe− x + (x -1)ex .

Пример 3. Найти общее решение уравнения y"- 2 y '+ y = xex .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

k 2 - 2k +1 = 0 ,

его корни

k1 = k2 =1.

Общее решение

соответствующего

однородного

уравнения

y = C ex + C

xex .

Правая часть исходного уравнения

f (x) = xex – произведение мно-

гочлена первой степени на ex (a =1)

и, так как a =1 = k

= k

, поэтому ча-

стное решение неоднородного уравнения будет иметь вид y* = ( Ax + B) × x2 × ex = ( Ax3 + Bx2 )ex .

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2211 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20153.63 Mб42умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб40умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб46умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб47умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб53умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб35умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб45умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб93умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf