Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл

.pdf

Скачиваний:

105

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

2.77 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1713 14 15 16 17 > Следующая >>>

б) ∫

4x4 + 8x3 − x − 2

dx .

Ответ: 2x2 − 2ln

− 2ln

x + 1

−

+ C .

x ( x + 1)2

x + 1

в)

а)

∫

4x − x2 − 12

dx . Ответ:

x2 − 2x + 4

− 2ln

x + 2

−

arctg

x −

+ C .

x3 + 8

Вариант 13

∫

2x4 + 8x3 −17x − 5

Ответ: x2 − ln

x −1

+ ln

x + 2

− 2ln

x + 3

+ C .

dx .

( x + 2)(x2 + 2x − 3)

2x2 − 5x + 1

б) ∫ x3 − 2x2 + xdx .

4x + 2

в) ∫ x4 + 4x2 dx .

Ответ: ln

+ ln

x −1

+ C .

x −1

Ответ: ln

−

x2 + 4

arctg

+ C .

Вариант 14

а)

б)

в)

а)

б)

в)

6x4

∫

dx . Ответ: 3x2 −12x + ln

x −1

− 3ln

x + 1

+ 32ln

x + 2

+ C .

( x + 2)(x2 −1)

4x2

∫

dx .

Ответ: 3ln

x −1

−

+ ln

x + 1

+ C .

(x2 − 2x + 1)( x + 1)

x −1

∫

4x − 10

dx .

( x + 2)(x2 − 2x + 10)

Ответ:

x2 − 2x + 10

− ln

x + 2

arctg

x −1

+ C .

Вариант 15

∫

2x4 − 7x3 + 2x2 + 13

Ответ: x2 + x + 2ln

x +1

+ ln

x − 2

+ ln

x − 3

+ C .

dx .

( x + 1)(x2 − 5x + 6)

x + 2

∫

dx .

Ответ: 2ln

− 2ln

x −1

−

+ C .

x3 − 2x2 + x

x −1

∫

2x2 + 4x + 20

dx .

( x + 1)(x2 − 4x + 13)

Ответ: ln

x + 1

x2 − 4x + 13

+ 3arctg

x − 2

+ C .

121

В заключение подводим итоги, что для интегрирования рациональ- ных дробей нужно:

1.Выяснить правильная дробь или неправильная; и в случае, если дробь неправильная, разделив числитель на знаменатель, отделить целую часть и правильную рациональную дробь;

2.В правильной рациональной дроби разложить знаменатель на множители;

3.Правильную рациональную дробь представить в виде суммы про- стейших дробей;

4.Проинтегрировать целый многочлен и сумму простейших рацио- нальных дробей.

Домашнее задание

1.Изучить теоретический материал по теме «Интегрирование ирра- циональных функций. Интегрирование дифференциальных биномов».

2.Найти интегралы:

а) ∫

6x4 + 30x2 + 30

dx .

( x + 2)(x2 − 1)

Ответ: 3x2 −12x + ln

x −1

− 3ln

x + 1

+ 2ln

x + 2

+ C .

б) ∫

Ответ: ln

x + 1

− ln

−

+ C .

x3 + x2

в) ∫

x2 + 23

dx .

( x + 1)(x2 + 6x + 13)

Ответ: 3ln

x + 1

− ln

x2 + 6x + 13

− 5arctg

x + 3

+ C .

2x5 − 2x3 + x2

г) ∫

dx .

Ответ:

x + 1

−

x −1

− x2 −

arctg x + C .

1 − x4

Задания для систематизации, повторения:

Найти:

(1 + ln x)3

а) ∫cos(3x − 7)dx ;

г)

∫

dx ;

ж) ∫

(5x + 2)10

xdx

б)

∫

;

д)

∫ x2 x3 + 9dx ;

5x2 +

в) ∫e2 x+7dx ;

е) ∫

tg2 x

dx ;

cos2 x

122

Представить в виде суммы простейших дробей (не находя коэф-

фициентов):

x + 2

3x - x2 - 2

а)

;

в)

;

д)

x3 + x

x ( x +1)2

(x2 -1)( x +1)

б)

3 − 9x

;

г)

x + 2

;

x3 + x2

x3 -1

VI. Интегрирование некоторых иррациональных функций

1.Просмотр выполнения домашнего задания.

2.Краткий теоретический обзор с использованием лекционного ма-

териала.

Напоминаем, что функция, содержащая действие извлечение корня (возведение в дробную степень), называется иррациональной. В тех случа- ях, когда непосредственным интегрированием взять интеграл не удаётся, прибегают к методу подстановки с тем, чтобы подынтегральное выраже- ние привести к рациональному виду.

Рассмотрим наиболее часто употребляемые случаи:

1) ∫R x, x

, x n2

, x n3 ,.., x nk

dx =

x = t p , где p = HOK (n1, n2 ,.., nk )

+ 3

Обучающий пример 1.

∫

dx .

3 x4

+ 2x

Решение:

x = t 6 , т. к. НОК(2,3) = 6

+ x

dx =

∫

x 2

dx = 6t 5dt

x 3 + 2x

(t3 + t 2 )6t5

+ t

t − 2

∫

dt =

6∫

dt =

6∫ 1 +

dt =

t8 + 2t6

+ 2

t2 +

= 6

dt + 6

dt −12

= 6t + 3

2tdt

−12

∫

∫ t

2 + 2

∫ t 2 + 2

∫ t 2 + (

+ C .

= 6t + 3ln

t 2 + 2

-12 ×

+ C = 66

+ 3ln

+ 2

+ 6

arctg

2 arctg

123

∫

R x,(ax + b) n1 ,(ax + b) n2 ,..,(ax + b) nk

dx =

ax + b = t p , где p = НОК (n , n ,.., n

)

Обучающий пример 2.

∫

x + 2 +

x + 2

Решение.

∫

x + 2 = t 2

= ∫

2tdt

= 2∫

= 2ln

t +1

+ C =

t 2 + t

x + 2

dx = 2tdt

= 2ln

+ C .

x + 2

ax + b

3) ∫R x,

,..,

+ d

cx + d

ax + b

= t p , где p = НОК (n , n ,.., n

)

cx + d

Обучающий пример 3.

∫

1 + x

dx .

Решение: Подынтегральное выражение есть рациональная функция

от переменной x

и от выражения

1 + x

, поэтому введём подстановку

1 + x = t 2 . x

							1 + x	= t 2 ,						x =				1
							1 + x											1
																t	2	-1						2
																	2
	1		1 + x				x												= ∫(t		2	-1)						2tdt
∫				dx =							2tdt														×t ×		-				=
∫		2		dx =							2tdt														×t ×		-			2	=
	x		x																							(t		2	-1)
	x		x			dx = - (t 2 -1)2																						2
						dx = - (t 2 -1)2

					= -2∫t				2		= -	2		3	+ C			= C -		2		1 + x			3
										dt			t												.
										dt		3	t							3			x		.
												3								3			x

4) Интеграл от дифференциального бинома

∫ xm (a + bxn ) p dx ,

где m, n, p – рациональные числа, сводится к интегралу от рациональной функции в трёх случаях (доказано П.Л. Чебышевым).

124

а) p – целое. Тогда, если p > 0, подынтегральное выражение раскла-

дывается по формуле бинома Ньютона; если же																																																				p < 0, то полагаем x = t k ,
где k –					общий знаменатель дробей m и n.
		б)		m + 1				− целое. Полагаем a + bxn = t k ,																																														k –		знаменатель дроби р.
		б)						− целое. Полагаем a + bxn = t k ,																																														k –		знаменатель дроби р.
						n
		в)			m + 1			+ p − целое. Полагаем																																						a + bxn = t k xn , где k – знаменатель
		в)						+ p − целое. Полагаем																																						a + bxn = t k xn , где k – знаменатель
						n
дроби р.
																																	J = ∫ x												1								1	2
		Обучающий пример 4.																																											3								2			dx .
		Обучающий пример 4.																																												2 + x										dx .

																J = ∫ x								1				2 + x				1			2											Здесь р = 2 − целое число, значит,
		Решение:																						3								2							dx .
		Решение:																																					dx .

имеем случай а), следовательно,
				1						1																					4									5										1								7					11							4
J = ∫ x						4 + 4x											+ x dx									= ∫ x								+ 4x											+ 4x							dx =					3			x		+	24	x			+ 3x				+ C .
				3									2																		3												6							3							3				3		24			6				3
				3									2																		3												6							3											3		11			6				3
																																																								7							11


																																									1 +					3
		Обучающий пример 5.																																							1 +					3	x		dx .

																																					∫

																																										3 x2
																																																			1
																																							2									1
																		1 +					3									∫ x−																				2																2				1
																							3		x																											2
		Решение:														∫									x				dx =										3 1 + x 3														dx .					Здесь					m = −						,		n =		,
		Решение:														∫													dx =										3 1 + x 3														dx .					Здесь					m = −						,		n =		,
																		3			x		2																																								3							3
																					x
			m + 1						−		2				+ 1
	1								−						+ 1
p =	1	,					=			3										= 1 − целое число, имеем случай б), тогда
p =		,					=							1						= 1 − целое число, имеем случай б), тогда
2					n									1
										3
																										1														1																		1
																																								1																		1
																																	1 + x											= t 2 ,															= t 2 −1,
										−		2										1																				3														x		3
										−		2										1					2															3														x		3
							∫ x					3 1						+ x				3								dx =										2																		2							=
																																	1						−																	−
																																	1						−																	−
																																						x		3 dx = 2tdt,															x 3 dx = 6tdt
																																	3					x		3 dx = 2tdt,															x 3 dx = 6tdt
																																																								3
																			= 6∫t							2		dt = 2t								3															+ x			1		2		+ C .
																										2										3																		3
																																						+ C = 2 1

125

																																					1
		Обучающий пример 6. ∫ x−11 (1 + x4 )−																																					dx .															m = −11,				n = 4 ,
		Обучающий пример 6. ∫ x−11 (1 + x4 )−																																				2	dx .						Здесь									m = −11,				n = 4 ,
p = −	1		,		m + 1					+ p =						−11 + 1							−		1	= −3 − целое число, имеем случай б):
	2						n										4								2
																												1 + x4 = x4t 2 , x =																		1						,
																																														1

																																												(t 2 -1)							1
																				1																								(t 2 -1)							4
								∫ x−11 (1 + x4 )−															dx =																																		=
								∫ x−11 (1 + x4 )−													2		dx =					x4 (t 2 -1)																					tdt								=
																																			=1, dx = -														tdt

																																																			5
																																														2	(t 2 -1)
																																														2	(t 2 -1)								4
																													11								1
																	= -			1		∫(t2 -1)										(x4t2 )−										tdt					=
																				1										4							2					tdt
																				2										4							2									5
																				2																			(t2 -1)4
																																							(t2 -1)4
													∫(				)	6										−	1								∫(								)	3		(			)					1
										1										t 2															1
																													2
																													2
																								2
						= -				2					t 2	-1		4							-						tdt = -				2					t	2 -1					2 ×			t 2 -1							2 dt =
										2										t					-	1									2
	= -						1		∫(		t 2			-1			2 dt = -							1	∫	(	t 4		- 2t 2 +1 dt = -														1			t5		-		2t3				+ t + C =
	= -										t 2			-1			2 dt = -										t 4		- 2t 2 +1 dt = -																			-						+ t + C =
						2									)									2											)						2					5					3
						2																		2																	2					5					3
		t5				t3
												t									1						(1 + x4 )						5				1					(1 + x4 )							3		1
												t									1												5				1												3		1						1 + x4
= -				+					-					+ C = -																				+																	-							+ C .
= -		10		+		3			-		2			+ C = -					10x10															+		3x6															-		2x2					+ C .

3. Выполнить самостоятельно; каждый студент решает свой вариант (два студента у доски выполняют свои задания).

Вариант 1

xdx

- 44

а) ∫

Ответ: -

- x -

- 2

- 4ln

1 - 4

+ C .

- 4 x

x + 3 - 4ln

x + 3 + 2

+ C .

б) ∫

Ответ: 2

x + 3

+ 2

3x +1

(3x +1) -

+ 23

в) ∫

dx .

Ответ:

(3x +1)5

(3x +1)2

3x +1 + 23 3x +1

+123

- 486

-4

3x +1

+ 96ln

3x +1

+ 2

+ C .

4 x +1

г) ∫

Ответ: 4

+ C .

(1 + 4

4 x +

126

Вариант 2

− 2

xdx

а) ∫

Ответ: 2 x + 246 x + 24ln

+ C .

− 43 x

x + 2

−

+ C .

б) ∫

Ответ:

x + 4

( x + 1)

x +

x + 4 + 3

+ 36

+ 3ln

−1

+ C .

в) ∫

. Ответ:

2x + 1

(2x + 1)2 −

2x + 1

2 + 3x3

г) ∫

Ответ: −

+ C .

x2 3 (1 + x3 )5

2x 3

(1 + x3 )2

Вариант 3

а)

б)

в)

г)

x +

+ 3 x

∫

dx .

Ответ:

3 x2

+ 6

6 x − 6arctg 6 x + C .

(

)

x 1 +

xdx

( x

−1)

∫

Ответ:

+ 2 x −1 + C .

x −1

∫

x −1

dx .

x −1

− 2

( x −1)2

+ 33

− 66

+ 6ln

+ 1

+ C .

Ответ:

x −1

3 (1

+ x1 6 )

3 (1 + x1 6 )

1 +

−

1 + x1 6

)

+ C .

dx . Ответ: 18

∫

(

Вариант 4

x + 3 x2 +

а) ∫

dx .

Ответ:

3 x2

+ 6

6 x − 6arctg 6 x + C .

(

)

x 1 +

б) ∫

x − 2

+ C .

Ответ:

2 arctg

x −

в) ∫

x + 3

dx .

3 x + 3 + 1

−

+ 2

( x + 3)7

( x + 3)5

− 66

− arctg 6

+ C .

Ответ:

x + 3

127

2 − 2)

г) ∫

dx .

Ответ:

1 + x2

+ C .

+ x2

Вариант 5

а)

б)

∫

−1

dx .

Ответ:

x + 6

6 x + 3ln

+ C .

x − 3

x + 1

xdx

− 6

+ C .

Ответ:

x + 3

x +

x + 1 + 3 ( x +

1)2 + 6

x + 1

+ 6arctg 6

+ C .

( x + 1)2

в) ∫

dx .

Ответ:

x + 1

( x +

(

)

x + 1 + 1

г)

а)

б)

в)

г)

а)

б)

в)

г)

∫

1 +

dx .

3 x2

∫

x − 3

dx .

x 1 + 6

)

(

∫

2x + 1

dx .

2x + 1

∫

3 +

x + 5

∫

dx .

1 − x2

∫

dx .

4x − 3 x2

∫

1 +

x −1

+ 6

( x + 1)2

∫

x + 1

dx .

x + 1 +

3 x + 1

∫

dx .

3 + x2

Ответ: 2(1 + x13 )32 + C .

Вариант 6

Ответ:

3 x2 − 3

+ ln

+ 1

+ C .

(2x + 1) +

+ C .

Ответ:

(2x + 1)5

− 6ln

+ 3

+ C .

Ответ: 2

x + 5

(−x2 − 2) + C .

Ответ:

1 − x2

Вариант 7

−1

Ответ:

x +

6 x +

+ C .

x + 1

− 2ln

1 +

+ C .

Ответ: 2

x −1

− (x + 1) +

+ C .

Ответ:

( x + 1)7

( x + 1)5

Ответ: 3 + x2 (x2 − 6) + C . 3

128

а)

б)

в)

г)

а)

б)

в)

г)

а)

б)

в)

Вариант 8

−1

∫

x +

+ C .

dx .

Ответ:

x + 1

4x − 3 x2

∫

x −1 − 2ln

1 +

x −1

+ C .

Ответ: 2

1 +

x −1

+ 6

( x + 1)2

x + 1

− (x + 1) +

+ C .

∫

dx .

Ответ:

( x + 1)7

( x + 1)5

x + 1 + 3 x + 1

2 − 6)

3 + x2

+ C .

dx .

Ответ:

∫

3 + x2

Вариант 9

∫4 x + x dx .

x + 1

Ответ: x + 4 4 x3 − 2 x − 44 x + 2ln x + 1 + 4arctg 4 x + C . 3

x + 1

∫

dx .

Ответ: 2

x −1 + 2arctg x −1 + C .

x −1

x + 3

dx .

∫

x + 3 + 3 x +

− 2

+ 33

− 66

+ 6ln

+ 1

+ C .

( x + 3)2

( x + 3)

Ответ:

x + 3

2 − x2

dx .

Ответ:

+ C .

∫ (1 − x2 ) 1 − x2

1 − x2

Вариант 10

− x −

− 2

+ 46

− 4ln

+ 1

+ C .

dx .

Ответ:

∫

4 x

+ 1

∫

Ответ: 2

x − 6 − 6ln

x − 6 + 3

+ C .

3 +

x − 6

1 −

x + 1

∫

(

)

x + 1

3 x + 1

+ 1 dx .

Ответ: 33 x + 1 − 3 3 ( x + 1)2 + 66 x + 1 − 3ln 3 x + 1 + 1 − 6arctg 6 x + 1 + C . 2

129

г) ∫

dx .

Ответ:

4 − x2

+ C .

(2 − x2 )

2 − x2

Вариант 11

+ 1 )(

+ 1) dx .

а) ∫

Ответ: x +

3 x2 + 2

+ 66

+ C .

б) ∫

Ответ: 2

x − 8 − 4ln

x − 8 + 2

+ C .

2 + x − 8

1 + 6

в) ∫

3x + 1

dx .

3x + 1

− 3 3x +

−

(3x + 1)2

+ 23

+ 46

+ 4ln

−1

+ C .

Ответ:

3x + 1

6 − x2

г) ∫

dx .

Ответ:

+ C .

(3 − x2 )

3 − x2

Вариант 12

а) ∫ 3x + 3 x2 dx .

б) ∫ ( x −1) x .

в) ∫ 1 − 2x − 41 − 2x .

г) ∫ (4 − x2 )4 − x2 dx .

+ 6

)

а) ∫

(

)

dx .

3 x + 1 x

б) ∫

xdx

x + 10

−

arctg 6

+ C .

Ответ:

−1

+ C .

Ответ: ln

x + 1

Ответ: −

− 24

− 2ln

+ C .

(2x −1

1 − 2x

8 − x2

Ответ:

+ C .

4 − x2

Вариант 13

+ 6arctg 6

+ C .

Ответ:

x 3

− 2

arctg

+ C .

Ответ:

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1713 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб105умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб105умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб93умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб98умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб98умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб106умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf