Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

2.77 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 177 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Вариант 10

Решить уравнение

3x2 − 5x + 7 = 0.

−4

Записать числа z

= 4 − 5i,

в тригонометрической и

3 + i

показательной формах, изобразить их на плоскости.

Вычислить: а) 5z - 3z

× z

г) z −1

; б) z

;

в)

;

д) 3 z

3.Решить уравнение z4 = 27.

4.Представить рациональную дробь в виде суммы простейших ра- циональных дробей:

2x + 5

5x3 − 6x + 8

а)

;

б)

(3x2 + 4)( x − 8)

x3 − 6x2 + 8x

Вариант 11

Решить уравнение

2x2 − 5x + 5 = 0.

Записать числа z1 = 3 − 7i,

z2 =

в тригонометрической и

3 + i

показательной формах, изобразить их на плоскости.

Вычислить: а) 5z - 3z

;

б) z

× z

; в)

; г) z −1

; д)

3 z

3.Решить уравнение z4 = 24.

4.Представить рациональную дробь в виде суммы простейших ра- циональных дробей:

4x + 5

5x3 + 9x + 8

а)

;

б)

(5x2 + 2)( x + 5)

x3 + 9x2 + 8x

Вариант 12

Решить уравнение

3x2 − 5x + 7 = 0.

−1

Записать числа z

= 4 + 7i,

в тригонометрической и

3 − i

показательной формах, изобразить их на плоскости.

Вычислить: а) 5z - 3z

; б) z

× z

;

в)

;

г) z −1 ; д)

3 z

Решить уравнение

z4 = 31.

4. Представить рациональную дробь в виде суммы простейших ра- циональных дробей:

3x − 2

7x3 − 5x + 4

а)

;

б)

(

)

( x − 4)

− 5x

+ 4x

+ 1

Вариант 13

Решить уравнение

6x2 − 5x + 4 = 0.

Записать числа z

= 3 − 7i,

в тригонометрической и по-

1 + i

казательной формах, изобразить их на плоскости.

Вычислить: а) 5z - 3z

; б) z

× z

; в)

; г)

z −1

; д)

3 z

3.Решить уравнение z4 = 7.

4.Представить рациональную дробь в виде суммы простейших ра- циональных дробей:

2x + 3

5x3 + 7x + 12

а)

;

б)

(4x2 + 3)( x + 5)

x3 + 7x2 + 12x

Вариант 14

Решить уравнение

8x2 − x + 4 = 0.

Записать числа z1 = 6 + 8i,

z2 =

в тригонометрической и

3 + i

показательной формах, изобразить их на плоскости.

Вычислить: а) 5z - 3z

; б) z

× z

; в)

; г) z −1

; д)

3 z

3.Решить уравнение z4 = 21.

4.Представить рациональную дробь в виде суммы простейших ра- циональных дробей:

	2x − 1							5x3 − 8x + 15
а)		;		б)						.
	(5x2 + 8)( x − 5)						x3 − 8x2 + 15x
			Вариант 15
1.	Решить уравнение		3x2 − 4x + 9 = 0.
2.	Записать числа z		= 2 + 7i, z =		2			2	в тригонометрической и по-

	1		2	1		+ i

казательной формах, изобразить их на плоскости.

Вычислить: а) 5z - 3z

× z

; г) z −1

; б) z

; в)

;

д) 3 z

3.Решить уравнение z4 = 19.

4.Представить рациональную дробь в виде суммы простейших ра- циональных дробей:

5x − 2

5x3 − 2x − 3

а)

;

б)

(4x2 + 9)( x − 1)

x3 − 2x2 − 3x

Вариант 16

Решить уравнение: 8x2 − 2x + 7 = 0.

Записать числа

z1 = 7 − 9i,

в тригонометрической и

−

показательной формах, изобразить их на плоскости.

Вычислить: а) 5z

- 3z

; б) z

× z

; в)

; г) z −1

; д)

3 z

3.Решить уравнение z4 = 29.

4.Представить рациональную дробь в виде суммы простейших ра- циональных дробей:

5x + 7

8x3 + 5x + 6

а)

;

б)

(6x2 + 7)( x + 3)

x3 + 5x2 + 6x

Вариант 17

Решить уравнение

6x2 − x + 4 = 0.

Записать числа z1 = 2 + 5i,

z2 =

в тригонометрической и

3 − i

показательной формах, изобразить их на плоскости.

Вычислить: а) 5z - 3z

; б) z

× z

; в)

; г) z −1

; д)

3 z

3.Решить уравнение z4 = 17.

4.Представить рациональную дробь в виде суммы простейших ра- циональных дробей:

а)				8x + 7		;	б)	5x3	− 9x + 8	.
а)	(		2	)	( x − 9)	;	б)	3	2	.
		3x	2	+ 1				3	2
		3x		+ 1				x − 9x + 8x
								x − 9x + 8x
							Вариант 18
1. Решить уравнение							4x2 − 3x + 5 = 0.

2. Записать числа

z1 = 3 + 8i,

−4

в тригонометрической и

показательной формах, изобразить их на плоскости.

- 3z

× z

; г) z −1

Вычислить: а) 5z

; б) z

; в)

;

д) 3 z

3.Решить уравнение z4 = 28.

4.Представить рациональную дробь в виде суммы простейших ра- циональных дробей:

3x + 2

9x3 − 4x + 3

а)

;

б)

(5x2 + 8)( x − 1)

x3 − 4x2 + 3x

Вариант 19

1. Решить уравнение 5x2 − 2x + 3 = 0.

2. Записать числа

z1 = 7 − 4i,

z2 =

в тригонометрической и

3 − i

показательной формах, изобразить их на плоскости.

Вычислить: а) 5z

- 3z

; б) z

× z

; в)

; г) z −1

; д)

3 z

3.Решить уравнение z4 = 7.

4.Представить рациональную дробь в виде суммы простейших ра- циональных дробей:

4x + 7

6x3 − 7x + 6

а)

;

б)

(

)

( x − 7)

+ 1

x − 7x

+ 6x

Вариант 20

1. Решить уравнение

8x2 − x + 4 = 0.

2. Записать числа z1

= 3 + 4i,

в тригонометрической и

1 −

показательной формах, изобразить их на плоскости.

Вычислить: а) 5z - 3z

; б) z

× z

; в)

; г)

−1 ; д)

3 z

3.Решить уравнение z4 = 15.

4.Представить рациональную дробь в виде суммы простейших ра- циональных дробей:

	3x − 7			5x3 − 9x + 14
а)		;	б)		.
	(x2 + 2)( x + 5)			x3 − 9x2 + 14x

Вариант 21

Решить уравнение 7x2 − x + 4 = 0.

Записать числа

z1 = 7 − 5i,

z2 =

в тригонометрической и

3 − i

показательной формах, изобразить их на плоскости.

- 3z

× z

; г) z −1

Вычислить: а) 5z

; б) z

; в)

;

д) 3 z

3.Решить уравнение z4 = 11.

4.Представить рациональную дробь в виде суммы простейших ра- циональных дробей:

8x − 7

2x3 − 9x + 14

а)

;

б)

(3x2 − 5)( x + 9)

x3 − 9x2 + 14x

Вариант 22

Решить уравнение

6x2 − 5x + 4 = 0.

Записать числа z1

3 + 8i,

z2 =

в тригонометрической и

3 + i

показательной формах, изобразить их на плоскости.

Вычислить: а) 5z - 3z

; б) z

× z

; в)

; г) z −1

; д)

3 z

3.Решить уравнение z4 = 17.

4.Представить рациональную дробь в виде суммы простейших ра- циональных дробей:

5x + 1

2x3

− 8x + 15

а)

;

б)

(

)

( x + 3)

− 8x

+ 15x

+ 1

Вариант 22

Решить уравнение

8x2 − x + 4 = 0.

Записать числа z1

= 9 − 7i,

в тригонометрической и

− i

показательной формах, изобразить их на плоскости.

Вычислить: а) 5z - 3z

; б) z

× z

;

в)

;

г)

z −1

; д)

3 z

Решить уравнение

z4 = 7.

4. Представить рациональную дробь в виде суммы простейших ра- циональных дробей:

8x + 7

4x3

− 7x + 10

а)

;

б)

(

)

( x + 8)

− 7x

+ 10x

+ 1

Вариант 23

Решить уравнение

9x2 − x + 5 = 0.

= −2

Записать числа z

= 3 − 15i,

в тригонометрической и

1 − i

показательной формах, изобразить их на плоскости.

Вычислить: а) 5z - 3z

; б) z

× z

;

в)

;

г)

−1 ; д)

3 z

3.Решить уравнение z4 = 19.

4.Представить рациональную дробь в виде суммы простейших ра- циональных дробей:

3x + 7

3x3

− 9x + 8

а)

;

б)

(

)

( x + 2)

− 9x

+ 8x

+ 1

Вариант 24

Решить уравнение

7x2 − 3x + 4 = 0.

= −2

Записать числа z

= 2 + 7i,

в тригонометрической и

1 + i

показательной формах, изобразить их на плоскости.

Вычислить: а) 5z - 3z

; б) z

× z

;

в)

;

г)

z −1

; д)

3 z

3.Решить уравнение z4 = 20.

4.Представить рациональную дробь в виде суммы простейших ра- циональных дробей:

а)

8x + 7

;

б)

5x3 + 7x + 6

(

)

( x − 9)

+ 1

− 7x + 6x

Вариант 25

Решить уравнение

5x2 − x + 4 = 0.

Записать числа z

= 4 + 7i, z =

2 2

в тригонометрической и по-

1 + i

казательной формах, изобразить их на плоскости.

Вычислить: а) 5z - 3z

× z

; г) z −1

; б) z

; в)

;

д) 3 z

3.Решить уравнение z4 = 22.

4.Представить рациональную дробь в виде суммы простейших ра- циональных дробей:

3x + 1

5x3 − 9x + 8

а)

;

б)

(

)

( x − 9)

+ 1

x + 9x

+ 8x

Вариант 26

Решить уравнение 7x2 − 3x + 1 = 0.

Записать числа

z1 = 4 + 5i,

z2 =

в тригонометрической и

3 − i

показательной формах, изобразить их на плоскости.

Вычислить: а) 5z

- 3z

; б) z

× z

; в)

; г)

−1 ; д)

3 z

3.Решить уравнение z4 = 37.

4.Представить рациональную дробь в виде суммы простейших ра- циональных дробей:

5x + 7

5x3 − 7x + 6

а)

;

б)

(

)

( x + 1)

− 9x

+ 8x

+ 1

Вариант 27

Решить уравнение

6x2 − 7x + 4 = 0.

Записать числа z1

= −2 + 5i,

в тригонометрической и

− i

показательной формах, изобразить их на плоскости.

Вычислить: а) 5z - 3z

; б) z

× z

;

в)

; г)

z −1

; д)

3 z

3.Решить уравнение z4 = 31.

4.Представить рациональную дробь в виде суммы простейших ра- циональных дробей:

	8x + 7			5x3 − 3x + 2
а)		;	б)		.
	(3x2 + 5)( x − 1)			x3 − 9x2 + 8x

Вариант 28

Решить уравнение 6x2 − x + 2 = 0.

Записать числа

z1 = 5 − 8i,

z2 =

в тригонометрической и

3 − i

показательной формах, изобразить их на плоскости.

- 3z

× z

; г) z −1

Вычислить: а) 5z

; б) z

; в)

;

д) 3 z

3.Решить уравнение z4 = 8.

4.Представить рациональную дробь в виде суммы простейших ра- циональных дробей:

8x + 7

5x3 − 9x + 8

а)

;

б)

(

)

( x − 4)

+ 1

x − 7x

+ 6x

Вариант 29

Решить уравнение 5x2 − x + 4 = 0.

Записать числа

z1 = 2 + 5i,

z2 =

в тригонометрической и

3 + i

показательной формах, изобразить их на плоскости.

Вычислить: а) 5z

- 3z

; б) z

× z

; в)

; г)

−1 ; д)

3 z

3.Решить уравнение z4 = 5.

4.Представить рациональную дробь в виде суммы простейших ра- циональных дробей:

2x + 7

4x3

− 9x + 8

а)

;

б)

(

)

( x − 2)

− 5x

+ 6x

+ 1

Вариант 30

Решить уравнение

5x2 − x + 8 = 0.

Записать числа z1

= 4 − 9i,

в тригонометрической и

− i

показательной формах, изобразить их на плоскости.

Вычислить: а) 5z - 3z

; б) z

× z

;

в)

;

г)

z −1 ; д)

3 z

Решить уравнение

z4 = 15.

4. Представить рациональную дробь в виде суммы простейших ра- циональных дробей:

а)				3x − 7	;	б)	4x3	− 4x + 3	.
а)	(		2	)	;	б)	3	2	.
		9x	2	+ 1 ( x − 2)			3	2
		9x		+ 1 ( x − 2)			x − 5x + 6x
							x − 5x + 6x

II. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. Метод подведения под знак дифференциала

1. Краткий теоретический обзор с использованием лекционного материала, графической схемы.

Делаем акцент на то, что основной задачей дифференциального ис- числения является отыскание производной данной функции или её диффе- ренциала. Интегральное исчисление решает обратную задачу: по заданно- му дифференциалу, а, следовательно, и производной функции, требуется найти эту функцию.

Студенты у доски решают следующие примеры:

Пример 1. Запишите соотношение, соответствующее определению первообразной.

Пример 2. Из каждой пары функций выпишите ту, которая является первообразной для другой и обозначьте её через F(x).

2.1)

2 x

и e

2 x

;

2.3)

и arctg 3x .

1 + 9x2

2.2)

cos3x и −3sin 3x ;

Обращаем внимание, что если функция F(x) –

первообразная для f(x),

то её дифференциал равен

d ( F (x)) = F '(x )dx = f (x )dx .

Пример 3.

Вместо точек поставьте нужную функцию F(x)

f (x)dx = d ( F (x))

3.1)

2xdx = d…

3.3)

= d...

3.2)

= d...

cos2 x

3.4)

sin 5xdx = d...

Пример 4.

Найдите:

4.1)

d(sinx);

4.5)

d(kx);

4.9)

d(x2);

4.2)

d(cosx);

4.6)

d(kx + b);

4.10)

d(x2 + b)

4.3)

d(lnx);

4.7)

d(arccosx);

4.4)

d(x + b);

4.8)

d(arctg х);

В интегральном исчислении довольно часто используют ниже пере- численные соотношения, записанные в виде:

1. cosxdx = d(sinx + b);

7. xdx =

(x2 + b);

= d(lnx + b);

dx =

3. dx = d(x + b);

1 − x2

= d(arcsinx+ b) =−d(arccosx + b);

4. dx =

d(kx + b);

= 2d ( x ) ;

= d(arctgx + b) =

1 + x2

10.

= d (tg x);

= −d(аrcctgx + b);

cos2

= −d

= −d (ctg x) и т. п.

;

11.

sin2 x

Пример 5. Задача о нахождении первообразной для заданной функ-

ции 3x2. Имеем:

а)

одно решение;

б) бесконечно много решений;

в)

несколько решений.

Выберите правильный ответ, объясните его. Делаем выводы, что

1)любые две первообразные F1(x) и F2(x) для функции f(x) отли- чаются на постоянную С;

2)F(x) + С выражает всю совокупность первообразных для f(x). Согласно определению неопределенного интеграла можно записать

∫f (x)dx = F (x) + C , где d (F (x) + C) = f (x)dx

или (F (x) + C)'= f (x ), где С = const.

Пример 6. Проверьте дифференцированием правильность решения примеров:

6.1)

∫dx = x + C ;

6.3)

∫

= arcsin x + C ;

1 − x2

6.2)

∫

= ln

+ C ;

6.4)

∫e3x dx =

e3x + C .

Делаем вывод, что результаты интегрирования всегда можно прове- рить дифференцированием. Взяв производную от ответа, мы должны по- лучить подынтегральную функцию.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 177 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб51умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб42умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб41умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб46умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб47умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб53умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf