Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

2.77 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 173 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

функцию, которая также является	дифференцируемой. Тогда с	учетом
′
dx = ϕ (t)dt , будем иметь
∫ f (x)dx = ∫ f (j(t)) × j¢(t)dt .		(6.5.1)
Доказательство. Пусть F ( x)	– первообразная для функции	f ( x) ,

т. е. F′( x) = f ( x) . Тогда по свойству инвариантности неопределенного ин-

теграла функция F (j(t )) будет первообразной для функции f (j(t )) × j¢(t ) :

(F (j(t )))¢ = F′(j(t ))× j′(t ) = f (j(t ))× j′(t ).

Следовательно, ∫ f (j(t )) × j¢(t )dt = F (j(t )) + C = F ( x) + C = ∫ f ( x)dx .

Замечание 6.5.1. Формулу (6.5.1) называют формулой замены переменной в неопределённом интеграле или методом подстановки.

Замечание 6.5.2. После нахождения интеграла в правой части формулы (6.5.1) необходимо вернуться к старой переменной.

Замечание 6.5.3. Замена переменной должна обеспечить приве- дение не табличного интеграла к табличному или более простому. Однако удачный выбор новой переменной часто довольно сложен и приобретается практикой.

Пример 1 (первый способ).

∫

ex +1 = t, ex = t -1,

= ∫

= -∫

(t -1) - tdt =

e +1

(t -1)t

x = ln(t -1),

dx = t -1 dt

dt = -

d (t -1)

= ln (t -1) - ln t + C =

∫

t -1

=ln (ex ) - ln (ex +1) + C = x - ln (ex +1) + C.

Пример 1 (второй способ).

x = -ln t, ex

, t = e− x ,

d (t +1)

∫

1 + t

= -∫

= -ln

t +1

+ C =

ex +1

t +

(t +1)

dx = -

dt, e

																																									1							+ 1					+ C = − ln																ex + 1												+ C =
					= − ln (e− x + 1) + C = − ln																																				1																												ex + 1
					= − ln (e− x + 1) + C = − ln																																				ex
																																									ex																														ex

										= − ln (ex + 1) + ln ex + C = x − ln (ex + 1) + C .
Упражнение.																					Вычислить ∫																											dx							с помощью замены x = ln t .
Упражнение.																					Вычислить ∫																																		с помощью замены x = ln t .
																																													ex + 1
Сравните все способы вычисления ∫																																																					dx							и выберите наиболее эф-
Сравните все способы вычисления ∫																																																			ex +						1			и выберите наиболее эф-
																																																			ex +						1
фективный из них.
Пример 2.
∫				dx									= ∫																dx																	= ∫																								dx																			=

		2																						2							1							1																										1											1									1			1
	2x - x +1																							2							1							1																										1											1									1			1
																		2		x							-						x +																		2			x2 -												x +														-						+
																															2							2
																																																																2
																																																																2						16												16					2
																																																														-			1
																									dx																	1														d			x
																																																								d			x						4
										= ∫																												=									∫																		4													=
																										1 2									7					2																		1 2																	2
																										1 2									7					2																		1 2												7					2
															2			x -														+																		x				-								+
																																			8
																																																																			4
																										4																																4									4
																																						1
									1						4														4 x -																											2												4x					-			1
																													4 x -									4
						=						×							arctg																			4						+ C =																	arctg																		+ C.

																	7																		7																					7
								2									7																		7																					7																7
Пример 3.
∫ (3x - 2)dx =																	∫																(3x - 2)dx																																=			∫							(3x - 2)dx													=
∫ (3x - 2)dx =																	∫																																																=			∫																				=
		2x2 - x +1																2										2			-	1						+						1							-			1				+			1																					1			2		7
																							x													x																																		2			x -													+
																																2
																																																																																		4					8
																																								16												16									2																					4					8
																																																						1																											5
																																																						1
							x -						1			= t, x =												1			+ t,												3 t								+					- 2																3t -


				=																																	= ∫																	4									dt =∫																	4					dt =
													4															4																										4																										4
													4															4																								2						7																		2
							dx = dt																																									2t				2		+				7													2t					2		+				7
							dx = dt																																									2t						+		8															2t							+				8
																																																								8																										8
=		3	∫			tdt								-			5			∫						dt								=			3		ln										2		+			7							-	5			×		4							arctg									4t			+ C =
																																													t
										7																				7

		2			t2	+											8					t	2 +														4																	16								8 7																						7
					t2	+																t	2 +																																							8 7																						7
								16																				16
																																																													4						-			1
								3																1			2								7														5															x
								3																1			2								7														5															x						4
						=					ln						x				-										+									-														arctg																4							+ C =
								4																4
																																													2						7																7
																																16													2						7																7

1 2

4x -1

x -

arctg

+ C.

Пример 4.

1 - x2 =

1 - sin2 t = cost,

= ∫cos t × costdt =

∫ 1 - x2 dx =

x = sin t, dx = cost × dt

= ∫cos2 dt = ∫

1 + cos 2t

dt =

∫dt +

∫cos 2tdt =

t +

sin 2tdt + C =

t = arcsin x,

sin 2t = 2sin t cost = 2x

1 - x2

arcsin x +

1 - x2 + C .

Пример 5 (первый способ).

∫tg xdx = ∫

sin xdx

cos x = t, dt = -sin xdx

= -∫

= -ln

+ C = - ln

cos x

+ C .

cos x

Пример 5 (второй способ).

∫tg xdx = ∫

sin xdx

= - ∫

d cos x

= -ln

cos x

+ C .

cos x

Вывод: в данном случае выгоднее использовать метод подведения под знак дифференциала.

Пример 6.

= t, x + 2 = t2 ,

∫

x + 2

= ∫

2tdt

= 2∫

tdt

t + 3

x + 2 +

x = t2 - 2, dx = 2tdt

= 2∫

(t + 3) - 3 dt = 2∫dt - 6∫

d (t + 3)

= 2t - 6ln

t + 3

+ C =

t + 3

= 2 x + 2 - 6ln x + 2 + 3 + C.

6.6. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трёхчлен

I1 = ∫

; I2

= ∫

Ax + B

dx;

ax2 + bx + c

Ax + B

I3 = ∫

; I4 = ∫

; I5 = ∫ ax2 + bx + c.

ax2

+ bx + c

Основная идея – интегралы I1 – I5 сводят к табличным или к более простым выделением полного квадрата из квадратного трёхчлена:

b 2

4ac − b2

+ bx + c = a x

x +

−

= a x +

4a a

и введением замены переменной.

Замечание.		Интегралы I2 , I4				могут вычисляться следующим об-
разом. В числителе выделяют производную знаменателя
	A			Ab			A		Ab
Ax + B =			(2ax + b) −		+ B =			(2ax + b) + B −		,
				2a			2a
	2a								2a

( Ax + B)dx

затем интеграл I2 = ∫ ax2 + bx + c разбивают на два интеграла, один из ко-

торых вычисляют поднесением под знак дифференциала, а второй – выде- лением полного квадрата в квадратном трёхчлене.

Первый способ:

∫

3x − 5

dx = ∫

(3x − 5)dx

5 − 4x − 2x

−2

+ 2x + 1) −1

−

=		(3x − 5)dx				=			x + 1 = t, x = t −1												=				3(t −1) − 5									dt = 3						tdt		− 8			dt	=
		(3x − 5)dx																							3(t −1) − 5															tdt					dt
	∫	7 − 2( x + 1)2																					∫																7 − 2t2					∫ 7	− 2t 2
	∫	7 − 2( x + 1)2							dx = dt														∫				7 − 2t 2											∫	7 − 2t2					∫ 7	− 2t 2
					d (-2t		2 + 7)																											4 ×						t -
		-	3	∫							+ 8 ×			1	∫			dt		= -			3		ln			7 - 2t				2	+			2	ln				7 2		+ C =
			3											1				dt					3									2				2					7 2

			4		-2t	2 + 7								2		t	2	-	7				4											2 7						t + 7 2
			4		-2t	2 + 7								2			2		7				4											2 7						t + 7 2
																			2
																			2
																															x +1 -
																						+		2					ln						7 2
								= -		3		ln	5 - 4x - 2x2														2											+ C.
										3																	2
																														x +1 +
							4																			7									7 2
							4																			7									7 2

Второй способ:

(5 - 4x - 2x2 )′ = -4x - 4,

∫

3x - 5

5 - 4x - 2x2

3x - 5 = -

(-4x

4) - 3 - 5 == -

(-4x - 4) - 8

(-4x - 4)dx

= ∫

dx == -

∫

- 8∫

5 - 4x -

2x2

5 - 4x - 2x2

−

∫

d (5 − 4x − 2x2 )

− 8∫

= −

∫

(5 − 4x − 2x

2 )

−

∫

d ( x + 1)

− 4x − 2x2

5 −

4x − 2x2

− ( x + 1)2

d (5 - 4x - 2x2 )

∫

( x +1)

5 - 4x -

2x2

( x +1)2 -

x +1 -

+ С.

+ 2

7 2

= -

5 - 4x - 2x2

x +1 +

7 2

6.7. Метод интегрирования по частям

ТЕОРЕМА 6.7.1.

Если функции

u(x)

v ( x) определены на неко-

тором промежутке и имеют на этом промежутке непрерывные производ- ные, то имеет место равенство:

∫u(x)dv(x) = u(x) × v(x) - ∫v(x)du(x) или
∫udv = uv - ∫vdu	(6.7.1)
Доказательство. Запишем тождество d (uv) = udv + vdu	и проинтег-
рируем его. Тогда будем иметь:

∫d (uv) = ∫udv + ∫vdu uv = ∫udv + ∫vdu

∫udv = uv - ∫vdu , что и требовалось доказать.

Замечание 6 . 7 . 1 . Формулу (6.7.1) называют формулой интег-

рирования по частям.

Замечание 6 . 7 . 2 . Суть метода интегрирования по частям состо- ит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представ- ляют в виде произведения двух сомножителей u и dv ; затем, после нахо-

ждения du и v , используется формула (6.7.1). Иногда для достижения

окончательного результата формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз.

Пример 1.


	u = arctg x, du = u¢dx =					1	dx,
∫arctg xdx =	u = arctg x, du = u¢dx =					1 + x2	dx,
	dv = dx, v = x
= arctg x × x -		1	∫	d (1 + x2 )	=arctg x × x
= arctg x × x -			∫		=arctg x × x
2				1 + x2

=arctg x × x - ∫1 +xx2 dx =

-12 ln (1 + x2 ) + C.

Замечание 6 . 7 . 3 . Метод применяется в тех случаях, когда по- дынтегральное выражение представлено произведением различного класса функций.

Замечание 6 . 7 . 4 . Метод интегрирования по частям применяется

втех случаях, когда подынтегральное выражение можно представить как

произведение udv , причем вычисление ∫vdu проще, чем вычисление ∫udv.

Замечание 6 . 7 . 5 .	Полезно помнить, что для k N
u = xk , if	u ¹ xk , if
xk cos x,	xk arcsin x,	xk arccos x,
xk sin x, xk ax	xk arctg x,	xk loga x

Замечание 6 . 7 . 6	. Формула интегрирования по частям может
быть использована при интегрировании иррациональных выражений.
Замечание 6 . 7 . 7	. Применять формулу (6.7.1) можно согласно
следующему алгоритму:

1)выбрать u и dv ;

2)найти du = u′dx ;

3)найти v = ∫dv ;

4)подставить полученные результаты в формулу (6.7.1).

Пример 2.

∫ x3 sin 3xdx =	u = x3, du = 3x2dx				= -	1	cos3x × x3 +	1	∫cos3x ×3x2dx =
			1

	dv = sin 3xdx, v	= -		cos3x	3			3

		3

u = x2 , du = 2xdx

= -

× cos3x +

×sin 3x -

∫ x sin 3xdx

dv = cos3xdx, v =

sin 3x

u = x, du = dx

= -

x3 × cos3x +

x2 ×sin 3x -

dv = sin 3xdx, v = -

cos3x

x cos3x +

∫cos3xdx

= -

× cos3x +

×sin 3x +

x cos3x -

×sin 3x + C .

Пример 3.

u = ln x, du =

dx,

∫ x ln xdx =

× ln x -

∫ x

dv = xdx, v =

ln x -

+ C =

ln x -

+ C .

Пример 4.

ln x

u = ln x, du =

dx,

x−2

−2

∫

dx =

−2

× ln x +

∫ x

dx =

dv = x−3dx,v =

-2

= -

x−2

ln x -

x−2

+ C = -

ln x -

+ C.

2x2

4x2

6.8. Циклическое интегрирование

Рассмотрим интегралы

∫e

cosbxdx ,

∫e

sin bxdx

- x

∫

где a и b = const.

Суть метода: применяя формулу интегрирования по частям дос- таточное число раз (но не менее двух), получают в правой части равенства интеграл, аналогичный интегралу в левой части равенства. Решая полу- ченные уравнения относительно искомого, получают данный интеграл.

Пример 1.

J = ∫eax cosbxdx =

u = eax , du = a × eaxdx,

dv = cosbxdx, v =

sin bx

× eax sin bx -

∫eax sin bxdx =

u = eax , du = aeaxdx,

= sin bxdx, v = -

cosbx

eax sin bx

cos bx × e

∫

× cos bxdx =

eax sin bx

cos bx × eax -

∫eax cosbxdx , тогда получим уравнение

eax (bsin bx + a cosbx)

J =

eax (bsin bx + a cosbx)

J 1

Выражая из последнего уравнения исходный интеграл, получим

∫e

cos bxdx

eax

(bsin bx + a cosbx)

+ C .

b2 + a2

Пример 2.

dx = ∫

a2 - x2

x × xdx

∫

a2 - x2

dx = a2 ∫

∫

a2 - x2

u = x,

du =1× dx,

(-x2 + a2 )

xdx

dv =

, v

= -

∫

= - a

- x

a2 - x2

- x2

=a2 arcsin ax - (-xa2 - x2 + ∫a2 - x2 dx).

Врезультате получим уравнение относительно заданного интеграла

J = a2 arcsin x + xa2 - x2 - J .

Будем иметь 2J = a2 arcsin

+ x a2 - x2

или

arcsin

+ C .

J =

a2 - x2

6.9. Рекуррентная формула для интеграла

Jn =

∫

(x2 + a2 )n

Преобразуем рассматриваемый интеграл так, чтобы степень знаме-

нателя уменьшилась хотя бы на единицу:

x2 + a2 - x2

x × xdx

= ∫

∫

dx =

∫

- ∫

(x2

+ a2 )

(x2 + a2 )

(x2 + a

2 )

n−1

(x2 + a2 )

u = x,

du = dx,

d (x2 + a2 )

1 (x2 + a2 )−n+1

xdx

, v =

∫

(x2 + a2 )n

1 - n

Jn−1 -

∫

n−1

2(1 - n)

(x2 + a2 )

n−1

2 (1 - n)(x2 + a2 )

Jn−1

n−1

2(n -1) 2(n -1)(x2 + a2 )

Окончательно будем иметь

- 3

= ∫

Jn−1 +

(x2

+ a2 )

2(n

-1)

2(n -1)(x2 + a2 )

n−1

Например, применим полученную рекуррентную формулу для вы-

числения

∫

(x2

(x2 +

4(x2 + 7)

+ 7)

1 3

∫

+ 7

2(x +

4(x

+ 7)

	1	3		1		x		3x
=	1	3	×	1	arctg	x	+	3x	+

	7							56(x2 + 7)
						7
		56 7				7

Примеры для систематизации,

Пример 1.

x
x
		.
4(x2 + 7)	2	.
4(x2 + 7)

повторения:

∫sin (3

- 5x)dx =

cos(3 - 5x) + C.

Пример 2.

∫ x × e

−2 x

u = x; du = dx; dv = e

−2 x

dx; v = -

−2 x

= -

x × e

−2 x

∫e

−2 x

dx = -

× e

−2 x

+ C.

Пример 3.

sin (4 +14x)

+ 7x)dx =

+ cos(4 +14x))dx =

∫cos

∫

x +

+ C .

Пример 4.

																										y - 7						1
			∫t (3t + 7)2007 dt =													3t + 7 = y, t =										y - 7		, dt =				1	dy	=
			∫t (3t + 7)2007 dt =													3t + 7 = y, t =												, dt =					dy	=
																							3								3
			=	1	∫	y		-		7	y2007dy =										1		∫ y2008dy - 7∫ y2007dy =
			=		∫	3		-			y2007dy =												∫ y2008dy - 7∫ y2007dy =
			3			3			3												9
	1		y2009			7			y2008								1					(3t + 7)2009					7			(3t + 7)2008
=		×			-			×					+ C =							×			-						×					+ C .
=	9	×	2009		-	9		×	2008				+ C =				9			×			-				9		×					+ C .
	9		2009			9			2008								9						2009				9				2008
Пример 5.
									du						1						(									)
					∫									=											u + 7 + 2u2						+ C .
																		ln					2
																		ln					2
							7 + 2u2						2
Пример 6.
													udu									1
										∫			udu						=			1		7 + 2u2 + C .
																						2
												7 + 2u2
												7 + 2u2

<<< < Предыдущая 1 23 / 173 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб51умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб42умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб41умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб46умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб47умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб53умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf