Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

2.77 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1710 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

в)

∫

x dx

x4 + 3

г)

∫

sin x dx

1 + 2cos x

dx .

а)

∫

1 + ln x

б)

∫

x 3x +

в) ∫sin (

3 - 8x) dx .

г)

∫

(1 - x2 )3

а)

∫

cos

dx .

б)

∫

dx .

4x + 9

в)

∫ecos 2 x × sin 2x dx .

г)

∫

x dx

4 - x2

а)

∫

cos x

dx .

sin

б) ∫ x (2x + 5)10 dx .

в)

∫

ex + 1

г)

∫

x dx

x + 1

Ответ:	1	arctg	x	2	+ C .
Ответ:		arctg			+ C .
2	3	3

Ответ: C - 1 + 2cos x .

Вариант 3

Ответ:

(1 + ln )3

+ C .

-1

+ C .

Ответ:

3x + 1

3x + 1 + 1

Ответ:

cos(3 - 8x) + C .

Ответ:

+ C .

1 - x2

Вариант 4

Ответ:

2sin

+ C .

(

4x + 9)3

+ C .

Ответ:

4x + 9

Ответ:

ecos 2 x + C .

Ответ: -4 - x2 + C .

Вариант 5

Ответ:	-			1			+ C .
Ответ:	-		4sin4 x				+ C .
	1			(2x + 5)12						5(2x + 5)11
Ответ:				-									+ C .
Ответ:	4			-						11			+ C .
	4			12						11


Ответ:		x - ln				ex + 1			+ C .
		2						- 2
					( x + 1)3							+ C .
Ответ:											x + 1
Ответ:	3										x + 1
	3

а) ∫ x (5x2 − 3)7 dx .

б)

∫

cos x dx

1 + sin2 x

в)

∫

1 + x

dx .

1 +

г)

∫

x dx

9 − x2

а)

∫

б) ∫

x (4 − ln2 x)

в)

∫

x dx

1 − x4

г)

∫

1 − sin x

dx .

x + cos x

а)

∫

x ln2 x

∫

x3 − 1

б)

dx .

x4 − 4x + 1

в)

∫ x2ex3 dx .

∫

x3 dx

г)

x8 +

а)

∫

sin x − cos x

dx .

sin x + cos x

Вариант 6

Ответ: 801 (5x2 − 3)8 + C .

Ответ: ln sin x + 1 + sin2 x + C .

−

2 x − 2ln

1 +

+ C .

Ответ: 2

Ответ:

−

9 − x2

+ C .

Вариант 7

Ответ: − 2 + C .

Ответ: 1 ln 2 + ln x + C . 4 2 − ln x

Ответ: 1 arcsin x2 + C . 2

Ответ: ln x + cos x + C .

Вариант 8

Ответ: − 1 + C . ln x

Ответ: 1 ln x4 − 4x + 1 + C . 4

Ответ: 1 ex3 + C . 3

Ответ:	1		arctg	x	4	+ C .
Ответ:			arctg			+ C .
4	5	5

Вариант 9

Ответ: − ln sin x + cos x + C .

б)

в)

г)

а)

б)

в)

г)

а)

б)

в)

г)

а)

б)

в)

г)

∫x sin (1 - x2 )dx .

x2 dx

∫1 + x6 .

xdx

∫ cos2 x2 .

∫		sin 3x
						dx .

	3 + cos3x
∫		xdx		.
	2		2
	sin x
∫		ex dx
					.

	1 - e2 x

∫5 x dx .


∫			arcsin x		dx .
			1 - x2

∫42 −3x dx .

∫		1 + 3cos2 x × sin 2xdx .
	1 + sin x			dx .

∫ x - cos x

∫ 31 + ln x dx . x

∫esin2 x × sin 2x dx .

x4 dx

∫ x10 + 5 .

∫ x (9 - ln2 x) .

Ответ: 1 cos(1 - x2 ) + C . 2

Ответ: 1 arctg x3 + C . 3

Ответ: 1 tg x2 + C . 2

Вариант 10

Ответ: - 1 ln 3 + cos3x + C . 3

Ответ: - 1 ctg x2 + C . 2

Ответ: arcsin ex + C .

Ответ:

x + C .

ln 5

Вариант 11

+ C .

Ответ:

(arcsin x)3

Ответ:

42 −3x + C .

3ln 4

+ C .

Ответ: -

(1 + 3cos2 x)3

Ответ:

x - cos x

+ C .

Вариант 12

Ответ: 3 3 (1 + ln x)4 + C .

	4
Ответ:	esin2 x					+ C .
Ответ:			1		arctg		x	5		+ C

	5		5			5
		1			3	+ ln x			+ C .
Ответ:			ln
	6					- ln x
				3

а)

б)

в)

г)

а)

б)

в)

г)

а)

б)

в)

г)

∫ x ln3 x .

x4 − 1

∫ x5 − 5x + 3 dx .

∫ arcsin4 x dx .

1 − x2 x2dx

∫ cos2 x3 .

∫42 −5x dx .

2x − 5

∫ x2 − 5x + 6 dx .

∫ x125 − 5x2 dx .

∫ arcsin3 x dx . 1 − x2

∫ cos(ln x) dx . x

∫	3 arctg x	dx .
	1 + x2

∫cos5 x sin x dx .

∫x2 5x3 − 7 dx .

Вариант 13

Ответ:

−

+ C .

2ln2

Ответ:

x5 − 5x + 3

+ C .

Ответ:

arcsin5 x + C .

Ответ:

tg x3 + C .

Вариант 14

Ответ: − 1 42 −5x + C . 5 ln 4

Ответ: ln x2 − 5x + 6 + C .

Ответ: −151 (125 − 5x2 )2 + C .

Ответ: arcsin4 x + C . 4

Вариант 15

Ответ: sin (ln x) + C .

3 ( )4 +

Ответ: arctg x 3 C . 4

− cos6 x +

Ответ: C . 6

Ответ: 452 (5x3 − 7)3 + C .

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе

К ним относятся интегралы вида:

J1 = ∫

J3 = ∫

ax2 + bx + c

ax2

+ bx

+ c

J2 = ∫

Ax + B

dx ,

J4 = ∫

Ax + B

dx .

ax2 + bx + c

ax2

+ bx + c

Для нахождения интегралов вида J1 − J4 :

1)выделяем в знаменателе полный квадрат.

2)основание квадрата обозначаем через новую переменную.

Тогда интегралы J1 и J3 - будут табличными, а интегралы J2 и J4

можно представить в виде суммы двух интегралов, один из которых - таб- личный, а 2-й легко находится методом подведения под знак дифферен- циала (подстановки).

	Обучающий пример 1.																										∫				7 − 8x											dx .
	Обучающий пример 1.																										∫															dx .
																												2x2 - 3x + 1
	Решение. Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат и
введем новую переменную:
																																						3									1
																																						3									1
															2x2 - 3x +												1 = 2					x2			-						x +									=
															2x2 - 3x +												1 = 2					x2			-			2			x +						2			=
																																						2									2
		7 - 8x																			2									3			9							9									1										3		2			1
∫									dx =					= 2 x										- 2x ×								+						-								+					=	2		x		-					-						=
∫		2							dx =					= 2 x										- 2x ×								+						-								+					=	2		x		-					-						=
	2x	2	- 3x + 1																											4 16										16 2																			4					16
	2x		- 3x + 1																											4 16										16 2																			4					16
															x -					3			= t,							x = t +						3			,						dx = dt.
															x -								= t,							x = t +									,						dx = dt.
																		4																	4
				7 - 8 t +								3
		1		7 - 8 t +															1							1 - 8t												1									dt								1						8t
	=	1	∫										4		dt =				1			∫				1 - 8t						dt =						1		∫							dt						-		1	∫					8t				dt =
	=		∫												dt =							∫										dt =								∫													-			∫									dt =
		2				t2 -				1								2							t 2 -				1									2				t 2					-			1				2				t2			-	1
						t2 -																			t 2 -																	t 2					-											t2			-
									16																			16																					16												16
					1				dt														2t												1					1											t -	1											1
																																																				1

			=			∫								- 2∫																dt		=					×											ln				4		- 2ln						t 2 -						+ C .
			=			∫					1			- 2∫													2			dt		=					×						1					ln				1		- 2ln						t 2 -						+ C .
			2					t 2	-		1						t	2			-			1											2 2 ×								1								t +	1									16
								t 2	-									2						1											2 2 ×																t +
									16																															4												4
									16																															4												4
																								4
	Возвращаясь к переменной х, окончательно получим:
						∫			7 - 8x												= ln							x -1						- 2ln										2				-1,5x				+ 0,5					+ C .


																dx																										x
							2x2 - 3x + 1									dx											x - 0,5															x
							2x2 - 3x + 1																				x - 0,5
	Обучающий пример 2.																									∫				3x − 5												dx .



																												9 + 6x - 3x2

Решение. Выделяем полный квадрат:

9+ 6x - 3x2 = -3(x2 - 2x - 3) = -3((x2 - 2x +1) -1 - 3) =

=-3(( x -1)2 - 4) = 3(4 - ( x -1)2 ).

J = ∫

3x − 5

dx = ∫

3x − 5

dx =

x − 1 = t, x = t + 1

9 +

6x − 3x

3(4 − ( x − 1)

)

dx = dt

= ∫

3(t + 1) − 5

∫

3t − 2

dt =

∫

3tdt

−

∫

3(4 − t2 )

4 − t 2

d (4 − t 2 )

∫

tdt

−

∫

= −

∫

−

arcsin

4 − t 2

− t 2 )2

= −

∫(4 − t 2 )−

d (4 − t2 ) −

= −

4 − t 2

−

arcsin

+ C =

arcsin

x − 1

−

arcsin

+ C .

= −

9 + 6x − 3x2

6. Найти интегралы самостоятельно, каждому студенту свой вариант (два студента у доски выполняют свои задания).

Вариант 1

а) ∫ x2 − 5x + 6 .

б) ∫

4x2 − 8x + 3

в) ∫

x + 1

dx .

2 + x +

г) ∫

2x − 1

dx .

2 − 3x

+ 4

x − 3

+ C .

Ответ:

x − 2

Ответ:

x − 1 +

x2 − 2x +

+ C .

Ответ:

2x2 + x + 1

arctg

+ C .

Ответ: 2

+ 2ln

x −

x2 − 3x + 4

+ x2 − 3x + 4

+ C .

а) ∫			dx	.
а) ∫	2x		2 + 3x + 6	.
	2x		2 + 3x + 6
б) ∫			dx			.


		4 + 8x − x2
		4 + 8x − x2
в) ∫			2x − 1		dx .
в) ∫	3x		2 − 6x − 9		dx .
	3x		2 − 6x − 9

Вариант 2

Ответ:

arctg

+ C .

Ответ:

arcsin

− 4

+ C .

3x2 − 6x + 9

x − 3

+ C .

Ответ:

x + 1

x − 3

x2 − 2x −

г) ∫

2x2 − 4x − 1 −

x − 1 +

+ C .

dx . Ответ:

2x2 − 4x − 1

Вариант 3

x − 2 −

а) ∫

Ответ:

+ C .

3x2 − 12x +

6 3

x − 2 + 3

б) ∫

Ответ:

arcsin

4x + 3

+ C .

2 − 3x − 2x2

2x − 1

x + 2 −

+ C .

в) ∫

dx .

Ответ:

2x2 + 8x − 6

−

2 + 8x − 6

4 7

x + 2 + 7

3x − 7

x −

г) ∫

dx .

Ответ:

x2 − 5x + 1

+ C .

x2 − 5x + 1

Вариант 4

а) ∫

−

3x − 1

+ C .

Ответ:

− 2x − 3x2

3x + 3

б) ∫

Ответ:

x + 2 +

x2 + 4x + 1

+ C .

x2 + 4x + 1

x −

в) ∫

x − 4

dx .

Ответ:

5x2 − x + 7

−

arctg

+ C .

2 − x +

139

7x − 1

−

arcsin

+ C .

г) ∫

dx .

Ответ:

−7 2 − 3x − x2

2 − 3x − x2

Вариант 5

а) ∫

x − 4

+ C .

Ответ:

− 6x +

x − 2

б) ∫

Ответ:

arcsin

+ C .

3 − x − x2

в) ∫

x − 7

4x2 + 3x − 1

−

8x − 2

+ C .

dx .

Ответ:

8x + 8

2 + 3x − 1

2x + 4

x +

x2 +

−

г) ∫

dx . Ответ:

3x2 + x − 5

+ C .

3x2 + x − 5

3 3

а)

б)

в)

г)

а)

б)

в)

г)

а)

б)

в)

г)

∫			dx				.
	5x2 − 10x +			25			.
	5x2 − 10x +			25
∫			dx			.



			2 − 3x − 2x2
∫			2x − 1		dx .


	3x2 − 6x − 9
∫			2x + 5				dx .



		3x2 + 9x − 4

Ответ:

∫			dx		.
	2x2 − 3x + 2				.
	2x2 − 3x + 2
∫			dx				.



			2 + 8x − 2x2
			x + 5
				dx .
				dx .
∫ x2 + x − 2
∫			2x + 4			dx .

		3x2 + x − 5
		3x2 + x − 5

Ответ:

∫			dx
					.
	2x2 − 3x + 1				.
∫			dx
							.
							.
			3 + 2x − 2x2
			x − 3
				dx .
				dx .
∫ x2 − 5x + 4
			x + 5
						dx .
∫						dx .
∫		3 − 6x − x2

Вариант 6

Ответ:

arctg

x − 1

+ C .

Ответ:

arcsin

4x + 3

+ C .

3x2 − 6x + 9

x − 3

+ C .

Ответ:

x + 1


2		+		2					ln	x +			3	+ x2 + 3x −							4
2	3x2 + 9x − 4			2									3								4		+ C .
3	3x2 + 9x − 4																						+ C .
3					3						2										3
	Вариант 7
					2x − 2							+ C .
	Ответ:		ln		2x − 2
	Ответ:		ln			2x − 1
						2x − 1
	Ответ:		1				arcsin					x −			2		+ C .
	Ответ:						arcsin										+ C .
			2								5
			1					x2 + x − 2								+		3		x − 1		+ C .
	Ответ:			ln															ln

																				x + 2
			2													2
			2													2

x +

+ x2 +

−

+ C .

3x2 + x − 5

Вариант 8

Ответ:

2x − 2

+ C .

2x − 1

Ответ:

arcsin

−

+ C .

x2 − 5x + 4

−

x − 4

+ C .

Ответ:

x − 1

+ 2arcsin

+ 3

+ C .

Ответ:

−

3 − 6x − x2

а)

∫

2x2 − 3x − 2

б)

∫

3x2 − 4x + 1

в) ∫

x + 1

dx .

2x2 + x +

г) ∫

4x + 1

dx .

+ x − x2

Вариант 9

2x − 4

+ C .

Ответ:

2x + 1

Ответ:

x −

x2 −

x +

+ C .

Ответ:

2x2 + x + 1

arctg

+ C .

−4

+ 3arcsin

2x − 1

+ C .

Ответ:

2 + x − x2

Вариант 10

а) ∫

Ответ:

arctg

2x − 1

+ C .

− 2x + 5

б) ∫

Ответ:

arcsin

+ C .

3 − x − x2

x + 1

3x − 1 −

в) ∫

dx . Ответ:

3x2 − 2x − 3

+ C .

− 2x − 3

3 10

3x − 1 + 10

г) ∫

x − 4

dx .

2x2 − x + 7

−

x −

+ x2 −

−

Ответ:

2x2 − x + 7

+ C .

а) ∫

3x2 − 9x + 6

б) ∫

+ 2x − 2x2

в) ∫

5x − 2

dx .

2x2 − 5x +

г) ∫

2x − 13

dx .

3x2 − 3x − 16

Ответ:

Вариант 11

Ответ:	1	ln		x − 2		+ C .
	1			x − 2
				x − 1
	3			x − 1
Ответ:	1		arcsin			2x	−	1	+ C .

	2				7
	2				7

2x2 − 5x + 2

2x − 4

+ C .

Ответ:

2x − 1


2		− 4		ln	x −	1	+ x2 − x −	16	+ C .
	3x2 − 3x − 16
			3
3			3
3					2		3

Вариант 12

а) ∫

Ответ:

arctg

+ 2

+ C .

+ 4x + 25

б) ∫

Ответ:

arcsin

+ C .

2 − 2x − 3x2

2x + 1

в) ∫

x dx

Ответ:

2x2 + 2x + 5

−

arctg

+ C .

2 + 2x +

г) ∫

x − 1

dx .

3x2 − x + 5

x −

x2 −

+ C .

Ответ:

3x2 − x + 5 −

Вариант 13

а) ∫

Ответ:

ar ctg (2x − 1) + C .

2 − 2x + 1

−

б) ∫

Ответ:

arcsin

+ C .

1 + x − x2

10x −

в) ∫

3x − 2

dx .

Ответ:

5x2 − 3x + 2

−

arctg

+ C .

2 − 3x +

5 31

г) ∫

2x + 5

dx .

4x2 + 8x + 9

а) ∫					dx		.
а) ∫	8		− 2x − x			2	.
	8		− 2x − x			2
б) ∫					dx				.



				4x2 − 8x + 3
в) ∫					x dx		.

	2x				2 + x +	5
	2x				2 + x +	5
г) ∫					2x − 8			dx .

		1			− x + x2
		1			− x + x2

x + 1 +

x2 + 2x +

+ C .

Ответ:

4x2 + 8x + 9

Вариант 14

x − 2

−

+ C .

Ответ:

x + 4

Ответ:

x − 1 +

x2 − 2x +

+ C .

Ответ:

2x2 + x + 5

−

arctg

+ C .

− 7ln

x −

Ответ:

1 − x + x2

x2 − x + 1

+ C .

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1710 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб51умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб42умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб41умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб46умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб47умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб53умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf