14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл

3. Выполнить самостоятельно; каждый студент решает свой вариант (два студента у доски выполняют свои задания).

81

82

83

84

85

Домашнее задание

1.Изучить по теоретической части модуля материал к следующему практическому занятию по теме «Замена переменной. Интегрирование вы- ражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе».

2.Выучить таблицу интегралов и основные свойства интегрирования.

3.Найти интегралы:

4. Выполнить свой вариант из индивидуального домашнего задания.

III. Замена переменной. Интегрирование выражений, со- держащих квадратный трехчлен в знаменателе

1.Опрос таблицы интегралов устно.

2.Устно найти:

86

Указание. Заменим в числителе 1 = sin2 x + cos2 x и разобьем ин-

d 2x

2∫ sin2 2x . Ответ: tg x − ctg x + C или −2ctg 2x + C .

Указание. Прибавляя в числителе 1 и вычитая ее, получим после де- ления два табличных интеграла.

Ответ: x − arctg x + C .

в) ∫ x4 dx+ x2 .

Указание. Прибавьте и вычтите в числителе подынтегральной функ- ции x2 .

Ответ: − 1 − arctg x + C . x

Примечание. Примененный прием добавления в числителе подынте- гральной функции взаимно уничтожающихся слагаемых иногда бывает полезен

идолжен быть усвоен.

4.Краткий теоретический обзор с использованием лекционного ма-

териала.

Обращаем внимание, что метод замены переменной (подстановки) является эффективным методом интегрирования, в результате чего задан- ный интеграл заменяется другим интегралом, табличным или интегралом, сводимым к табличному.

можно упростить с помощью подстановки t = ϕ( x) , используя равенство

∫ f (ϕ( x))ϕ′( x)dx = ∫ f (t )dt .

Эта формула называется формулой замены переменной (подстанов- ки) в неопределенном интеграле.

Иногда удобнее делать подстановку не t = ϕ( x) , а x = Ψ (t ) , где Ψ (t ) −

функция, имеющая непрерывную производную (т. е. непрерывно диффе- ренцируема). Применяя такую подстановку к интегралу ∫ f ( x)dx , получим еще одну формулу замены переменной:

∫ f ( x)dx = ∫ f (ψ (t ))ψ′(t )dt .

87

Получающиеся после применения той или иной подстановки инте- гралы должны быть более просты для интегрирования, чем исходные.

Не существует общего «рецепта», следуя которому можно всегда по- нять, какую подстановку надо применить к данному интегралу. Однако следует иметь в виду следующие полезные подстановки:

1) Если под знаком интеграла стоит сложная функция f (ϕ( x)) , то,

как правило, используется подстановка t = ϕ( x) (к примеру, если в подын-

2) Если в подынтегральном выражении есть готовый дифференциал функции ϕ( x) , т.е. выражение ϕ′( x)dx , то имеет смысл попробовать под-

становку t = ϕ( x) . Поэтому целесообразно вспомнить формулы для наибо-

лее часто встречающихся дифференциалов:

1.cos(x)dx = d(sinx + b);

2.dx = d(lnx + b);

x

3.dx = d(x + b);

4.dx = 1 d(kx + b); k

5.xdx = 1 d(x2 + b); 2

88

В простых случаях введение новой переменной можно (после приоб- ретения определенного навыка) проводить в уме, мысленно обозначив со- ответствующую функцию через t или какую-либо иную букву: u, z, y, …

Обучающий пример 1. ∫ x x − 5 dx .

Решение. Чтобы избавиться от корня, положим x − 5 = t 2 , т. е. при-

меним подстановку x = t 2 + 5 . Приведем примерную схему выкладок при подстановке:

Отметим, что окончательный результат всегда следует выразить че-

рез первоначальную переменную. Для этого в равенстве x - 5 = t 2 выража-

1

ем t через х, т. е. t = x - 5 = ( x - 5)2 .