Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

2.77 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1715 16 17 > Следующая >>>

д) ∫

Ответ:

2 tg x

+ C .

3cos2 x − 2

−

2 tg x

Вариант 9

а)

б)

в)

г)

д)

∫

sin3 x

cos

2 x −1

+ C .

dx .

Ответ:

cos x

cos

∫cos4 x dx .

Ответ:

x −

sin 2x

sin 4x

+ C .

− 2

∫

Ответ: −

+ C .

4cos x + 3sin x

−

∫tg5 x dx .

Ответ:

tg4 x

−

tg2 x

+ ln

cos x

+ C .

arctg (tg x − 2) + C .

Ответ:

∫ sin 2 x −

4sin x cos x + 5cos2 x

а)

б)

в)

г)

д)

а)

б)

∫ cos3 x dx . sin6 x

∫sin 2 5x dx .

∫ 2 + 4sin x + 3cos x .

∫tg4 x dx . 2

∫ 4sin 2 x + 4sin 2x .

∫ cos3 x dx . sin4 x

∫cos4 x dx . 2

Вариант 10

Ответ:

−

+ C .

3sin

3 x

5sin5 x

Ответ:

x −

sin10x + C .

− 4 −

Ответ: −

+ C .

− 4 +

Ответ:

tg3

− 2 tg

+ x + C .

tg x

+ C .

Ответ:

tg x +

Вариант 11

Ответ: −

+ C .

3sin3 x

sin x

Ответ:

−

sin x

sin 2x

+ C .

141

в)

г)

д)

а)

б)

в)

г)

д)

а)

б)

в)

г)

д)

∫8 − 4sin x + 7 cos x .

∫sin 3x cos5x dx .

∫ 4sin 2 x − 5cos2 x .

∫cos5 x sin 2 x dx .

∫sin	2	x		2	x
			cos			dx .
		4			4

∫ 4 − 4sin x + 3cos x .

∫sin10x sin15x dx .

∫ 3cos2 x + 4sin2 x .

∫ 3sin2 x cos3 x dx .

∫sin 2 2x dx .

∫ 3cos x − 4sin x .

∫cos x cos2 3x dx .

∫1 + 3cos2 x .

	tg		x	− 5
Ответ: ln		2			+ C .

				− 3
	tg		x

		2

Ответ: − 1 cos8x + 1 cos 2x + C .

	16	4
				2 tg x −
Ответ:	1		ln	2 tg x −	5	+ C .
Ответ:			ln	2 tg x +		+ C .
4	5			2 tg x +	5

Вариант 12

Ответ: 1 sin3 x − 2 sin5 x + 1 sin 7x + C . 3 5 7

Ответ: x − 1 sin x + C . 8 8

− 7

Ответ:

+ C .

−1

Ответ: −

sin 25x +

sin 5x + C .

Ответ:

arctg

2 tg

+ C .

Вариант 13

−

+ C .

Ответ:

sin5 x

sin11 x

Ответ:

x −

sin 4x

+ C .

−

Ответ: −

+ C .

+ 3

Ответ:

sin

sin 5x +

sin 7x + C .

Ответ:

arctg

tg x

+ C .

142

а) ∫sin5 x cos4 x dx .

б) ∫cos2 2x dx .

в)

∫

+ 3cos x

г) ∫cos

cos

dx .

д)

∫

16sin

2 x −

4sin 2x

Вариант 14

Ответ: − 1 cos5 x + 2 cos7 x − cos9 x + C .

				5		7								9
Ответ:	1			x +				1		sin 4x + C .

	2					4
	1								tg			x

Ответ:				arctg					2				+ C .
	2
						2
Ответ:		3			sin		5x				+ 3sin					x	+ C .

	5					6								6
	1					2 tg x −1									+ C .
Ответ:			ln
	8						2 tg x

Вариант 15

а) ∫sin 5 x cos5 x dx .

−

+ C .

Ответ:

sin8 x

sin18 x

sin 28 x

б) ∫sin 2 2x cos2 2x dx .

Ответ:

x −

sin 8x + C .

в) ∫

+ 3

+ C .

Ответ:

5 tg

+ 5sin x +

3cos x

г) ∫cos9x cos5x dx .

Ответ:

sin 4x +

sin14x + C .

д) ∫

Ответ:

tg x − 2

+ C .

8sin2 x − 8sin 2x

tg x

Домашнее задание

1.Повторить все методы интегрирования.

2.Изучить интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок.

3.Найти интегралы:

sin3 x

а) ∫

dx .

Ответ:

3 cos5 x + C .

3 cos4 x

3 cos x

б) ∫sin 2 4x cos2 4x dx .

Ответ:

x −

sin16x

+ C .

143

в) ∫ 4sin x − 3cos x − 5 .

г) ∫ 3sin2 x + 5cos2 x .

д) ∫cos 2x sin 4x dx .

1				+ C .
Ответ:

	tg	x	− 2

2

1					3		+ C .
Ответ:			arctg			tg x
					5

15

Ответ: − 1 cos 6x − 1 cos 2x + C . 12 4

VIII. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок. Итоговое повторе- ние, вычисление интегралов от различных классов функций

1. Устно указать метод для нахождения интегралов:

а)

б)

в)

∫sin30 x cos3 x dx .

∫sin 2 3x dx .

∫ 2sin x − 3cos x + 5 .

г) ∫ sin 2 x + 3cos2 x .

д) ∫sin 5x cos3x dx . е) ∫tg3 2x dx .

2.Просмотр выполнения домашнего задания.

3.Краткий теоретический обзор с использованием лекционного ма- териала, информационной таблицы.

Обращаем внимание, что некоторые частные случаи нахождения ин-

тегралов вида ∫R (x, ax2 + bx + c ) dx уже были рассмотрены нами ранее.

Существуют различные методы их нахождения. Рассмотрим еще один из та- ких методов, основанный на применении тригонометрических подстановок.

В квадратном трехчлене выделяют полный квадрат:

			b	2
			b
ax	2 + bx + c = a	x +
ax	2 + bx + c = a	x +
			2a

−	b2	− 4ac
				,
			2	,
		4a	2
		4a

затем с помощью подстановки						z = x +	b	приводят к интегралам одного
затем с помощью подстановки						z = x +		приводят к интегралам одного
							2a
из следующих трех типов:
	∫R (z,			) dz .			III. ∫R (z,			) dz .
I.	∫R (z,	k 2 − z 2		) dz .			III. ∫R (z,		z 2 − k 2	) dz .
	∫R (z,				) dz .
II.	∫R (z,		k 2 + z2		) dz .

144

Эти интегралы с помощью следующих подстановок:

-	для I-го интеграла z = k sin t					(или z = k cost );
-	для	II-го –	z = k tg t ;
-	для	III-го –	z =	k	(или z =		k	),
				sin t			cost

приводятся к интегралам от рациональной функции относительно sin t и

cost , т. е. к интегралам вида

∫R (sin t,cos t )dt .

Обучающий пример 1.

Найти ∫

4x - x2 dx .

Решение. Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене:

dx =

x - 2 = z

∫

dz =

z = 2sin t

4 - ( x - 2)2

∫

4x - x2 dx = ∫

4 - z 2

dx = dz

dz = 2cos tdt

= ∫ 4 - 4sin 2 t × 2cos t dt = 4∫

1 - sin 2 t cost dt = 4∫cos2 t dt =

= 2∫(1 + cos 2t )dt = 2 t +

sin 2t

+ C ,

где t = arcsin

x − 2

( x - 2)2

4x - x2

Так как

sin t =

cos t = 1 -

x − 2

sin 2t = sin t cos t =

4x - x2 ,

∫

dx = 2arcsin

x − 2

то

4x - x2

4x - x2 + C .

Обучающий пример 2.

Найти ∫

(5 + 2x + x2 )3

Решение.

Выделим в квадратном трехчлене полный квадрат:

∫

x +1 = z

= ∫

z = 2 tg t

2dt

(5 + 2x + x2 )

+ ( x +1)2 )

(

4 + z 2 )

dx = dz

cos

2 t

2dt

= ∫

= 2∫

∫costdt =

sin t + C =

cos2 t (4 + 4 tg2 t )3

cos2 t

×8 ×

cos

tg t

x +1

+ C =

+ C .

1 + tg

4 5 +

2x + x

145

Обучающий пример 3.

Найти ∫

(x2 - a2 )3

x =

a sin t dt

Решение.

∫

cos t

∫

(x2 - a2 )3

dx =

a sin t

- a

cos2 t

cos

a sin t dt

sin t dt

cos2 t

= ∫

∫

sin

t ×

1 - cos2 t

cos2 t ×

cos

cos2 t

∫

cos t dt

∫sin−2 t d (sin t ) ,

где

t = arccos

sin2 t

1 -

x2 - a2

Так как sin t =

1 - cos2 t =

, то окончательно имеем:

∫

= -

+ C .

(x2 - a2 )3

x2 - a2

3. Два студента у доски выполняют свое задание. Найти:

Ответ:

x − 2

+ 8arcsin

x − 2

+ C .

1. ∫ 12 + 4x - x2 dx .

12 + 4x - x2

2. ∫

Ответ: -

+ 2x + 2

+ C .

( x +1)2

x +1

x2 + 2x + 2

Подчеркиваем, что для овладения важнейшими элементами техники интегрирования нужно:

-знать таблицу основных интегралов;

-знать основные правила и основные методы интегрирования (они приведены в информационной таблице);

-уметь определять класс подынтегральной функции и выбирать для ее интегрирования необходимый метод;

-уметь, пользуясь информационными таблицами, правильно дово- дить вычисления до нахождения неопределенного интеграла.

146

4. Два студента у доски выполняют по три задания:

x + 4

arcsin x

−

+ C .

∫

dx .

Ответ:

arcsin3 x

1 − x2

∫

etg x

− 7sin x + 5sin 2x

dx . Ответ: etg x −

−10ln

cos x

+ C .

cos2 x

cos x

∫

x cos x dx

Ответ: C −

−

ctg x .

2sin2 x

sin3 x

4. ∫

−1

−

+ ln

+ x + 1

+ C .

dx .

Ответ:

+ x2 + x

x +

1 + x

∫

dx .

Ответ: 63 (1 + x)

−

+ C .

3 1

+ x

3tg

+ 1

∫

+ C .

Ответ:

arctg

2sin x − cos x + 5

Домашнее задание

1.Повторить все методы интегрирования.

2.Найти:

7x + 2

x +

+ C .

∫

dx .

Ответ: 7

x2 + 10

+ 2ln

x2 + 10

tg x

∫

dx .

Ответ:

tg3 x

+ C .

cos2 x

∫ x2 ln x dx .

Ответ:

(3ln x −1) + C .

arcsin

Ответ: 2(

−

arcsin

) + C .

∫

dx .

1 − x

x2 + 5x − 2

∫

(x2 −1)

( x + 1)

dx .

Ответ: ln

x −1

−

+ C .

x + 1

∫

3 (2x + 1)2 −

2x + 1

+ 36

+ 3ln

−1

+ C .

Ответ:

2x + 1

147

7) ∫ 5cos x + 3 .

8) ∫1 + sin 2 x .

9) ∫sin3 x × cos x dx .

10) ∫ 1 -x x2 dx .

	1			tg	x	+ 2
Ответ:		ln		tg	2	+ 2				+ C .
					2
	4			tg	x	- 2
	4				x
					2
					2
	1		arctg (							tg x) + C .
Ответ:	1							2

	2
	2
	2						-		2
Ответ:	2		cos7 x						2		cos3 x + C .
Ответ:	7		cos7 x								cos3 x + C .
	7							3

Ответ: ln 1 - 1 - x2 + 1 - x2 + C . x

IX. Контрольная работа по теме «Неопределенный интеграл»

					7
					7
Пример 1. Найти	2x3	- 3 x5	+					dx .
Пример 1. Найти	2x3	- 3 x5	+	7				dx .
	∫			7		x	6
						x

Решение. Интеграл суммы (разности) можно представить как сумму (разность) интегралов:

∫

∫ 7 6

2x3

- 3 x5

dx =

2x3dx -

3 x5 dx +

dx =

представим степени переменных в виде дробей и вынесем постоянные за знак интеграла:

= 2∫x3dx - 3∫x52dx + 7∫x−67dx = (используя таблицу интегралов, вычислим)

= 2	x3+1	- 3	x5 2 +1			+ 7				x−6 7 +1							+ C = 2			x4		- 3	x7 2		+ 7	x1 7		+ C =
= 2		- 3				+ 7											+ C = 2					- 3			+ 7			+ C =
3 + 1				5	+ 1						-	6		+ 1			4							7			1
				2	+ 1						-	7		+ 1								2			7
				2								7										2			7
								x4					6
											-				x7 + 497						+ C .
																			x
						2													x
						2						7
Пример 2. Найти ∫											dx							.

							sin		2		x × ctg					5
							sin				x × ctg						x

Решение. Данный интеграл решим методом замены переменной:

				dx
	dx		t = ctg x; dt = t 'dx = ( ctgx) 'dx = -
∫	dx	=	t = ctg x; dt = t 'dx = ( ctgx) 'dx = -	sin	2		=
						x
	sin2 x × ctg5 x					x
			dx = -sin2 xdt

148

= ∫

(-sin2 x)dt = (сокращаем sin2 x , степень переменной перепи-

sin

x ×t

t−5+1

t −4

шем в виде дроби) = -∫t −5dt = -

+ C = -

+ C =

+ C = (вернёмся

-5 +1

-4

к старой переменной) =

+ C .

4ctg4 x

2x2 - 7x +10

Пример 3. Найти ∫ x3 - x2 + 4x - 4dx .

Решение. Представим подынтегральную функцию в виде суммы дробей. Для этого разложим знаменатель дроби на линейные и квадратич- ные множители:

x3 - x2 + 4x - 4 = (x3 - x2 ) + (4x - 4) = x2 ( x -1) + 4( x -1) = ( x -1)(x2 + 4).

2x2 - 7x +10

Bx + C

( x -1)(x2 + 4)

x3 - x2 + 4x - 4

x -1

x2 + 4

Приведём дроби к общему знаменателю:

A(x2 + 4) + ( Bx + C )( x -1)

+ 4 A

+ Bx

+ Cx - Bx - C =

( x -1)(x2 + 4)

(сгруппируем по степеням) =

( A + B) x2

+ (C - B) x + (

4 A - C )

( x -1)(x2 + 4)

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях, т. к. числите- ли первоначальной дроби и полученной тождественно равны.

( A + B) x2

+ (C - B) x + (4 A - C )

= 2x2 - 7x +10

A =1

A + B = 2

C - B = -7

4 A - C =10

C = -6

x − 6

x -

x2 + 4

+ 4

x -1

x2 + 4 x

149

Полученную сумму дробей подставим в интеграл:

xdx

dx =

dx = (во втором ин-

∫

+ 4

∫ x -

∫ x2 + 4

∫ x

+ 4

x -1

теграле воспользуемся методом подведения под знак дифференциала)

= ∫

∫

2xdx

- 6∫

dx =∫

d ( x -1)

∫

d (x2 + 4)

- 6∫

x -

+ 4

x -1

+ 4

1 2

+ C = ln

( x -1)

- 3arctg

+ C .

= ln

x -1

x2 + 4

- 6 ×

arctg

x2 + 4

Пример 4. Найти ∫

x +1

dx .

x + 2

Решение.

∫

x +1

dx =

(прибавим и вычтем 1 в числителе)

x + 2

= ∫

x +

1 + 1 − 1

dx = ∫

x + 2 −1

dx = (представим подынтегральную функцию в ви-

x + 2

∫

x + 2

де разности двух дробей) =

dx =

dx -

dx =

x + 2

∫ x + 2

∫

x + 2

	(							)2
			x + 2													1										1
= ∫			x + 2							dx - ∫								dx = ∫ x + 2dx - ∫																dx =


					x + 2									x + 2															x + 2
					x + 2									x + 2															x + 2
		1										1											1	+1						−	1		+1
																								+1						−			+1
																			( x + 2)2						− ( x + 2) 2
= ∫( x +		2)				dx - ∫( x + 2)−									2		dx = =																	+ C =
= ∫( x +		2)			2	dx - ∫( x + 2)−									2		dx = =																	+ C =
																					1	+ 1			−			1		+ 1
																			2			+ 1			−					+ 1
																			2							2
		3										1
= ( x + 2)										( x + 2)									2						− 2							+ C .
							2						2
									−								+ C =			( x + 2)3
																											x + 2
											1								3								x + 2
				3							1								3
		2								2

Пример 5. Найти ∫7 +dx5x .

Решение. Воспользуемся методом подведения под знак дифферен- циала:

∫

5dx

∫

d (5x + 7)

5x + 7

+ C .

+ 5x 5

7 + 5x 5

7 + 5x

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1715 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб51умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб42умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб41умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб46умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб47умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб53умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf