Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

2.77 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 178 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Свойства неопределённого интеграла

1.d (∫ f (x)dx) = f (x)dx;

2.(∫ f (x)dx)/ = f (x);

3.∫dF (x) = F (x) + C;

4.∫[ f1 (x) ± f2 (x)]dx = ∫ f1 (x)dx ± ∫ f2 (x)dx.

5.Если F / (x) = f (x) , то ∫ f (u)du = F (u) + C; где u = j( x) - произ-

вольная функция, имеющая непрерывную производную.

Вывод. Формула для неопределенного интеграла остается справед- ливой независимо от того, является ли переменная интегрирования незави- симой переменной или непрерывно-дифференцируемой функцией от нее.

Например, по определению неопределенного интеграла имеем

∫ dxx = ln x + C .

Тогда, используя свойство 5, можно найти множество первообразных и для некоторых других интегралов:

а)

б)

∫

d cos x = +

ln cos x C ;

cos x

d arccos x = +

ln arccos x C и т. д.

arccos x

Таблица неопределенных интегралов

Таблицу интегралов запоминать целесообразно в соответствии с классом функции. Интегрирование, как и всякая обратная операция, вы- полняется сложнее дифференцирования. Здесь нет простых и универсаль- ных путей. Отметим, что из алгебраических свойств используются только свойства линейности. Для интегрирования произведений и частных при- дется проявлять изобретательность, творчество, специальные методы для того, чтобы свести искомый интеграл к табличным. Результативность этих действий напрямую зависит от степени свободного владения таблицей ин- тегралов основных функций. Степень этой свободы будет достаточно вы- сокой, если не просто узнавать табличные интегралы, а писать их по па-

мяти, в соответствии с определенным классом.

1. ∫0 × dx = C ;

∫u p du =

u p +1

+ C, где p ¹ -1;

p + 1

∫udu =

+ C ;

Степенные

∫

= −

+ C ;

5.∫ duu = 2u + C ;

6.∫ duu = ln u + C ;

∫sin udu = − cosu + C ;

11.

∫

= − ctg u + C ;

sin

∫cosudu = sin u + C ;

Тригоно-

= tg u + C ;

= ln

+ C ;

12.

∫

метриче-

∫

cos2 u

ские

sin u

13.

∫tg udu = − ln

cosu

+ C ;

∫

= ln

tg( π

+ C ;

10.

)

14.

∫ctg udu = ln

sin u

+ C ;

cosu

15.

∫au du =

+ C ;

ln a

Показательные

16.

∫eu du = eu + C ;

17.

∫

= arcsin

+ C ;

a2 − u2

18.

∫

= ln

+ u2 ± a2

+ C ;

u2 ± a2

19.

∫

arctg

+ C ;

2 + a2

∫

u − a

+ C ;

20.

2 − a2

u + a

du =

arcsin

+ C ;

21.

∫

a2 − u2

du =

u +

+ C ;

22.

∫

u2 ± a2

Содержащие u2 , a 2

23.	∫sh udu = ch u + C ;
24.	∫ch udu = sh u + C ;				Гиперболические
		du
25.	∫			= -cth u + C ;
		2
		sh u
26.	∫	du		= th u + C .
		2
			u
		ch

Для нахождения интеграла надо, пользуясь тем или иным методом или приемом, свести его к одному или нескольким табличным интегралам и, таким образом, найти искомый результат.

Различают 3 метода интегрирования:

1)непосредственное интегрирование;

2)интегрирование по частям;

3)метод подстановки.

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование базируется на применении свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов.

В простейшем случае, когда заданный интеграл представляет одну из табличных формул интегрирования, задача интегрирования сводится к простому применению этой формулы.

Преподаватель у доски решает со всей студенческой аудиторией:

Обучающий пример 1.

Найти

∫

u p +1

Решение.

Пользуясь формулой

∫u p du =

+ C, где p ¹ -1,

p + 1

−

∫

= ∫

= ∫ x−

dx =

x 2

+ C =

x 2

+ C = -

+ C .

+ 1

x 2

Обучающий пример 2.

Найти

∫3x × 5x dx .

Решение.

Пользуясь формулой ∫au du =

+ C , получим

ln a

∫3x × 5x dx = ∫(3 × 5)x dx = ∫15x dx =

15x

+ C .

ln15

		Обучающий пример 3.																															Найти ∫																	dx								.

																																																	5 - x2
																																																	5 - x2
		Решение.													Подставляя																a =										5					в табличный интеграл
																										du							= arcsin														u	+ C , получим
																			∫														= arcsin															+ C , получим
																			∫					a2 - u2																							a
															∫					dx								= ∫												dx										= arcsin												x			+ C .
																																																																	+ C .
																	5 - x2														(										)2 - x2																					5
																	5 - x2														(							5			)2 - x2																					5
		Обучающий пример 4.																															Найти														∫					dx									.


																																																		5 - 4x2
																																																		5 - 4x2

																																																		4				5			- x2					= 2							5	- x2 , то
		Решение.													Поскольку																		5 - 4x2 =																					5															5
		Решение.													Поскольку																		5 - 4x2 =
																																																				4																4
∫		dx					= ∫								dx								=			1		∫							dx													=			1		arcsin									x				+ C =						1	arcsin			2	x		+ C .


5		- 4x2												5		- x					2					2													2												2												5					2								5
5		- 4x2									2			5							2					2								5					2			- x2									2												5					2								5
											2		4																					5																												4
													4																					4																												4
																																		4
		Обучающий пример 5.																															Используя																			таблицу и															основные								свойства
неопределенного интеграла, найти ∫																																											x2 - 3x + 5															dx .

																																																		x
																																																		x
		Решение. Почленно поделим числитель дроби на знаменатель:
			x	2	- 3x						+		5			3											1							− 1
			x		- 3x						+		5		= x			2			- 3x						2		+ 5x							2				. Отсюда

								x
								x
		x2 - 3x + 5																					3							1											−	1														3											1							−	1
		x2 - 3x + 5																																							−																																	−
	∫												dx = ∫										2			- 3x				2		+ 5x										2							=			∫ x				2		dx - 3∫ x									2	dx + 5∫ x						2				=
																			x																										dx																															dx
						x													x																										dx																															dx

										3		+1										1			+1										−		1			+1																	5							3							1
												+1													+1										−					+1
									x 2												x	2											x				2															2
					=				x 2					- 3 ×							x	2					+ 5 ×						x				2							+ C					=			2			x 2 - 2x 2 + 10x 2 + C .
					=				3		+			- 3 ×							1		+ 1				+ 5 ×				-				1				+ 1					+ C					=		5				x 2 - 2x 2 + 10x 2 + C .
									3				1								1														1																5
								2					1								2													2
								2													2													2
		2. Выполнить самостоятельно; каждый студент решает свой вариант
(два студента у доски выполняют свои задания).
																																		Вариант 1
		dx																																																	5 5
а) ∫		dx		.																																			Ответ:												5 5								x	4		+ C .

		5 x																																																	4
		5 x																																																	4

б)

в)

г)

а)

б)

в)

г)

а)

б)

в)

г)

а)

б)

в)

∫ 3x2 +

∫

7 - x2 + 1

dx .

+ 1

∫

× 5x

+ 7

dx .

3 x

∫2x × ex dx .

∫

+ 3x2

∫

1 - 1 - x2

dx .

1 - x2

∫

+ x2 - 6x

dx .

∫

5 x2

∫

- 9x2

∫

2 -

2 + x2

dx .

2 + x2

∫

(x2 + 1)dx .

∫

7 x5

∫ x2dx+ 9 .

∫ 3 + 2 - x2 dx . 2 - x2

Ответ:	1	arctg	x	+ C .

3	3	3

Ответ: 7 ln x + x2 +1 - x + C .

Ответ:

3 ×

- 33 x2

+ 7x + C .

ln 5

Вариант 2

(2e)x

Ответ:

+ C .

ln 2 +1

Ответ:

x +

+ x2

+ C .

Ответ:

arcsin x − x + C .

Ответ:

+ ln

+ C .

Вариант 3

Ответ:

5 x3 + C .

Ответ:

arcsin

Ответ:

2ln

x +

2 + x2

- x + C .

Ответ:

+ C .

Вариант 4

7 7

Ответ:

+ C .

Ответ:

arctg

+ C .

Ответ:

3arcsin

+ x + C .

г)

∫

(x3 + 2)2

dx .

а)

∫

5 x3

б)

∫

4x2 +1

∫

4 + 3 + x2

в)

dx .

3 + x2

∫

4sin x +

8 x -

г)

dx .

cos2

Ответ:		2	x6 ×		+	8	x3 ×		+ 8		+ C .
				x				x		x

	13			7

Вариант 5

Ответ: 5 5 x2 + C . 2

Ответ: 1 arctg 2x + C . 2

Ответ: 4ln x + 3 + x2 + x + C .

Ответ: -4cos x + 16 x3 -11tg x + C . 3

а)

б)

в)

г)

а)

б)

в)

г)

∫dxx6 .

∫x2 dx- 25 .

∫5 - 4 - x2 dx .

4 - x2

	4cos x + x−1	+	10
∫					dx .
			sin2
				x

∫ x2 × 3 x .

∫ 9x2 -16 .

∫ 3 − 5 − x2 dx . 5 − x2

∫ 3 − 2x4 + 3 x2 dx .

4 x

Вариант 6
Ответ:	-		1		+ C .
			5x5

		1			x - 5	+ C .
Ответ:				ln
	10				x + 5

Ответ: 5arcsin x - x + C . 2

Ответ: 4sin x + ln x -10ctg x + C .

Вариант 7

Ответ: - 3 + C .

43 x4

			x −	4
	1		x −
Ответ:	1	ln	3			+ C .
Ответ:	24	ln				+ C .
	24		x +		4
			x +
			3

Ответ: 3arcsin x − x + C . 5

Ответ: 44 x3 − 8 4 x19 + 12 12 x17 + C .

19 17

а)

б)

в)

г)

а)

б)

в)

г)

а)

б)

в)

г)

а)

∫ xdxx .

∫ 4x2 + 25 .

∫ 6 + 4 + x2 dx . 4 + x2

∫ x3 - 3 x dx .

4 x

∫ x4dx× x .

∫ 25x2 + 49 .

∫ 7 - 2 + x2 dx . 2 + x2

∫x + 2 2 dx .

∫x × 5 x dx .

∫

- 2x2

∫

5 +

9 + x

dx .

9 + x2

∫

+ 4cos x dx .

∫

9 - x2

Вариант 8
Ответ:	-		2				+ C .
Ответ:	-						+ C .
					x
Ответ:		1		arctg				2x	+ C .
Ответ:	10			arctg					+ C .
	10					5

Ответ: 6ln x + 4 + x2 + x + C .

	4		4					12 12
Ответ:	4		4			9	-	12 12		13	+ C .
					x					x
	9				x			13		x
	9							13
Вариант 9
Ответ:	-				2			+ C .


			7			x7
			7			x7
Ответ:		1		arctg				5x	+ C .
Ответ:	35			arctg					+ C .
	35							7

Ответ: 7 ln x + 2 + x2 - x + C .

Ответ:

+ 4x -

+ C .

Вариант 10

Ответ:

x 5 + C .

Ответ:

arcsin

Ответ: 5ln x + 9 + x2 + x + C .

Ответ: 7x - 8ln x + 4sin x + C . ln 7

Вариант 11

	1			3	+ x	+ C .
Ответ:		ln
			3		- x
	6

б)

в)

г)

а)

б)

в)

г)

а)

б)

в)

г)

а)

б)

∫x × 4 x dx .

∫8 - 4 - x2 dx .

4 - x2

∫

- 3 x -

dx .

cos2

∫ x × 5

∫ 4x2 - 25

∫

9 +

3 + x

dx .

3 + x2

∫ x - 35 x2 + 1 dx .

4 x

∫ x3 × 3

∫

x2 + 7

∫

9 -

9 - x

dx .

- x2

∫(0,7x−0,1 + 0, 2 × (0,5)x )dx .

∫	dx		.

	4 x3
∫		dx
				.

	4x2 + 16

		4
Ответ:		4		4 x9				+ C .
Ответ:	9			4 x9				+ C .
	9
Ответ:	8arcsin									x			- x + C .
Ответ:	8arcsin												- x + C .
							2
			tg x -						3		x 3				+	2	+ C .
Ответ:	3								3					x		2
Ответ:	3													x		3x3
							4									3x3
Вариант 12
Ответ:	-			5		+ C .
Ответ:	-					+ C .
				5 x
		1					x -						5
													5

Ответ:					ln							2		+ C .
Ответ:	20				ln		x +						5	+ C .
	20												5
												2
												2

Ответ: 9ln x + 3 + x2 + x + C .

Ответ: 4 x 4 x - 2 14 x × 20 x3 + 4 4 x3 + C . 5 23 3

Вариант 13

Ответ:

+ C .

7 3 x7

Ответ:

arctg

+ C .

Ответ:

9arcsin

- x + C .

Ответ:

x0,9 -

+ C .

2x × 5ln 2

Вариант 14

Ответ: 44 x + C .

Ответ: 1 arctg x + C . 8 2

в)

г)

а)

б)

в)

г)

∫ 2 + 5 + x2 dx .

5 + x2

∫ (x3 + 2)2 dx .

∫		dx	.

	7 x4
∫		dx
				.

	2x2 -18

∫ 7 - x2 + p dx .

x2 + p

∫(x2 -1)( x + 4)dx .

Ответ: 2ln x + 5 + x2 + x + C .

Ответ: 2 x6 × x + 8 x3 × x + 8 x + C . 13 7

Вариант 15

Ответ: 7 7 x3 + C .

	3
		1		x - 3	+ C .
Ответ:			ln
	12			x + 3

Ответ: 7 ln x + x2 + p - x + C .

	2	x3 ×		+	4	x3 -	2	x		- 4x + C .
Ответ			x						x

7			3			3

Подведение под знак дифференциала

Особенно эффективным приемом интегрирования является операция «подведения под знак дифференциала», когда подынтегральное выражение f ( x) dx приводится к виду

f ( x) dx = g (u ) du ,

где u – функция от х.


			1
Обучающий пример 6. Найти ∫		dx = ∫(	3x + 1)			dx .
	3x + 1
	3x + 1				2
Решение. Воспользоваться формулой ∫u p du =				u p +1			+ C, p ¹ -1,
Решение. Воспользоваться формулой ∫u p du =				p + 1			+ C, p ¹ -1,
				p + 1

таблицы интегралов мы вправе тогда, когда под знаком интеграла вместо dx будет d (3x + 1) , т. к. переменной интегрирования должно быть основание

степенной функции (3x +1)1 2 , т. е. u = 3x + 1, но при такой записи наруша-

ется знак равенства, ибо d (3x + 1) = (3x + 1)¢ dx = 3dx . Чтобы сохранить знак равенства, мы должны подынтегральное выражение разделить на 3. Правда, тогда получается «лишний множитель» 1/3, но он, как постоян- ный, может быть вынесен за знак интеграла.

(3x + 1) = 1 ∫(3x + 1)2 d (3x + 1) =

∫ 3x + 1 dx = ∫(3x + 1)2 dx = ∫ (3x + 1)2 d

(3x + 1)2

+ C =

(3x + 1)

+ C .

Обучающий пример 7. Найти ∫

x dx

+ x2

Решение.

Здесь

нельзя

применять

табличную

формулу

∫

arctg

+ C ,

т. к. в этом случае в числителе множитель х будет

u2 + a2

лишним, который, нельзя вынести за знак интеграла, как переменную ве-

личину.

)

Сделаем замену: xdx =

d 1 + x2

, тогда

(

x dx

d (1 + x2 )

(1 + x2 )

ln (1 + x2 ) + C .

∫

= ∫

∫

1 + x2

Обучающий пример 8. Найти

∫tg x dx .

Решение.

Заменим tg x =

sin x

cos x

∫tg x dx = ∫

sin x

dx = −∫

d (cos x)

= − ln

cos x

+ C .

cos x

Заметим, что последние два из приведенных обучающих примеров

являются частным случаем интегралов вида

∫

f ′( x)dx

(в числителе по-

f ( x)

дынтегральной дроби стоит производная знаменателя), решаемых с помо- щью замены t = f ( x) . Поэтому

∫	f ′( x)dx	= ln f ( x) + C .	(*)
	f ( x)

Полезно запомнить словесное выражение формулы (*): интеграл от дроби, числитель которой является дифференциалом знаменателя, равен логарифму абсолютной величины знаменателя.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 178 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб51умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб42умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб41умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб46умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб47умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб53умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf