Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

2.77 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1714 15 16 17 > Следующая >>>

в) ∫			2x − 3			dx .

	1	+ 3 2x − 3
	1	+ 3 2x − 3
Ответ: 3				1		7			1	5			1	1			1			1		+ C .
					(2x − 3)			−		(2x − 3)		+		(2x − 3)				− (2x − 3)		+ arctg (2x − 3)
							6				6					2			6		6
							6				6					2			6		6
				7				5				3
г) ∫ x3 (1 − x2 )−						3									2 − x2			+ C .
										Ответ:
						2 dx .

															1 − x2
															1 − x2

Вариант 14

а)

б)

в)

г)

∫

−1

dx .

(

)

x + 1 x

∫ x

x − 7

x +

∫

x + 1

3 x + 1

∫ (5 − x2 )5 − x2

Ответ: 3 3 x2 − 33 x − 66 x + 3ln 3 x + 1 + 6arctg 6 x + C . 2

Ответ: 2arctg x − 7 + C .

1 + x

Ответ: 63

(x + 1)2

−

+ C .

10 − x2

dx .

Ответ:

+ C .

5 − x2

Вариант 15

а) ∫

3 x +

dx .

б) ∫

x + 2

x − 3

+ 1

в) ∫

2x −1

dx .

(2x −1)

(

)

3 2x −1

−1

г) ∫ x3 (7 − x2 )−

2 dx .

Ответ: 2 x − 33 x + 66 x − 6ln 6 x + 1 + C .

Ответ: 2		− 5ln	x + 2	−	5	+ C .
	x + 2

			x + 2 +		5

Ответ: 3(62x −1 −1 − ln 62x −1) + C .

Ответ: 14 − x2 + C . 7 − x2

Вариант 16

а) ∫			x		dx .
			+
	3 x	2
	3 x	2		x
						1			1			1		1

					Ответ: 6		6	x5 −		3	x2 +		x −		3 x + 6 x − ln	6	x + 1	+ C .
							6			3

						5			4			3		2
						5			4			3		2

131

x + 4

+ ln

x + 4

- 2

+ C .

б) ∫

dx .

Ответ: 2

x + 4

x + 4 + 2

в) ∫

x +1 + C .

Ответ: 2arctg

( x +1)3

x +1

3 4

7 3

4 3

г) ∫

(4 x

+1)

- 3(4 x +1)

+ C .

dx .

Ответ:

Студент решает у доски:

∫

Ответ: C -

2 + 3x3

x2 3

(1 + x3 )5

2x 3

(1 + x3 )2

Домашнее задание

1.Изучить теоретический материал по теме «Интегрирование три- гонометрических функций».

2.Найти интегралы:

x + 3 x2 + 6

а) ∫

x 3

+ 6 × arctg 6 x + C .

dx .

Ответ:

x + 3 x4

б) ∫

( x + 2)2 -

x + 2

Ответ: 3 × 3 x + 2 + 6 × 6 x + 2 + 6 × ln 6 x + 2 -1 + C .

в)

∫

Ответ: -

+ C .

(1 + 4

)10

8 ×

+1)8

9 ×(4

+1)9

г)

∫

Ответ: -

1 + x2

+ C .

(1 + x2 )

1 + x

VII. Интегрирование тригонометрических функций

1. Устно указать подстановку для нахождения интегралов:

-1

= ∫

dx ,

J 2 = ∫ 3

x +1

x -1 (1 - x)2

33 x - x

J3 = ∫

J 4 = ∫

dx .

1 - 3x - 4 1 - 3x

+ 4 x3

132

2.Беглый просмотр выполнения домашнего задания.

3.Краткий теоретический обзор с использованием лекционного ма- териала (графической схемы, информационной таблицы).

Обращаем внимание на то, что интегралы от тригонометрических функций во многих ситуациях удается рационализировать либо сущест- венно упростить. Рассмотрим наиболее типичные случаи.

1)∫sin m x cosn dx .

а) Если m – нечетное положительное число, то подстановка cos x = t . Если n – нечетное положительное число, то sin x = t .

Обучающий пример 1. Найти ∫sin 4 x cos3 x dx .

Решение: Так как одна из степеней является нечетной (п = 3), то, предварительно отделив от нечетной степени множитель в 1-й степени, вводим новую переменную:

∫sin 4 x cos3 x dx = ∫sin 4 x cos2 x cos x dx = ∫sin 4 x (1 − sin2 x) cos x dx =

sin x = t

= ∫t 4 (1 − t 2 )dt = ∫(t 4 − t 6 ) dt =

cos xdx = dt

−

+ C =

sin5 x

−

sin7 x

+ C .

б) если m и

n – четные неотрицательные, то применяют формулы

понижения степени:

sin2 x =

1 − cos 2x

;

cos2 x =

1 + cos 2x

;

sin x cos x =

sin 2x .

Обучающий пример 2.

Найти ∫sin 4 x cos2 x dx .

Решение:

∫sin 4 x cos2 x dx = ∫sin2 x (sin x cos x)2 dx =

= ∫

1 - cos 2x

sin 2x 2 dx =

∫(1 - cos 2x) sin2 2x dx =

∫sin2 2x dx -

∫sin2 2x cos 2x dx =

∫

1 - cos 4x

dx -

sin 2x = t

∫t 2

2cos 2xdx = dt

(

∫

dx -

∫

cos 4x dx) -

x -

sin 4x

sin3 2x

+ C .

16 3

133

в)

(m + n)

четное отрицательное.

Подстановка

tg x = t (или

ctg x = t ).

Обучающий пример 3.

Найти ∫

cos x sin3 x

Решение:

∫cos−1 x sin−3 x dx .

Здесь m + n = −4 . Обозначим tg x = t , тогда

x = arctg t ,

dx =

, sin x =

cos x =

+ t 2

1 + t 2

1 + t

∫

= ∫

1 + t 2

= ∫

dt =

∫t

−3

dt +

∫

cos x sin

3 x

(

1 + t 2

= -

+ ln

+ C = -

ctg2 x + ln

tg x

+ C .

2t 2

Если под знаком интеграла стоит выражение R (sin x,cos x) , полу-

чающееся из функций sin x

и cos x , и некоторых констант с помощью че-

тырех арифметических действий (т. е.

R (sin x,cos x)

является рациональ-

ной функцией от sin x и cos x ), то данный интеграл ∫R (sin x,cos x) dx сво-

дится к интегралу от рациональной функции при помощи универсальной

тригонометрической

подстановки

t = tg

Тогда

sin x =

+ t 2

cos x =

1 - t

, dx =

2dt

1 + t

1 + t 2

Наиболее быстро вычисляются с помощью подстановки t = tg

ин-

∫

тегралы вида

где a или b

не равны нулю.

a sin x + b cos x + c

Обучающий пример 4. Найти ∫

4sin x - 3cos x - 5

Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической под- становкой:

134

= t

∫

cos x =

1 - t 2

sin x

4sin x - 3cos x - 5

1 + t 2

dx =

2dt

1 + t 2

2dt

= ∫

1 + t 2

=∫

1 - t 2

8t - 3(1 - t 2 ) - 5

(1 + t 2 )

4 ×

- 3

- 5

1 + t 2

= -∫

+ C =

+ C .

2 - 4t + 4

(t - 2)2

- 2

Хотя универсальная подстановка позволяет найти любой интеграл вида ∫R (sin x,cos x) dx , однако в большинстве случаев она приводит к че-

ресчур громоздким вычислениям, и тогда удобнее пользоваться другими более эффективными подстановками.

3)Если R (sin x,cos x) меняет знак с изменением знака cos x , то применяется подстановка sin x = t .

4)Аналогично, если R (sin x,cos x) меняет знак с изменением знака

sin x , то применяется подстановка cos x = t .

Обучающий пример 5. Найти ∫	dx
		.

	sin x sin 2x

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

1	=	1	=		1	.
sin x sin 2x		sin x × 2sin x cos x		2sin
					2 x cos x

Теперь видно, что эта функция меняет знак при замене cos x на (-cos x ). Поэтому, воспользуемся подстановкой sin x = t , предварительно домножив числитель и знаменатель преобразованной подынтегральной дроби на cos x :

cos x dx

sin x = t

∫

sin2 x (1 - sin2 x)

cos x dx = dt

sin x sin 2x

sin 2 x cos2 x

∫

1 - t 2 + t 2

dt =

∫

+ ∫

(1 - t 2 )

t 2 (1

- t 2 )

t 2

1 - t 2

135

1 + t

+ C =

+ ln

1 + sin x

+ C .

1 - t

1 - sin x

t 2

sin x

Если

выполняется равенство R (-sin x, -cos x) = R ( sin x,cos x ) ,

то выгоднее применять подстановку tg x = t

или ctg x = t . Это относится к

интегралам вида

∫

a sin2 x + bsin x cos x + c cos2 x + d

Обучающий пример 6.

∫

sin 2 x - 4sin x cos x + 5cos2 x

Решение. Подынтегральная функция четная относительно синуса и

косинуса:

(-sin x)2 - 4(-sin x)(-cos x) + 5(-cos x)2

sin 2 x - 4sin x cos x + 5cos2 x

поэтому применим подстановку tg x = t , при этом

cos x =

sin x = tg x × cos x =

dx =

1 + t 2

1 + tg2 x

1 + t 2

Получаем

∫

= ∫

1 + t 2

sin 2 x

- 4 ×sin x cos x + 5 × cos2 x

t 2

- 4

+ 5

1 + t 2

= ∫

d (t - 2)

2 - 4t + 5

(t - 2)2

(t - 2)2 +

= arctg (t - 2) + C = arctg (tg x - 2) + C .

Можно было избежать выражения cos x , sin x и dx через t, разделив числитель и знаменатель на cos2x.

Действительно,

∫

= ∫

cos2 x

sin

2 x - 4sin x cos x + 5cos

2 x

sin

2 x

sin x cos x

- 4

+ 5

cos2 x

cos

2 x

tg x = t

= ∫

cos2 x

= ∫

dx = dt

2 x - 4 tg x + 5

t 2

- 4t

+ 5

cos2 x

136

В дальнейшем рекомендуем замечать и не упускать возможности

подобных упрощений.

6)	При вычислении интегралов ∫sin nx cos kx dx , ∫sin nx sin kx dx ,

∫cos nx cos kx dx пользуются тригонометрическими формулами:

sin α cosβ= 12 (sin (α − β) + sin (α + β)) , sin α sin β= 12 (cos(α − β) − cos (α + β)), cos α cosβ = 12 (cos(α − β) + cos (α + β)) .

Обучающий пример 7. Найти ∫sin 4x sin 6x dx .

Решение. ∫sin 4x sin 6x dx = ∫

(cos(4x − 6x) − cos(4x + 6x))dx =

∫(cos 2x − cos10x)dx =

∫cos 2x dx −

∫cos10x dx =

sin 2x −

sin10x + C .

При вычислении интегралов вида ∫R (tg x )dx и

∫R (ctg x)dx в

большинстве

случаев выгодно

применять

подстановку

tg x = t или

ctg x = t . В частном случае интегралы вида ∫tgm x dx и ∫ctgm x dx , где m −

целое положительное число можно применять формулы:

tg2 x =	1		−1 или	ctg2 x =	1		−1,
	cos	2 x			sin	2 x

с помощью которых последовательно понижается степень тангенса или котангенса.

Обучающий пример 8. Найти ∫tg7 x dx .

Решение. Первый способ. Имеем

∫tg

7 x dx = ∫tg

5 x

−1 dx = ∫tg5 x d (tg x) − ∫tg5 x dx

cos2 x

tg6 x

− ∫tg

3 x

−1 dx =

tg6 x

− ∫

tg3 x

dx + ∫tg x

cos2 x

tg6 x

−

tg4 x

tg2 x

+ ln

cos x

+ C .

−1 dx =

137

138

Второй способ.

t 7

dt = ∫(t 5 − t3 + t )dt −∫

tdt

∫tg7 x dx =

tg x = t, dx =

= ∫

и т.д.

+ t 2

4. Выполнить самостоятельно; каждый студент решает свой вариант (два студента у доски выполняют свои задания).

а)

б)

в)

г)

д)

а)

б)

в)

г)

д)

а)

б)

∫5sin4 x cos3 x dx .

∫sin 2 x cos4 x dx .

∫ 5 − 4sin x + 2cos x .

∫tg2 5x dx .

∫5 + 3sin2 x .

∫sin 4 x cos5 x dx .

∫sin 2 x cos2 x dx .

∫ 5 + 2sin x + 3cos x .

∫ctg4 x dx .

∫ 3 − 2sin 2 x .

	sin3 x
					dx .
					dx .
∫ cos x 3 cos x
∫		2	x
	cos			dx .
	cos		2	dx .
			2

Вариант 1

		5		5							−	5			5								+ C .
Ответ:		5				sin9 x						5					sin19 x
Ответ:	9					sin9 x											sin19 x
	9						19
Ответ:		1			x −		1			sin 4x +									1		sin 2 2x + C .
Ответ:	16				x −		64			sin 4x +											sin 2 2x + C .
	16						64								48
									3tg					x	− 4
	2								3tg						− 4
Ответ:	2					arctg			2											+ C .
Ответ:						arctg														+ C .
	5						5
Ответ:			1		tg 5x − x + C .
Ответ:					tg 5x − x + C .
	5

Ответ:						1		arctg					2			2		tg x				+ C .
Ответ:								arctg														+ C .
	2					10									5

Вариант 2

Ответ: 1 sin5 x − 2 sin7 x + 1 sin9 x + C .

	5					7										9
Ответ:	1	x −			1			sin 4x + C .
Ответ:	8	x −						sin 4x + C .
	8			32									+ 1
Ответ:	1			arctg					tg x				+ 1		+ C .

	3
	3					3
Ответ: −		1	ctg3 x + ctg x + x + C .
Ответ: −			ctg3 x + ctg x + x + C .
	3
Ответ:	1			arctg					tg			x		+ C .

	3
	3					3
Вариант 3
	3									3
Ответ:	3						+			3	cos x 3 cos2 x + C .
Ответ:							+				cos x 3 cos2 x + C .
	3 cos x					5

Ответ: 1 ( x + sin x) + C . 2

в) ∫ 5 + 3cos x − 5sin x .

г) ∫ctg6 x dx .

д) ∫ sin 2 x + 3sin x cos x − cos2 x .

	1		tg	x	− 4

Ответ:		ln	2				+ C .

3			tg	x		−1

			2

Ответ: − ctg5 x + ctg3 x − ctg x − x + C .

	5			3
				2 tg x + 3 −
Ответ:		1	ln	2 tg x + 3 −	13	+ C .
				2 tg x + 3 +
	13				13
	13				13

а) ∫sin 4 x cos3 x dx .

б) ∫sin 2 3x dx .

в) ∫ 3 + 2cos x − sin x .

г) ∫sin 8x cos 2x dx .

д) ∫ sin 2 x + sin 2x + 3cos2 x .

Вариант 4

Ответ:

sin5 x

−

sin7 x

+ C .

Ответ:

x −

sin 6x + C .

−1

Ответ: arctg

+ C .

Ответ:

−

cos10x −

cos 6x

+ C .

Ответ:

arctg

tg x

+ 1

+ C .

Вариант 5

а) ∫cos5 x dx .

б) ∫sin 4 x dx .

в) ∫ 5 + 4sin x .

г) ∫ctg3 x dx .

д) ∫ 3cos2 x − 2 .

Ответ:

sin x −

sin3 x

+ C .

Ответ:

−

sin 2x

sin 4x

+ C .

5 tg

+ 4

Ответ:

arctg

+ C .

Ответ:

−

ctg2 3x −

sin 3x

+ C .

1 +

Ответ:

tg x

+ C .

1 −

2 tg x

139

а) ∫sin3 x cos3 x dx .

б) ∫cos2 3x dx .

в) ∫8 + 4cos x .

г) ∫tg4 x dx .

д) ∫ 4cos2 x + 3sin2 x .

а) ∫sin 2 x cos5 x dx .

б) ∫sin 2 4x dx .

	∫					dx
в)								.

		3sin x − 4cos x
г)	∫tg3 x dx .
д)	∫			dx			.
		1
			+ sin 2 x
	∫	cos3 x
а)						dx .
		sin		4
					x
б) ∫cos2 5x dx .
	∫					dx
в)									.
		5
			− 4sin x + 2cos x

г) ∫ctg4 xdx .

Вариант 6

Ответ: sin4 x − sin6 x + C .

		4				6
Ответ:	1	x +		1	sin 6x				+ C .
Ответ:		x +			sin 6x				+ C .
2			6
						tg	x
		1				tg
Ответ:		1	arctg			2		+ C .
Ответ:			arctg					+ C .
2		3				3

Ответ:	1	tg3 x − tg x + x + C .

	3
Ответ:	1			arctg	3 tg x	+ C .
					2
	2		3

Вариант 7

Ответ: sin3 x − 2sin5 x + sin7 x + C .

Ответ:

x −

sin8x

+ C .

−

Ответ:

2 2

+ C .

+ 2

Ответ:

tg2 x + ln

cos x

+ C .

arctg (

tg x) + C .

Ответ:

Вариант 8

Ответ:

−

+ C .

3sin3 x

sin x

Ответ:

x +

sin10x + C .

3tg

− 4

Ответ:

arctg

+ C .

Ответ:

−

ctg3 x + ctg x + x + C .

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1714 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб51умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб42умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб41умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб46умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб47умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб53умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf