Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл

.pdf

Скачиваний:

106

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

2.77 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1711 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

а) ∫		dx
					.
	5x − x
				2 − 6
б) ∫			dx
						.


		4x	2	− x + 4

2x − 1

в) ∫ 3x2 − 2x + 6 dx .

г) ∫		2x − 10	dx .

	1 + x − x2
	1 + x − x2

Вариант 15

x − 3

Ответ:

− ln

+ C .

x − 2

Ответ:

x −

x2 −

x + 1

+ C .

Ответ:

3x2 − 2x + 6

−

arctg

−

+ C /

Ответ: −21 + x − x2 − 9arcsin 2x − 1 + C . 5

Домашнее задание

1.Изучить теоретический материал по теме «Интегрирование по частям. Циклическое интегрирование».

2.Найти интегралы:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

и)

∫5ln2 ( x + 2) dx .

x+ 2

∫	3 arctg5 2x	dx .
	1 + 4x2

∫e5 sin x + 4 cos x dx .

sin 3x dx

∫ 5cos3x − 4 .

∫ 2x − 3 − 4x2 .

x + 4

∫ 2x2 − 6x − 8 dx .

∫	3x − 1
				dx .


	2x	2	− 5x + 1

Ответ: 3 2

Ответ:

55 ln7 x

+ C .

Ответ:

arctg8 2x

Ответ:

e5 sin x + 4 + C .

+ C .

Ответ:

−

(sin 3x − 4)4

Ответ:

−

arctg

−

+ C .

2x2 − 6x − 8

x − 4

+ C .

Ответ:

x + 1


	+	11		ln	x −	5	+ x2 −	5	x +	1
2x2 − 5x + 1		11				5		5		1	+ C .
2x2 − 5x + 1											+ C .
4			2		4		2		2

101

IV. Интегрирование по частям. Циклическое интегрирование

Математический диктант.

а)

∫

г)

∫e7 x −5 dx .

5x2 + 7

д)

∫

sin 2x

dx .

б)

∫

+ 3cos 2x

2 - 25

е)

∫

2 x

dx .

в) ∫

dx .

+ e2 x

5x3 + 4

2. Упражнение (преподаватель решает у доски). Пусть функции f ( x) и g ( x) непрерывны. Верно

∫ f ( x) × g ( x) dx = ∫ f ( x) dx × ∫ g ( x) dx

3 − 7x

ж) ∫1 + x2 dx .

	∫					dx
з)							.
		2x		2
						+ 3x + 1
	∫					dx
и)								.

					2
			x			+ 5x + 3

ли, что

т. е. интеграл от произведения двух функций равен произведению интегралов? Рассмотрим на примере функций f ( x) = g ( x) = x .


∫ x × x dx = ∫ x2 dx =					x3	+ C .
∫ x × x dx = ∫ x2 dx =						+ C .
				3
∫ x dx × ∫ x dx =	x2	×	x2	+ C =			x4	+ C .
∫ x dx × ∫ x dx =		×		+ C =				+ C .
2		2		4

Очевидно, получили неверный результат.

К сожалению, не существует формулы, выражающей интеграл от про- изведения функций через интегралы от сомножителей. Однако формула

∫u dv = uv - ∫v du ,

которую легко получить почленным интегрированием равенства

d (uv) = vdu + udv ,

является ее подобием.

Формулу ∫u dv = uv - ∫v du называют формулой интегрирования по

частям. Очевидно, при ее применении подынтегральное выражение разби- вается на 2 сомножителя (u и dv ), из которых первый дифференцируется, а другой интегрируется. Это разбиение надо произвести так, чтобы вновь полученный интеграл в правой части был табличным или более простым, чем исходный.

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять ме- тодом интегрирования по частям.

102

Интегралы вида I:

∫Pn ( x) ekx dx ,

∫Pn ( x) akx dx ,

∫Pn ( x) sin kx dx ,

∫Pn ( x) cos kx dx ,

где Pn ( x) - многочлен степени п.

Рекомендуется положить u = Pn ( x) , а за dv взять все остальные со-

множители. Так как при дифференцировании степень многочлена понижа- ется на единицу, то интегрировать по частям следует столько раз, какова степень многочлена.

Обучающий пример 1.

Найти

∫ x2 e3x dx .

∫ x2 e3x dx =

x2 = u

du = 2xdx

x2e3x - ∫

e3x × 2xdx =

e3x dx = dv v =

∫e3x dx =

e3x

x2e3x −

∫ xe3x dx =

x = u

du = dx

e3x dx

= dv v =

e3x

2 1

x2e3x −

xe3x −

∫e3x dx

3 3

2 x

x2e3x

−

e3x

−

e3x

+ C .

Примечание.

Отметим,

что при нахождении

постоянная интегри-

рования С принимается равной 0.

Интегралы вида II: ∫Pn ( x) arcsin x dx ,

∫Pn ( x) arccos x dx ,

∫Pn ( x) arctg x dx ,

∫Pn ( x) arcctg x dx ,

∫Pn ( x) ln x dx .

Вуказанных интегралах целесообразно положить Pn ( x)dx = dv , а че-

рез и обозначить остальные сомножители.

103

Обучающий пример 2.

Найти ∫(x2 - x +1) ln x dx .

Решение.

∫(x2 − x + 1) ln x dx =

ln x = u

du =

(x2 − x + 1)dx = dv v =

−

+ x

−

+ x ln x −

∫

−

+ x

dx =

−

+ x ln x

−

1 dx =

∫

−

+ x ln x −

− x + C .

arcsin

Обучающий пример 3.

Найти ∫

1 − x

x dx .

Решение.

arcsin

= u

du =

1 - x

∫ 1 - x arcsin

x dx =

v = ∫

2 (1 - x)3

1 - xdx = dv

1 - xdx = -

× arcsin

= -

(1 - x)3

+ ∫

(1 - x)3

dx =

1 - x × 2

× arcsin

∫

1 − x

dx =

= -

(1 - x)3

= -

(1 - x)3 × arcsin

∫ x− 2 dx - ∫ x 2 dx

(1 - x)3

= -

arcsin

x3 + C .

Обучающий пример 4.

Найти

∫ex cos x dx .

104

Решение:


∫ex cos x dx =		ex = u	du = ex dx		= ex sin x - ∫sin x × ex dx =
		cos x dx = dv	v = sin x
=	ex = u	du = ex dx		= ex sin x - (-ex cos x + ∫cos x × ex dx) =
=	ex = u	du = ex dx		= ex sin x - (-ex cos x + ∫cos x × ex dx) =
	sin xdx = dv	v = -cos x

=ex sin x + ex cos x - ∫ex cos x dx .

Витоге снова получили исходный интеграл, и может показаться, что решение зашло в тупик. Как выбраться из него?

Обозначив искомый интеграл через J, получим уравнение

J = ex sin x + ex cos x - J .

Перенося J в левую часть, и решив уравнение относительно J, получим

2J = ex sin x + ex cos x J = ex sin x + ex cos x + C . 2

Появление константы С объясняется тем, что фактически все инте- гральные формулы, в том числе и формула интегрирования по частям, вер- ны с точностью до константы, которую обычно в этих формулах не пишут. Ну, а поскольку в данном случае произвольная постоянная С неявно при- сутствует в интеграле из левой части равенства, то она должна появиться и

вправой части.

Ктретьей группе относятся так называемые циклические интегралы. После двукратного применения формулы интегрирования по частям полу- чается уравнение относительно искомого интеграла, из которого оконча- тельно находится его выражение.

Интегралы вида III:

∫ekx sin bx dx ,

∫akx sin bx dx ,

∫ekx cosbx dx ,

∫akx cosbx dx ,

∫ a2 - x2 dx ,

∫ a2 + x2 dx ,

где k, b, а – const.

Обучающий пример 5.

Найти ∫

1 + x2 dx .

Решение.

1 + x2

∫ 1 + x

dx = ∫

+ ∫

dx =

+ x2

1 + x2

105

= ln

x + 1 + x2

+ ∫ x ×

dx =

1 + x2

x = u

du = dx

∫(1

+ x2 )

−

(1 + x2 ) =

xdx

1 + x2

dx = dv v = ∫

2 d

1 + x2

+ (x

- ∫

dx).

= ln

x +

1 + x2

Обозначив ∫

1 + x2

dx = J , получим J = ln

x +

1 + x2

+ x 1 + x2 - J

J =

x 1 + x

+ ln

x +

1 + x

+ C .

3. Выполнить самостоятельно; каждый студент решает свой вариант (два студента у доски выполняют свои задания).

а) ∫ x2 cos 2x dx .

б) ∫ln ( x + 4) dx .

arcsin x

в) ∫ x +1 dx .

г) ∫2x cos x dx .

а) ∫ x2 sin (2x - 3) dx .

б) ∫ln ( x + 1) dx .

в) ∫1 - x arccos x dx .

г) ∫3x cos x dx .

Вариант 1

Ответ:	x2	sin 2x +	x	cos 2x -	1	sin 2x + C .

2		2		4

Ответ: x ln ( x + 4) - x + 4ln ( x + 4) + C .


Ответ:	2		x +	1arcsin x + 4	1 - x	+ C .
Ответ:		2x (sin x + ln 2cos x)			+ C .
Ответ:			1 + ln2 2		+ C .
			1 + ln2 2

Вариант 2

Ответ:		x	sin 2x -				x2			cos 2x +				1	cos 2x + C .
	2						2
													4
Ответ:		x ln ( x +1) - x + ln ( x + 1) + C .
	2					2					2					arccos		+ C .
					-					-		(1 - x)3
Ответ:				x3
								x									x
	9
			3						3
Ответ:		3x (sin x + ln 3cos x)											+ C .
					1 + ln2				3

106

а)

б)

в)

г)

∫x2 (sin x + 1) dx .

∫ln ( x + 5) dx .

∫	arcsin		x	dx .

		1 − x

∫4x cos x dx .

Вариант 3

Ответ: 2x sin x − x2 cos x + 2cos x + x3 + C . 3

Ответ: x ln ( x + 5) − x + 5ln ( x + 5) + C .

Ответ: 2 x − 21 − x arcsin x + C .

Ответ: 4x (sin x + ln 4cos x) + C . 1 + ln2 4

Вариант 4

а) ∫(x2 + x) e− x dx .

б) ∫ln ( x + 6) dx .

в) ∫ x arctg 2x dx .

г) ∫ex sin x dx .

а) ∫(x2 − 1) e− x dx .

б) ∫ln ( x + 7) dx .

в) ∫ x arctg x dx . 1 + x2

г) ∫3x sin x dx .

Ответ:

C − (x2 + 3x + 3) e− x .

Ответ: x ln ( x + 6) − x + 6ln ( x + 6) + C .

Ответ:

arctg 2x −

arctg 2x + C .

Ответ:

ex (sin x − cos x) + C .

Вариант 5

Ответ:

C − ( x + 1)2 e− x .

Ответ: x ln ( x + 7) − x + 7 ln ( x + 7) + C .

x +

+ C .

Ответ:

1 + x2

arctg x − ln

1 + x2

Ответ:

−3x cos x + 3x ln 3sin x

+ C .

1 + ln2 3

Вариант 6

а) ∫ x2 ln x dx .

Ответ:

ln x −

+ C .

б) ∫(x2 − 1) ex dx .

Ответ:

( x − 1)2 ex + C .

в) ∫arctg ( x + 5) dx .

x arctg ( x + 5) −

+ 10x + 26

+ 5arctg ( x + 5) + C .

Ответ:

г) ∫4x sin x dx .

Ответ:

−4x cos x + 4x ln 4sin x

+ C .

+ ln2 4

107

а) ∫(x2 + x) ex dx .

б) ∫ x ln 6x dx .

в) ∫ x arctg 4x dx .

г) ∫5x sin x dx .

а) ∫( x + 7) ex dx .

б) ∫ x3 ln x dx .

в) ∫ x arctg x dx .

г) ∫6x sin x dx .

а) ∫ x cos x dx .

ln x

б) ∫ dx . x3

в) ∫arcsin x dx .

г) ∫5x cos x dx .

а) ∫ x cos3x dx .

б) ∫ x4 ln x dx .

в) ∫ x arcsin x dx . 1 − x2

г) ∫7x sin x dx .

Вариант 7

Ответ: (x2 − x + 1) ex + C .

Ответ:

(2ln 6x − 1) + C .

Ответ:

4x2

arctg 4x − x + C .

Ответ:

−5x cos x + 5x ln 5sin x

+ C .

1 + ln2

Вариант 8

Ответ:

( x + 6) ex + C .

Ответ:

ln x −

+ C .

C −

x2 + 1

Ответ:

arctg x .

Ответ:

−6x cos x + 6x ln 6sin x

+ C .

1 + ln2 6

Вариант 9

Ответ: x sin x + cos x + C .

Ответ:

C −

1 + 2ln x

4x2

Ответ:

x arcsin x +

1 − x2 + C .

Ответ:

5x (sin x + ln 5cos x)

+ C .

1 + ln2 5

Вариант 10

Ответ:

sin 3x +

cos3x + C .

Ответ:

ln x −

+ C .

Ответ:

x − 1 − x2 arcsin x + C .

Ответ:

−7x cos x + 7x ln 7sin x

+ C .

1 + ln2 7

108

а) ∫ x cos 4x dx .

б) ∫ x5 ln x dx .

arcsin x

в) ∫ 1 − x dx .

г) ∫8x sin x dx .

а) ∫(x2 − x + 1) e− x dx .

ln x

б) ∫ dx . x2

в) ∫ x arccos x dx . 1 − x2

г) ∫6x cos x dx .

а) ∫(x2 − x + 1) ex dx .

б) ∫ x ln x dx .

arccos x

в) ∫ 1 + x dx .

г) ∫7x cos x dx .

а) ∫(x2 + 4) e2 x dx .

б) ∫ x6 ln x dx .

в) ∫ x arctg x dx . 1 + x2

Вариант 11

Ответ:

sin 4x +

cos 4x + C .

Ответ:

ln x −

+ C .

− 2

arcsin x + C .

Ответ:

1 − x

Ответ:

−8x cos x + 8x ln 8sin x

+ C .

1 + ln2 8

Вариант 12

Ответ:

C − (x2 + x + 2) e− x .

Ответ:

−

+ 1

+ C .

Ответ: C − x − 1 − x2 arccos x .

Ответ: 6x (sin x + ln 6cos x) + C . 1 + ln2 6

Вариант 13

Ответ: (x2 − 3x + 4) ex + C .

	2		ln	x	−	2	+ C .
Ответ:		x3


3					3

Ответ: 21 + x arccos x − 41 − x + C .

Ответ: 7x (sin x + ln 7 cos x) + C . 1 + ln2 7

Вариант 14

2 (

)

Ответ:

x2 + 4

e2 x +

xe2 x

e2 x

+ C .

Ответ:

ln x −

+ C .

x +

+ C .

Ответ:

1 + x2

arctg x + ln

1 + x2

109

г) ∫9x sin x dx .

а) ∫(x2 - 3)cos x dx .

б) ∫ x7 ln x dx .

в) ∫ x arcctg x dx .

г) ∫8x cos x dx .

Ответ: -9x cos x + 9x ln 9sin x + C . 1 + ln2 9

Вариант 15

Ответ: (x2 - 5)sin x + 2x cos x + C .

Ответ:	x8		ln x -	x8	+ C .
Ответ:	8		ln x -		+ C .
	8	64
Ответ:	x2		arcctg x +			x	+	1	arcctg x + C .
Ответ:	2		arcctg x +				+	2	arcctg x + C .
	2				2			2
Ответ:	8x	(sin x + ln 8cos x)								+ C .
Ответ:			1 + ln2 8							+ C .
			1 + ln2 8

В заключение отметим, что указанные три группы не исчерпывают всех интегралов, которые интегрируются по частям.

Обучающий пример 6. Найти ∫	xdx	.

	cos2 x

Решение: Ни к одному из указанных трех групп его отнести не возможно, тем не менее, он хорошо интегрируется по частям.

∫

xdx

u = x;

du = dx

= x tg x - ∫tg x dx = x tg x - ∫

sin x

dx =

cos2

dv =

; v = tg x

cos x

cos2

= x tg x + ln cos x + C .

Домашнее задание

1.Изучить теоретический материал по теме «Интегрирование про- стейших рациональных дробей. Интегрирование рациональных функций».

2.Найти:

1)	∫ x ×2x dx .			Ответ:	2x ( x ln 2		-1)			+ C .
						ln2 2
2)	∫ln2 x dx .			Ответ:	x (ln2 x - 2ln x + 2) + C .
3)	∫ x sin x cos x dx .			Ответ:	1	sin 2x -		x	cos 2x + C .
					8
							4
4) ∫		ln cos x	dx .	Ответ:	tg x ln (cos x) + tg x - x + C .

		cos2 x

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1711 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб106умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб106умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб94умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб99умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб99умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб107умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf