Вариант № 11

1.

Найдите область определения функций :

а) z =

+

; б) z =

x + 1

.

9 - x 2 - y 2

x2 + y 2 - 5

y - 2

2.

Найдите частные производные первого порядка функции

z = ln(1 + tg

y

) + 3xy .

x

функцииz = z( x; y) ,

3.

Найдите

частные

производные

заданной

неявно

уравнением 3x2 - 5 y2 + 4z2 - 6x + 3y + 2z -1 = 0 .

4.

Найдите

градиент

функции z = 5x 2

- 3xy + 4 y 2

в точкеМ0(2;-1)

и

производную по направлению вектора M 0 M1 , где М1(2;4).

5.

Составьте уравнения

касательной

плоскости и

нормали

к поверхности

z = x2 + y2 - 2xy + 2x - y в точке M0 (-1; -1; -1).

6.

Исследуйте на экстремум функцию z = x3 - 6x2 + 9x - 2 y2 + 6 y + 8 .

7.

Найдите

наибольшее

и

наименьшее

значение

функцииz = f (x; y)

в

замкнутой области D, ограниченной заданными линиями

z = x2 + 3y2 + 4x - 6 y + 5;

x = 0;= x -3=y= 2; y -x - 3.

Вариант № 12

1.

Найдите область определения функций :

а) z = ln( x 2 + 6 y) +

;

б)

z =

4x

.

xy

x - 3y + 1

2.

Найдите частные производные первого порядка функции

z =

x

.

4xy + y 2

3.

Найдите

частные

производные

функцииz = z( x; y) ,

заданной

неявно

уравнением ez - (2x -1) × y × (3z + 2) = 0 .

4. Найдите градиент функции z = 3x 4

- 4 y 3 + x в точке М0(1;1) и производную

по направлению вектора M 0 M1 , где М1(2;1).

5.

Составьте уравнения

касательной

плоскости и

нормали

к поверхности

z = y2 - x2 - 2xy -3y в точке

M0 (-1; 1; -1).

6.

Исследуйте на экстремум функцию z = x2 - 2x - 4 y3 + 24 y2 - 36 y +18 .

7.

Найдите

наибольшее

и

наименьшее

значение

функцииz = f (x; y)

в