- •Типовой расчет «Функции нескольких переменных»
- •Вариант № 1
- •1. Найдите область определения функций:
- •Вариант № 2
- •Вариант № 3
- •1. Найдите область определения функций :
- •Вариант № 4
- •1. Найдите область определения функции :
- •Вариант № 5
- •1. Найдите область определения функций:
- •Вариант № 6
- •1. Найдите область определения функций :
- •Вариант № 7
- •1. Найдите область определения функций:
- •Вариант № 8
- •1. Найдите область определения функций :
- •Вариант № 9
- •1. Найдите область определения функций :
- •Вариант № 10
- •1. Найдите область определения функций :
- •Вариант № 11
- •1. Найдите область определения функций :
- •Вариант № 12
- •1. Найдите область определения функций :
- •Вариант № 13
- •1. Найдите область определения функций :
- •Вариант № 14
- •1. Найдите область определения функций :
- •Вариант № 15
- •1. Найдите область определения функций :
- •Вариант № 16
- •1. Найдите область определения функций :
- •Вариант № 17
- •1. Найдите область определения функций :
- •Вариант № 18
- •1. Найдите область определения функций :
- •Вариант № 19
- •1. Найдите область определения функций :
- •Вариант № 20
- •1. Найдите область определения функций :
- •Вариант № 21
- •1. Найдите область определения функций :
- •Вариант № 22
- •1. Найдите область определения функций :
- •Вариант № 23
- •1. Найдите область определения функций :
- •Вариант № 24
- •1. Найдите область определения функций :
- •Вариант № 25
- •1. Найдите область определения функций :
- •Вариант № 26
- •1. Найдите область определения функций :
- •Вариант № 27
- •1. Найдите область определения функций :
- •Вариант № 28
- •1. Найдите область определения функций :
- •Вариант № 29
- •1. Найдите область определения функций:
- •Вариант № 30
- •1. Найдите область определения функций:
Вариант № 3
1. Найдите область определения функций :
|
x 2 |
|
y 2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
а) z = 1 - |
- |
+ |
|
|
. б) z = arcsin( x - y + 1) + 1 - x2 . |
||||||
|
|
|
|||||||||
9 |
4 |
|
|
y |
2. Найдите частные производные первого порядка функции
z= ex(5 y-2) × (x +1)7 .
3.Найдите частные производные функцииz = z( x; y) , заданной неявно
уравнением z3 - 3xyz = a3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4. |
Найдите |
|
|
градиент |
|
функцииz = x3 + y 2 - xy + 4 |
в |
точкеМ0(2;1) |
и |
||||||||||||||||||
производную по направлению вектора M 0 M1 , где М1(-1;2). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5. |
Составьте уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 + y2 + z2 - xy + 3z = 7 в точке |
M 0 (1; 2; 1) . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6. |
Исследуйте на экстремум функцию z = x3 - 2 y2 - 3x + 6 y + 7 . |
|
|||||||||||||||||||||||||
7. |
Найдите |
наибольшее |
и |
наименьшее |
|
значение |
функцииz = f (x; y) |
в |
|||||||||||||||||||
замкнутой области D, ограниченной заданными линиями |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z = x2 - 9xy + y2 + 27; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 0; x = 3; y= 0; y= 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Вариант № 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
Найдите область определения функции : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
а) z |
= |
|
|
|
+ |
|
x -1 |
z = ln(4 - x2 - y 2 ) + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x |
ln y +1 ; б) |
|
y . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. |
Найдите частные производные первого порядка функции |
z = |
x 3 + 2xy |
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3. |
Найдите |
частные производные |
функцииz = z( x; y) , |
|
y |
|
|||||||||||||||||||||
заданной неявно |
|||||||||||||||||||||||||||
уравнением z = y ×e |
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4. |
Найдите |
|
градиент |
функцииz = 2x3 + y 3 - x 2 - y |
в |
точкеМ0(-1;2) |
и |
||||||||||||||||||||
производную по направлению вектора M 0 M1 , где М1(1;1). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5. |
Составьте |
уравнения |
касательной плоскости и нормали к поверхности |
||||||||||||||||||||||||
2 |
+ 2 |
+ |
2 |
+ |
6y |
+ |
= |
|
|
|
|
M |
0 |
(-1; 1; 2) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
y |
z |
|
|
4 x 8 в точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. |
Исследуйте на экстремум функцию z = 3x3 + 3y3 - 9x - 9 y2 +1. |
|
|||||||||||||||||||||||||
7. |
Найдите |
наибольшее |
и |
наименьшее |
|
значение |
функцииz = f (x; y) |
в |
замкнутой области D, ограниченной заданными линиями z = 3x 2 + 6xy - 2 y 2 - 5y;
x = 0; x = 2; y = -1; y = 1.
28