- •Министерство образования и науки
- •Введение
- •Раздел 1. Элементы векторной алгебры в пространстве.
- •Тема 1.1. Направленные отрезки. Векторы.
- •Тема 1.2. Умножение векторов на действительные числа
- •Тема 1.3. Коллинеарные и компланарные векторы.
- •Тема 1.4. Скалярное произведение векторов
- •Тема 1.5. Векторные подпространства
- •Тема 1.6. Применение векторов к решению задач
- •Задачи повышенной трудности
- •Домашнее задание
- •Индивидуальные задания по векторной алгебре Вариант I
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Раздел 2. Метод координат на плоскости
- •Тема 2.1. Аффинная система координат. Аффинные задачи
- •Задачи повышенной трудности
- •Тема 2.2. Прямоугольная система координат. Аффинные и метрические задачи
- •Тема 2.3. Полярная система координат. Метрические задачи
- •Тема 2.4. Ориентация плоскости. Преобразования координат на плоскости
- •Тема 2.5. Геометрическое истолкование уравнений и неравенств между координатами. Алгебраические линии.
- •Домашнее задание
- •Тема 2.6. Уравнения прямой в аффинной и прямоугольной декартовой системах координат. Аналитическое задание полуплоскости
- •Тема 2.7. Взаимное расположение двух прямых.
- •Тема 2.8. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми
- •Задачи повышенной трудности
- •Тема 2.9. Аффинные и метрические задачи на прямую. Решение задач школьного курса методом координат
- •Раздел 3. Кривые второго порядка
- •Тема 3.I. Окружность
- •Задачи повышенной трудности
- •Домашнее задание
- •Тема 3.2. Эллипс
- •Задачи повышенной трудности
- •Тема 3.3. Гипербола
- •Задачи повышенной трудности
- •Тема 3.4.Парабола
- •Задачи повышенной трудности
- •Тема 3.5. Пересечение линии второго порядка с прямой. Асимптотические направления и асимптоты
- •Тема 3.6. Центр линии второго порядка. Касательная
- •Тема 3.7. Сопряженные направления. Главные направления. Диаметры линии второго порядка
- •1) Эллипса ; 2) гиперболы.
- •Тема 3.8. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •Индивидуальные задания по кривым второго порядка
Раздел 2. Метод координат на плоскости
Изучая элементарную геометрию в объеме школьной программы, вы могли обратить внимание на одно важное обстоятельство: способы доказательств различных теорем, по своему содержанию часто довольно близких друг к другу, совершенно различны и мало связаны друг с другом. Например, сравните, приведенные в школьном учебнике, доказательства следующих теорем:
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Три высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке.
Доказав одну из этих теорем, мы ничего не приобретаем в смысле указания на то, как приступить к доказательству следующей. Ясно, что при этих условиях решение геометрических задач представляет громадные трудности и требует большого искусства геометров. Из истории развития математики известно, что в XVII веке возникла потребность в создании такого общего метода в геометрии, который был бы одинаково пригоден для решения самых разнообразных задач и для исследования самых разнообразных кривых. Именно таким методом является метод координат.
Независимо друг от друга основы аналитического метода были открыты в 1636–1637 гг. французскими математиками Пьером Ферма (1601–1665) и Рене Декартом (1596–1650). Распространение методов аналитической геометрии на пространственные образы было сделано значительно позже французским математиком Клеро (1713–1765).
Теперь переходим к систематическому изучению аналитического метода. Основная наша задача состоит в том, чтобы научиться составлять уравнения различных линий и использовать их при решении геометрических задач.
Тема 2.1. Аффинная система координат. Аффинные задачи
Литература: [1], гл. 3, §1, стр. 55–58; [3], гл. 1, §2, стр. 16–17; [4], гл. 6, §23, стр. 189–203.
Основные определения, теоремы и формулы
Тройка, состоящая из точки O и базиса , называетсяаффинной системой координат на плоскости и обозначается символом: Oили (O,) (рис. 11). Вектор(рис. 12) называетсярадиус-вектором точки M (относительно точки O).
Если , то числаиназываютсякоординатами точки M в системе координат O,. Числоназываетсяабсциссой точки M, а число –ординатой; пишут M(,). Заметим, что,.
ПустьA и B – две точки плоскости, а – некоторое действительное число, причем≠–1. Говорят, что точкаM делит (направленный) отрезок в отношении λ, если . При этом отношениеназывают отношением трех точекA, B и M (или простым отношением этих точек) и пишут: =(AB,M).
Координаты точкиM, делящей направленный отрезок в данном отношениивыражаются через соответствующие координаты концов отрезка по следующим формулам:.
Вопросы для повторения.
Что такое аффинная система координат? Как она задается? Как обозначается?
Как определяются координаты точки в аффинной системе координат?
Докажите, что если на плоскости задана аффинная система координат, то между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие.
Покажите на примерах как построить точку по ее заданным координатам в аффинной системе координат.
Докажите, что каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала вектора.
Точка Mделит направленный отрезокв отношении. В каком отношении точкаMделит отрезок?
В каком отношении делится направленный отрезок : а) точкойA; б) точкойB; в) серединойMотрезкаAB?
Как выражаются координаты точки С, делящей отрезокАВв отношении, через соответствующие координаты концов отрезка?
Покажите, что для любого действительного числа , отличного от –1 , на прямойАВсуществует одна и только одна точкаМ, делящая направленный отрезокАВв отношении.
8. Какие значения принимает λ, когда точка МпрямойМ1М2лежит на: а) отрезкеМ1М2, б) луче,М1М2; в) луче, дополнительном к лучуМ1М2?
9. Точка Мделит направленный отрезокМ1М2в отношении λ. Как перемещается точкаМна прямойМ1М2, если известно, что:
а) λ →0; б) λ→+; в) λ→ –; г) λ→ –1.
10. Постойте точкиР1,Р2,Р3, делящие данный направленный отрезокв отношении: 1)1= 3, 2)2= –2, 3)3=–.
Пример1. В трапецииABCDнижнее основаниеABв три раза больше верхнего основанияCD. Принимая за начало координат точкуA, за положительное направление оси абсцисс – направление боковой стороныAD, а стороныABиAD– за единичные отрезки на этих осях, найти координаты вершин трапеции, а также координаты точкиOпересечения ее диагоналей и координатыS пересечения ее боковых сторон (Рис. 13).
Решение.По условию задачи аффинная система координат задана точкойAи векторами и . ПоэтомуA(0,0),B(1,0),D(0,1). Так как =, то +=+. Значит,C(;1).
Замечаем, что гомотетия с центром в точке Sи коэффициентом 3 переводит отрезокDCв отрезокAB. Следовательно,, т. е. точкаSделит отрезокADв отношении, и,;.
Найдем теперь координаты точки Oв системе координат (A, , ). Для этого необходимо найти разложение вектора по векторам и .
Так как ∆AOBподобен ∆COD, и коэффициент подобия равен 3, то =3. Записав это равенство в координатах, получим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Решая которую, получим:
;;.
Пример2. Найдите аффинные координаты точки, симметричной точкеотносительно точки.
Решение.Пусть– искомая точка. Тогда =. Переходя к координатам, получим,. Отсюда,.
Задачи
В заданной системе координат (O, ) построить следующие точки:A(−1,0),B(−2,1),C(1,1),D(−3,2),E(0, −2),R(3, −3).
Найти координаты середин отрезков A1B1,A2B2,A3B3, если:
A1(−1,5), B1(−3,3), A2(0,4), B2(3,2), A3(−2,6), B3(1,4).
На прямой отмечена последовательность точек A1, A2, A3, A4, A5, A6 так, что A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5 = A5,A6. Зная координаты точекA2(2,5) иA3(−1,7), определить отношения, в которых точкиA1,A3,A4,A6делят отрезокA2A5, а также координаты этих точек.
По координатам трех вершин A, B, Cпараллелограмма вычислить координаты четвертой вершины: 1)A(1,4),B(3, −1),C(0,2); 2)A(−1,0),B(2,1),C(4, −1).
Доказать, что точки A, BиCпринадлежат одной прямой и выяснить, какая из трех точек лежит между двумя другими, если: 1)A(2,1),B(0,5),C(4, −3); 2)A(−1,0),B(1, −2),C(3, −4).
Точки KиM – середины сторонBCиCDпараллелограммаABCD. Найти координаты вершин параллелограмма в репере (A, K, M).
Найти координаты точки пересечения диагоналей четырехугольника ABCDс вершинамиA(−2,14),B(4, −2),C(6, −2),D(6,10).
Заполните таблицу:
На геометрическом языке |
На языке координат |
1. Дана точка A |
|
2. Данные точки A, B, C:
|
|
3. A, B, C, D– вершины параллелограмма |
|
4. A, B, C, D– вершины трапеции с основаниямиABиCD |
|