Тема 2.7. Взаимное расположение двух прямых.

Пучки прямых

Литература: [1], гл. 5, § 2, стр. 91–93; [7], гл. 3, § 22, стр. 78–80.

Основные определения, теоремы и формулы

Пусть в аффинной системе координат прямые изаданы соответственно общими уравнениямии.

Прямые и:

1) пересекаются тогда и только тогда, когда коэффициенты при ив уравнениях прямых не пропорциональны;

2)совпадают тогда и только тогда, когда все коэффициенты в уравнениях прямых пропорциональны;

3) параллельны тогда и только тогда, когда коэффициенты при ипропорциональны, но свободные члены им не пропорциональны.

Например, прямые, заданные уравнениями: 1) ипересекаются; 2)исовпадают; 3)ипараллельны.

Вопросы для самоконтроля

1. Как по уравнениям двух прямых, заданных в аффинной системе координат, установить их взаимное расположение, если прямые заданы: 1) общими уравнениями; 2) параметрическими уравнениями?

2. Существуют ли значения коэффициентов AиB, при которых прямые, заданные уравнениямиAx-By+C=0,Bx+Ay+C=0, параллельны?

3. Что такое пучок прямых?

4. Какой пучок прямых называется: а) эллиптическим? б) гиперболическим? Какой вид имеют уравнения каждого из пучков?

5. Какой вид имеет уравнение прямой, параллельной прямой Ax+By+C=0 и проходящей через: а) начало координат; б) через точкуM₀(x₀,y₀).

Задачи

1. Выяснить взаимное расположение двух прямых, заданных

уравнениями: 1) x+y–3=0 и 2x+2y–6=0; 2)x+2y+1=0 и

x+2y–3=0; 3) x=1+t, y=2+t и x=t, y=3–t.

2. Можно ли подобрать параметр k так, чтобы прямые, заданные уравнениями 3kx–8y+1=0 и (1+k)x–2ky=0: а) были параллельными; б) совпадали; в) пересекались; г) были перпендикулярны? В каких системах координат решается каждая из задач?

3. Две стороны и медиана треугольника лежат на прямых, заданных уравнениямиx+2y–3=0,x+y–2=0 и 5x+6y–15=0 соответственно. Написать уравнение прямой, содержащей третью сторону треугольника.

4. Вершины треугольника ABCв прямоугольной декартовой системе координат имеют координаты:A(4, –5),B(4,1),C(0,2). Написать уравнения прямых, содержащих медиануAM, биссектрисуADи высотуAHэтого треугольника.

5. Точка A(2, –1) – одна из вершин квадрата. Найти координаты остальных вершин, если известно, что сторона квадрата, не содержащая вершинуA, лежит на прямой 3x–4y+5=0.

6. По координатам двух вершин AиBромбаABCDи уравнению прямойCD вычислить координаты двух других его вершин: 1)A(1,1),B(–2,3),CD: 2x+3y+5=0; 2)A(0,4),B(2,3),CD:x+2y–3=0.

7. ABCD– ромб. Известны уравнения прямыхAB:x+3y+12=0,CD:x+3y–8=0,AC:x–2y+2=0. Найти уравнения прямыхBC,AD.

Задачи повышенной трудности

1. Дан треугольник ABCи точкиC₁, A₁,B₁, лежащие соответственно на прямыхAB, BC,CAи отличные от вершинA,B,C. Доказать, что прямыеAA₁,BB₁,CC₁проходят через одну точку или параллельны тогда и только тогда, когда (AB,C₁)(BC,A₁)(CA,B₁)= –1 (теорема Чевы).

2. Дан треугольник ABC и точкиC₁,A₁,B₁, лежащие соответственно на прямыхAB,BC,CAи отличные от вершинA,B,C. Доказать, что если прямыеAA₁,BB₁,CC₁проходят через одну точкуD, то

(AA₁,D)=(AC,B₁)+(AB,C₁) (теорема Ван-Обеля).

Домашнее задание

1. Выяснить, какие стороны треугольника ABCс вершинами

A(–6,3),B(8,10),C(2, –6) пересекаются с каждой из осей координат. Найти отношения, в которых оси координат делят стороны треугольника.

2. Даны уравнения прямых, содержащих средние линии треугольника: 2x–y+1=0,x+3y=0, –x+y+2=0. Написать уравнения прямых, содержащих стороны треугольника.

3. Прямая p, параллельная сторонамADиBC параллелограммаABCD, пересекаетABв точкеM,СD– в точкеN. А прямаяq, параллельная двум другим сторонам параллелограмма, пересекаетADв точкеP, аCB – в точкеQ. Доказать, что прямыеPM,NQ иBDпринадлежат одному пучку, а прямыеPN,MQиAC– другому пучку.