- •Министерство образования и науки
- •Введение
- •Раздел 1. Элементы векторной алгебры в пространстве.
- •Тема 1.1. Направленные отрезки. Векторы.
- •Тема 1.2. Умножение векторов на действительные числа
- •Тема 1.3. Коллинеарные и компланарные векторы.
- •Тема 1.4. Скалярное произведение векторов
- •Тема 1.5. Векторные подпространства
- •Тема 1.6. Применение векторов к решению задач
- •Задачи повышенной трудности
- •Домашнее задание
- •Индивидуальные задания по векторной алгебре Вариант I
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Раздел 2. Метод координат на плоскости
- •Тема 2.1. Аффинная система координат. Аффинные задачи
- •Задачи повышенной трудности
- •Тема 2.2. Прямоугольная система координат. Аффинные и метрические задачи
- •Тема 2.3. Полярная система координат. Метрические задачи
- •Тема 2.4. Ориентация плоскости. Преобразования координат на плоскости
- •Тема 2.5. Геометрическое истолкование уравнений и неравенств между координатами. Алгебраические линии.
- •Домашнее задание
- •Тема 2.6. Уравнения прямой в аффинной и прямоугольной декартовой системах координат. Аналитическое задание полуплоскости
- •Тема 2.7. Взаимное расположение двух прямых.
- •Тема 2.8. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми
- •Задачи повышенной трудности
- •Тема 2.9. Аффинные и метрические задачи на прямую. Решение задач школьного курса методом координат
- •Раздел 3. Кривые второго порядка
- •Тема 3.I. Окружность
- •Задачи повышенной трудности
- •Домашнее задание
- •Тема 3.2. Эллипс
- •Задачи повышенной трудности
- •Тема 3.3. Гипербола
- •Задачи повышенной трудности
- •Тема 3.4.Парабола
- •Задачи повышенной трудности
- •Тема 3.5. Пересечение линии второго порядка с прямой. Асимптотические направления и асимптоты
- •Тема 3.6. Центр линии второго порядка. Касательная
- •Тема 3.7. Сопряженные направления. Главные направления. Диаметры линии второго порядка
- •1) Эллипса ; 2) гиперболы.
- •Тема 3.8. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •Индивидуальные задания по кривым второго порядка
Тема 2.3. Полярная система координат. Метрические задачи
Литература: [1], гл.4, §4, стр. 77−84; [7], гл.2, § 16, стр. 59–62.
Основные определения, теоремы и формулы
Зададим на ориентированной плоскости точку Oи единичный вектор. Пара, состоящая из точкиOи вектора, называетсяполярной системой координат и обозначается так: (O,). ТочкаOназываетсяполюсом, а прямая, проходящая через точкуOи параллельную вектору, на которой положительное направление определено этим вектором, называетсяполярной осью.
ЕслиOM=ρи направленный угол между векторамииравен φ (Рис. 15), тоρназываетсяполярным радиусом точкиM, а число φ –полярным углом, коротко пишут:M(ρ, φ). К каждой полярной системе координат (O,) можно присоединить положительно ориентированную прямоугольную систему координат, началом которой служит полюсO, первым координатным вектором – вектори направленный угол между векторамииравен(Рис. 16). При этом полярные и прямоугольно декартовые координаты связаны соотношениями:
.
Вопросы для самоконтроля
Постройте точки по их полярным координатам: А,В,С,D,Е,F.
Определите координаты точек A,B,C,D,E,Fиз предыдущей задачи в присоединенной прямоугольной системе координат.
Какие полярные координаты у точки, симметричной точке Аотносительно: 1) полюса; 2) полярной оси?
Каким уравнением в полярных координатах задается полярная ось?
Что такое обобщенные полярные координаты? Приведите примеры.
Пример1. Найти радиус вписанной в треугольник окружности, если одна из вершин треугольника лежит в полюсе полярной системы координат, а другие в точкахи.
Решение.Из геометрии известно, что, гдеS– площадь треугольника,P– его периметр. Площадь треугольника вычислим по формуле
, иизвестны, они равны соответственно 2 и 4. Длину стороныABнайдем по теореме косинусов. Тогда
,
.
Пример2. Найти полярные координаты точкиA, если ее декартовы координатых=−1,у=3 (полярная ось совпадает с положительной полуосьюОХ) (Рис. 18).
Решение.Замечаем, что,,; так как точкаА лежит воIIкоординатной четверти (x<0, y>0), то,.
Пример 3. Построить кривую (кардиоиду),а– постоянная.
Решение.Придадимразличные значения и вычислим, пользуясь уравнением кривой, соответствующие значения. Результаты занесем в таблицу:
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
2 |
0 |
Для удобства взяты только те значения, для которыхвычисляется просто, вычисления приведены с точностью до 0,1.
Нетрудно заметить, что и, значит, кривая симметрична относительно полярной оси. Теперь по точкам построим кривую:
Задачи
Построить точки, заданные обобщенными полярными координатами: A(2,), B(−1, ), C(−), D(−3, ).
Найти полярные координаты точек, симметричных точкам
A(2, ), B(3, ), C() относительно: а) полюса; б) относительно полярной оси.
Даны полярные координаты точек A(2, ), B(), D(3, ). Определить их координаты в присоединенной прямоугольной декартовой системе координат.
В полярной системе координат даны точки A(8, −) и B(6, ). Вычислить полярные координаты середины отрезка, соединяющего точки A и B.
В полярной системе координат даны точки M(r1,θ1) и N(r2,θ2). Определить расстояние MN.
В полярной системе координат даны две смежные вершины квадрата A(12, −), B(3, ). Определить его площадь.
Одна из вершин треугольника находится в полюсе O, а две другие суть точки A(r1,θ1), B(r2,θ2). Вычислить площадь треугольника OAB.
Вычислить площадь треугольника, вершины которого A(3, ), B(8, ), C(6, ) заданы в полярных координатах.
В полярной системе координат даны точки M1(1,0), M2(2,0), M3(2,), M4(,), M5(1, ). Установить, какие из этих точек лежат на линии, определенной в полярных координатах уравнением r = 2 cos θ. Какая линия определяется данным уравнением? Изобразите ее на чертеже.
В полярной системе координат вывести уравнение окружности, которая имеет центр C(ρ0,φ0) радиуса r.
Прямая, перпендикулярная полярной оси, отсекает на ней отрезок, равный трем. Составить уравнение этой прямой в полярных координатах.
Даны уравнения линий в полярных координатах:
r = 2 Rcos θ; 2) r = 2 Rsin θ; 3) r = 2 psin θ. Определить, какая фигура задана каждым из уравнений и построить ее схематический чертеж.
Домашнее задание
В полярной системе координат даны две вершины правильного треугольника A(4, −) и B(8, ). Определить его площадь.
Построить на чертеже следующие спирали Архимеда:
1) r = 2 θ; 2) r = −.
В полярных координатах составить уравнение фигуры, каждая точка которой удалена от полярной оси на 5 единиц.