- •Министерство образования и науки
- •Введение
- •Раздел 1. Элементы векторной алгебры в пространстве.
- •Тема 1.1. Направленные отрезки. Векторы.
- •Тема 1.2. Умножение векторов на действительные числа
- •Тема 1.3. Коллинеарные и компланарные векторы.
- •Тема 1.4. Скалярное произведение векторов
- •Тема 1.5. Векторные подпространства
- •Тема 1.6. Применение векторов к решению задач
- •Задачи повышенной трудности
- •Домашнее задание
- •Индивидуальные задания по векторной алгебре Вариант I
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Раздел 2. Метод координат на плоскости
- •Тема 2.1. Аффинная система координат. Аффинные задачи
- •Задачи повышенной трудности
- •Тема 2.2. Прямоугольная система координат. Аффинные и метрические задачи
- •Тема 2.3. Полярная система координат. Метрические задачи
- •Тема 2.4. Ориентация плоскости. Преобразования координат на плоскости
- •Тема 2.5. Геометрическое истолкование уравнений и неравенств между координатами. Алгебраические линии.
- •Домашнее задание
- •Тема 2.6. Уравнения прямой в аффинной и прямоугольной декартовой системах координат. Аналитическое задание полуплоскости
- •Тема 2.7. Взаимное расположение двух прямых.
- •Тема 2.8. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми
- •Задачи повышенной трудности
- •Тема 2.9. Аффинные и метрические задачи на прямую. Решение задач школьного курса методом координат
- •Раздел 3. Кривые второго порядка
- •Тема 3.I. Окружность
- •Задачи повышенной трудности
- •Домашнее задание
- •Тема 3.2. Эллипс
- •Задачи повышенной трудности
- •Тема 3.3. Гипербола
- •Задачи повышенной трудности
- •Тема 3.4.Парабола
- •Задачи повышенной трудности
- •Тема 3.5. Пересечение линии второго порядка с прямой. Асимптотические направления и асимптоты
- •Тема 3.6. Центр линии второго порядка. Касательная
- •Тема 3.7. Сопряженные направления. Главные направления. Диаметры линии второго порядка
- •1) Эллипса ; 2) гиперболы.
- •Тема 3.8. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •Индивидуальные задания по кривым второго порядка
Тема 1.6. Применение векторов к решению задач
школьного курса геометрии
Литература: [2], гл. 1, § 10, стр. 42–45; [19], гл. 1, § 1.6, стр. 86–105.
Основные сведения
Векторная алгебра может быть весьма успешно использована при решении широкого класса содержательных геометрических (аффинных и метрических) задач. Аффинные задачихарактеризуются тем, что все участвующие в них объекты и отношения определяются отношением отрезков, площадей, параллельностью. Вметрическихже задачах – длинами отрезков, величинами углов.
Как правило, векторное решение геометрической задачи позволяет автоматически, или после несложного анализа полученных формул и уравнений, сделать интересные обобщения доказываемых геометрических фактов.
Алгоритм применения векторовпри решении геометрических задач состоит из следующих этапов:
Выясняем, является ли рассматриваемая задача аффинной или же метрической.
Если задача аффинная, то, как правило, выбираем произвольный базис или вводим в рассмотрение наименьшее количество векторов, через которые можно выразить все интересующие нас векторы. Если же задача метрическая, то, как правило, выбираем ортонормированный базис.
Все, что дано в задаче, записываем с помощью векторов.
Все, что необходимо найти или доказать, записываем с помощью векторов.
С помощью алгебраических преобразований из того, что дано, получаем, что необходимо.
Из приведенного алгоритма видно, что если задачу можно перевести на язык векторов, то она решается с помощью векторов. И для успешного использования векторной алгебры к решению геометрических задач необходимо уметь переводить геометрические факты на язык векторов или на язык координат.
Ниже, в таблице, приведены часто встречающиеся примеры.
На языке геометрических фактов |
На языке векторов |
На языке координат векторов |
Прямые ипараллельны. |
Векторы иколлинеарны или=t(здесьи- направляющие векторы прямыхисоответственно) |
Координаты векторов ипропорциональны, т.е.. |
Точки А, ВиС лежат на одной прямой.
|
|
Координаты векторов ипропорциональны, т.е. . |
Точка Слежит между точкамиА иВ. |
, << |
Координаты векторов ипропорциональны, т.е. . |
Точки АиВсимметричны относительно точкиО. |
или
|
Соответствующие координаты векторов иравны или соответствующие координаты вектора вдвое больше соответствующих координат вектора . |
Угол между прямыми и:
|
|
Если координаты векторов заданы в ортонормированном базисе: 1); 2); 3). |
Задание: Для ускорения усвоения этого метода рекомендуем после решения каждой из рассматриваемых задач продумать, какая информация, чем была заменена в процессе работы, и продолжить заполнение таблицы.
Пример 1. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести треугольника) и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
Решение. Пусть медианыADиBE пересекаются в точкеО. Докажем, что третья медианаСМтоже проходит через точкуО. Из приведенной выше таблицы видно, что это все равно, что доказать коллинеарность векторови. Эта задача аффинная.
Пусть =,=. Замечаем, что векторы иможно выразить через векторыи:
,.
Так как , то,.
Аналогично, , поэтому:
, .
Найдем вектор . С одной стороны:
.
С другой стороны:
.
Значит, .
Так как векторы илинейно независимы, то отсюда:
Значит, ,,.
Сравнив векторыи, заключаем:.
Следовательно, третья медиана СМ тоже проходит через точку О.
Пример 2. Доказать, что прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть высотыАDиВНпересекаются в точкеО(Рис. 10). Обозначим, ,.Тогда,,.
, то есть, ., т.е. .
Вычтя из первого подчеркнутого равенства второе, получим , т.е.или. Следовательно,перпендикулярноЗначит, и третья высота треугольника проходит так же через точкуО.
Задачи
С помощью векторов докажите следующие утверждения: а) если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм; б) сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон; в) диагонали ромба взаимно перпендикулярны; г) средняя линия треугольника параллельна основанию и длина ее равна половине длины основания.
Доказать, что в треугольнике ABCуголпрямой тогда и только тогда, когдаAC2 =AB2 +BC2.
Доказать, что сумма квадратов длин диагоналей трапеции равна сумме квадратов длин ее непараллельных сторон, сложенной с удвоенным произведением длин оснований.
В кубе найти величину угла: а) между диагональю и скрещивающейся с ней диагональю грани; б) между скрещивающимися диагоналями соседних граней; в) между диагональю куба и пересекающейся с ней диагональю грани.
Доказать, что сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей и учетверенного квадрата расстояния между серединами этих диагоналей (теорема Эйлера).
Доказать, что в правильном тетраэдре противоположные ребра взаимно перпендикулярны.
Доказать, что в четырехугольнике ABCDимеет место равенство:, гдеM,N– соответственно середины сторонADиBC. Пользуясь этим равенством, докажите, что средняя линия трапеции (треугольника) параллельна основаниям (основанию) и равна их (ее) половине.