Задачи повышенной трудности

1. Дан параллелограмм ABCD. Прямая пересекает прямыеAB, AD, AC соответственно в точках E, M, K, отличных от вершин параллелограмма. Доказать равенство: (BE, A) + (DM, A) = (CK, A).

2. На каждой стороне треугольника ABC треугольника выбрана точка: на стороне AB – точка C₁, на AC – B₁, на BC – A₁. Доказать, что середины отрезков AA₁, BB₁, CC₁ не лежат на одной прямой.

Домашнее задание

1. Найти координаты вершин правильного шестиугольника ABCDEF в репере (A, ).

2. Доказать, что четырехугольник ABCD с вершинами A(1,1), B(2,3), C(7,4), D(5,0) является трапецией.

3. Отрезок AB разделен на три равные части точками M(1,2) и N(3,4). Найти координаты точек A и B.

Тема 2.2. Прямоугольная система координат. Аффинные и метрические задачи

Литература: [1], гл. 4, § 1, стр. 66−69; [7], гл .2, §11, 14, стр. 45–49, 54–55.

Основные определения, теоремы и формулы

Система координат называется прямоугольной декартовойили простопрямоугольной, если его координатные векторы являются единичными и взаимно перпендикулярными векторами. Такая система координат с началом в точкеOобозначается так:или, где.

Если прямоугольной системе координат точки AиBимеют координатыA(),B(), то длина отрезка .

Вопросы для самоконтроля

1. Какая система координат называется прямоугольной?

2. Какая задача называется аффинной? Какая – метрической?

3. Какие задачи можно решить в прямоугольной системе координат? Приведите примеры.

Пример.В прямоугольной системе координат вершины треугольника заданы своими координатамии. Найдите длину биссектрисы его внутреннего угла при вершинеА(Рис. 14).

Решение.Известно, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные длинам прилежащих сторон. Найдем длины этих сторон:

, .

Тогда, если D(x, y)– точка пересечения биссектрисы и стороныBC, то она делит эту сторону в отношении

. Теперь найдем координаты точки D:

; ;.

Задачи

1. Точка M имеет координаты x, y в прямоугольной декартовой системе координат. Найти координаты точки, симметричной точке M относительно: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) начала координат; г) биссектрисы I и III координатных углов.

2. При каком значении k треугольник с вершинами в точках A(1,3), B(2, −1), C(4, k) равнобедренный?

3. Вычислить координаты вершин равностороннего треугольника ABC по координатам его вершины A и центра тяжести M:

1) A(2,0), M(1, −2); 2) A(−2,1), M(0,1).

4. По координатам вершин треугольника ABC выяснить, будет ли он остроугольным, прямоугольным или тупоугольным:

A(1,1), B(3, −1), C(7,3); 2) A(4,0), B(1,1), C(6,3).

5. По координатам вершин A и C квадрата ABCD вычислить координаты вершин B и D: 1) A(1,1), C(−2, −1); 2) A(−1,0), C(3,1).

6. Треугольник ABC задан координатами своих вершин:

A(2, −3), B(3,2), C(−2,5). Вычислить длину высоты, проведенной из вершины C.

7. Площадь параллелограмма равна 12, две его вершины совпадают с точками A(−1,3) и B(−2,4). Найти две другие вершины этого параллелограмма при условии, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси абсцисс.

8. По координатам (2;0), (5;3) двух смежных вершин правильного шестиугольника, заданными в прямоугольной декартовой системе координат, найти координаты его центра и остальных вершин.

Задачи повышенной трудности

1. На сторонах произвольного треугольника вне его построены правильные треугольники. Доказать, что центры этих правильных треугольников являются вершинами некоторого правильного треугольника.

2. Вычислите длину биссектрисы прямого угла прямоугольного треугольника, катеты которого равны соответственно и.

3. Доказать, что в любом неравнобедренном треугольнике биссектриса всегда заключена между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.

Домашнее задание

1. В треугольнике ABCс вершинамиA(−4,7),B(7,5),C(4,1), с заданными в прямоугольной декартовой системе координат, проведена высотаCH. Найти координаты точкиH.

2. Найти координаты центра и радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если в прямоугольной декартовой системе координат: а)A(2,2),B(5,1),C(7, −3); б)A(5,4),B(−2, −7),C(3,8).