Министерство образования и науки

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

П.Н. МИХАЙЛОВ, А.Ф. ШАБАЕВА, Н.В. ШУСТРОВА

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ЗАДАЧАХ.

Практические занятия, часть 1

Учебное пособие

Уфа 2013

УДК 513 (075)+514.752.2+514.752.4

ББК 22.151

М 69

Рецензенты: д.ф.-м.н., профессор Кутрунов В.Н. (кафедра алгебры и математической логики ТюмГУ);

кафедра геометрии и компьютерных наук (Оренбургский государственный университет);

кафедра алгебры, геометрии и методики обучения математике (Стерлитамакский филиал Башкирского государственнго университета).

Ответственный редактор – доктор физико-математических наук, профессор С.А. Мустафина

Михайлов П.Н., Шабаева А.Ф., Шустрова Н.В.

М 69 Векторная алгебра. Аналитическая геометрия задачах. Практические занятия, часть1: Учебное пособие для университетов. - Уфа: БашГУ, 2013. – 223 с.

Учебное пособие содержит разработки практических занятий по многомерной геометрии, основам теоретико-множественной топологии и дифференциальной геометрии (линии и поверхности в евклидовом пространстве).

Предназначено для студентов очного и заочного отделений специальности.

УДК 513 (075)+514.112 +514.742.2

ББК 22.151

ISBN © Баш ГУ, 2013 г. © Михайлов П.Н., 2013 г.

© Шабаева А.Ф., 2013 г.

© Шустрова Н.В., 2013 г.

Введение

Вузовский курс является естественным продолжением школьного курса геометрии. Так, в первом семестре, на основе системы аксиом школьного курса, согласно ФГОС, изучаются такие вопросы, как:

1. векторная алгебра,

2. метод координат на плоскости; прямые и линии второго порядка,

3. применение векторов и метода координат к решению различных геометрических задач, в частности задач из элементарной геометрии,

4. преобразования плоскости и их приложения к решению задач,

5. метод координат в пространстве,

6. изучение поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям.

В пособии основное внимание уделяется алгебраическому подходу в изучении геометрических объектов, который должен помочь в создании полного и единого представления о предмете геометрии вообще, в частности школьной.

Все содержание пособия разбито на темы, рассчитанные для изучения на одном практическом занятии. К каждому занятию приводится рекомендуемая литература, основные определения, теоремы и формулы, вопросы для самоконтроля, образцы решения типовых задач, список задач, рекомендованных для решения на занятии, задачи повышенной трудности и задание для выполнения вне занятия. Тематическое планирование занятий отражает опыт авторов в реальных условиях преподавания.

Данное пособие призвано помочь студентам в организации плодотворной самостоятельной работы при изучении геометрии, обратить внимание на наиболее важные вопросы теории и подходы к поиску решения задач. Всему этому, как нам кажется, будет содействовать самостоятельное продумывание студентами ответов на вопросы для самоконтроля при подготовке к практическому занятию по соответствующей теме, работа над задачами дома и решение задач на занятиях под руководством преподавателя, где различные способы решения этих задач должны стать предметом особого внимания. Так же самостоятельному овладению способами решения задач по геометрии помогут предлагаемые к каждой теме типовые задачи с решениями.

При подготовке к занятиям рекомендуем студентам внимательно ознакомиться с содержанием лекций и разделов учебников, которые указаны отдельно по каждой теме. Заметим, что здесь указана только основная литература, со списком дополнительной литературы можно ознакомиться по рабочей программе преподавателя.

Пользуясь вопросами для самоконтроля, необходимо убедиться в том, что теоретический материал хорошо усвоен. Затем приступить к решению задач. В случае если возникнут вопросы при решении какой-либо задачи, рекомендуем внимательно изучить, приведенное в пособии, решение схожей задачи.

В дальнейшем изложении будем придерживаться следующих обозначений:

1. точки обозначаются большими буквами латинского алфавита: A, B, C, …;

2. прямые – малыми первыми буквами латинского алфавита: a, b, c,… или двумя большими буквами:AB,CD,…;

3. плоскости – малыми буквами греческого алфавита: или тремя большими буквами:ABC,EFC, …;

4. лучи будем обозначать малыми промежуточными буквами латинского алфавита: или двумя большими буквами:OA, KB,…; в этом случае на первом месте ставится буква, обозначающая начало луча, а на втором буква, обозначающая какую-нибудь точку на луче;

5. отрезок с концами AиBобозначается так:ABилиBA, длина отрезка обозначается тем же символомABили, если важно подчеркнуть, что имеется в виду длина отрезка, однако непосредственно из текста этого не видно;

6. для сокращения записи будем применять различные знаки, известные из элементарной теории множеств и логики: ,,,,,,,,.

Также часто будем пользоваться следующими обозначением: /…– множество элементов, таких, что … (после знака указывается свойство, какими обладают элементы этого множества). Другие обозначения будут пояснены в ходе последующего изложения, по мере возникновения необходимости.