Задачи повышенной трудности

1. Пусть O– центр вписанной окружности треугольникаABC. Доказать, что, где– длины сторон треугольника.

2. Доказать, что выпуклый четырехугольник, в котором сумма расстояний от вершины до сторон одна и та же для всех вершин, является параллелограммом.

3. В треугольнике ABCмедианаBMпересекается с биссектрисойADв точкеO. Отношение площади треугольникаMOAк площади треугольникаBOMравна. Найти отношениеAC :AB.

Домашнее задание

1. Найти диагонали параллелепипеда, зная три его ребра, выходящих из одной вершины, и углы между ними.

2. Доказать, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов ее боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.

3. В правильном тетраэдре найти угол между медианами граней, выходящих из одной вершины.

Индивидуальные задания по векторной алгебре Вариант I

1. Дан тетраэдр АВСD, точкаМ– центр тяжести граниАВС,NиК– середины реберВDиDАсоответственно. Найти координаты векторов,,ив базисе,,.

2. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА₁В₁C₁D₁диагоналиА₁ВиВ₁Сего граней наклонены к плоскости основания под углами 30° и 60°. Вычислить угол между этими диагоналями.

3. МиМ₁– точки пересечения медиан треугольниковАВСиА₁В₁С₁. Доказать, что.

4. Найти угол между биссектрисами двух плоских углов прямого трехгранного угла.

5. В четырехугольнике АВСDсуммы квадратов длин противоположных сторон равны. Методом векторов доказать, что его диагоналиАСиВDвзаимно перпендикулярны.

Вариант 2

1. Дана треугольная призма АВСА₁В₁С_1,N – середина отрезкаB₁C₁,М– точка пересечения прямыхА₁ВиАВ₁. Найти координаты векторовв базисе.

2. Дан треугольник АВСтакой, что в ортонормированном базисе

(–2, 3), (0,1). Найти длину высотыВНи угол между векторамии.

3. Доказать, что если для неколлинеарных векторов ивыполнено условие,то.

4. Найти угол между биссектрисами АА₁иАА₂, двух граней правильного тетраэдраАВСD.

5. В правильном тетраэдре АВСD,МиN– центры гранейВСDиАСDсоответственно. Найти угол между векторами и .

Вариант 3

1. В тетраэдре АВСDточкаМ– центр тяжести граниВСD,КиL – середины реберАDиBDсоответственно. Найти координаты векторов в базисе

2. Найти длину биссектрисы BDтреугольникаАВС, если известно, чтоАВ= 2,BC= 3,АВС= 60°.

3. Доказать, что если вектора иперпендикулярны, то.

4. Доказать, что в четырехугольнике с взаимно перпендикулярными диагоналями сумма площадей квадратов, построенных на одной паре противоположных сторон, равна сумме площадей квадратов, построенных на другой паре таких сторон.

5. Найти угол между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней куба.

Вариант 4

1. Дана правильная треугольная призма АВСА₁В₁С₁, у которой все ребра равны. Найти угол между векторами и , где М – середина ребра В₁С₁.

2. Точка О – центр параллелограмма АВСD. Найти координаты векторов в базисе, гдеМ – середина стороны ВС.

3. Пусть -медианы треугольника, сторонами которого являются отрезки. Доказать, что

4. Найти длину высоты АНтреугольникаАВС, в которомВАС= 60°,АВ= 3,АС= 2.

5. Доказать, что если в тетраэдре имеется две пары взаимно перпендикулярных противоположных ребер, то и оставшиеся два ребра будут взаимно перпендикулярными.