Домашнее задание

1. Какое множество точек определяется в прямоугольной декартовой системе координат следующим условием: 1) <-4; 2) отношение расстояний от каждой из которых до точекAиBравно 2.

2. Найти множество вершин Mвсех прямоугольниковOAMBс постоянной площадью, если его стороныOAиOBлежат на осях прямоугольной декартовой системы координат.

3. Написать уравнение окружности с центром (5, 4), касающейся окружности заданной уравнением . Система координат прямоугольная декартова.

Тема 2.6. Уравнения прямой в аффинной и прямоугольной декартовой системах координат. Аналитическое задание полуплоскости

Литература: [1], гл. 5, §§ 1,10, стр. 87–91, 108– 112; [7], гл. 3, § 20,21, стр. 72–78.

Основные определения, теоремы и формулы

Всякий ненулевой вектор , параллельный прямой, называетсянаправляющим вектором этой прямой (рис. 23). Уравнение прямой, заданной точкойM₀() и направляющим векторомимеет вид:

или (p).

Уравнения (p) называютсяпараметрическими уравнениями прямой.

Уравнение прямой, заданной двумя точками M₁() иM₂(), имеет вид:. Еслии, то последнее уравнение можно записать так:

.

Это уравнение прямой называется каноническим.

Вопросы для самоконтроля

1. Может ли направляющий вектор прямой быть параллельным оси OX?

2. Перечислите основные способы задания прямой на плоскости.

3. Запишите параметрические, каноническое и общее уравнение прямой. Как перейти от параметрических уравнений прямой к общему уравнению и от общего уравнения прямой к параметрическим? Поясните на примерах.

4. Прямая задана уравнением 2x-3y+5=0. Найдите вектор: а) параллельный данной прямой; б) не параллельный прямой; в) вектор нормали данной прямой. Всегда ли можно решить эти задачи?

5. Какую фигуру задают уравнения (p), если параметр: 1) принимает только целые значения; 2) принимает все значения из сегмента [1;2]; 3) принимает все значения из интервала (1;2); 4) неотрицателен.

6. Прямая задана уравнением Ax+By+C=0 в аффинной системе координат. Докажите, что векторявляется направляющим вектором этой прямой, а векторне параллелен ей. Останется ли утверждение справедливым, если система координат будет прямоугольной декартовой?

7. Выведите уравнение прямой в отрезках. Определите координаты направляющего вектора, пользуясь уравнением прямой в отрезках.

8. Каковы особенности в расположении прямой, заданной в аффинной системе координат общим уравнением Ax+By+C=0, относительно самой системы координат, если некоторые из коэффициентовA,B,Cобращаются в нуль?

9. В аффинной системе координат прямая задана уравнением Ax+By+C= 0. Какая фигура определяется условием: а)Ax+By+C> 0,

б) Ax+By+C ≥ 0, в) Ax+By+C < 0, г) Ax+By+C ≤ 0?

10. Даны общие уравнения прямых A₂x+B₂y+C₂ = 0,A₁x+B₁y+C₁ = 0. Какая фигура определяется системой неравенств:A₁x+B₁y+C₁ > 0,A₂x+B₂y+C₂ > 0?

Задачи

1. Написать общее и параметрические уравнения прямой: а) проходящей через точку A(–3,2) параллельно вектору (–5,4);

б) проходящей через точки C(1,3) и D(–7,5). Начертить аффинную систему координат и изобразить эти прямые.

2. Написать общее и каноническое уравнения прямой, если заданы ее параметрические уравнения: 1) x=3 – t, y= 2t+1; 2) x=3t+1, y=t–1.

3. Написать параметрические уравнения прямой, заданной в аффинной системе координат общим уравнением: а) 3x-y+5=0; б) 2y=7; в) 3x=–1.

4. Написать неравенство, определяющее ту полуплоскость, границей которой служит прямая 3x–y–2=0, в которой лежит: а) точка A(2, –3); б) начало координат.

5. Записать аналитические условия, определяющие полосу между параллельными прямыми 3x+7y – 6=0, 3x+7y+7=0.

6. Точки A(1,0), B(–2,5), C(4,9) являются вершинами треугольника ABC. Доказать, что точка M(2,6) лежит внутри треугольника ABC, а прямая, заданная уравнением x–3y–5=0, не имеет общих точек с треугольником.

7. Выяснить, является ли четырехугольник ABCD выпуклым, если: 1) A(3,1), B(–2,4),C(–1,0), D(3, –1); 2) A(2,1), B(–3,0), C(4, –2), D(–1, –1).

8. Доказать, что лучи [AB)={M(x,y)I x=1+t, y=2–t, t ≥ 0} и [CD)={N(x,y)|x=2–3k, y=4+3k, k ≤ 0} одинаково направлены, и написать аналитические условия, определяющие полуплоскость, которой принадлежат эти лучи.

9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M перпендикулярно прямой, если: 1)M(3,1),: 2x+y-3=0; 2)M(0, –2),:x-y+5=0; 3)M(–2,2),:y=3x–1.

10. Высоты треугольника ABCпересекаются в точкеH. Известны уравнения прямыхAB: 4x+y–12=0,AH: 2x+2y–9=0,BH: 5x–4y–15=0. Написать уравнения прямыхBCиAC.

Задачи повышенной трудности

1. В прямоугольной декартовой системе координат написать уравнение прямой, которая проходит через точку A(8,6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12.

2. Даны координаты вершин A(1,2), B(–1,6), C(5,10) треугольника ABC в прямоугольной декартовой системе координат. Написать уравнения прямых, содержащих стороны ромба AMNP, вписанного в треугольник ABC так, что вершина M лежит на стороне AB, вершина N – на стороне BC и вершина P – на стороне AC.

3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку P(), где , и образующей с осями прямоугольной декартовой системы координат треугольник наименьшей площади. Вычислить площадь этого треугольника.

4. Найти координаты точки M, симметричной точке N(x₀,y₀) относительно прямой Ax+By+C=0 .

Домашнее задание

1. Написать уравнение прямой: а) проходящей через начало координат и параллельной вектору, имеющего угловой коэффициент ; б) проходящей через точкуM(3,1) параллельной прямой, заданной уравнением

5x–7y–3=0.

2. Известны координаты вершин треугольника ABC: A(–3, –2), B(2,0), C(1,2). Записать условия, определяющие внутреннюю область треугольника.

3. Написать аналитические условия, определяющие параллелограмм ABCD, если: 1) A(0,1), B(–1,2), C(1,3); 2) A(1,1), B(–2,0), C(3, –1).