Тема 1.4. Скалярное произведение векторов

Литература: [1], гл. 4, §2, стр. 69–73; [3], гл. 2, §2, стр. 59–63; [7], гл. 6, §24, стр. 203–217.

Основные определения, теоремы и формулы

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторовиобозначается через. Если хотя бы один из векторовиравен нулевому, то=0. Итак, по определению. Числоназываетсяскалярным квадратомвектораи обозначается. Таким образом,.

Теорема.Для произвольного числаи произвольных векторовисправедливы следующие равенства:

1) ,

2) и,

3)

Если известны координаты векторов иотносительно ортонормированного базиса, то скалярное произведение этих векторов равно сумме произведений их одноименных координат, то есть, если(),(), то

=,

и угол между этими векторами можно определить по формуле:

.

Вопросы для самоконтроля

1. Дать определение угла между векторами.

2. Чему равен угол между векторами, если хотя бы один из векторов нулевой?

3. Какой можно сделать вывод, если:

1) = 0; 2)< 0; 3)> 0?

4. Для каждого из случаев, приведенных в предыдущей задаче, сформулируйте обратные утверждения. Справедливы ли они?

5. В чем состоит геометрический смысл координат вектора в ортонормированном базисе?

6. Сравните свойства скалярного произведения векторов со свойствами умножения чисел. Перечислите общие свойства этих произведений. Какими свойствами умножения чисел скалярное произведение не обладает? Объясните почему.

7. Пусть =. Следует ли отсюда, что?

Пример 1. Доказать, что векторортогонален вектору.

Решение. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Вычислим скалярное произведение векторови:

=.

Следовательно, векторы иортогональны.

Пример2. ТреугольникАВСзадан векторамии. Выразить через векторыивектор, гдеAH– высота треугольника (Рис. 9).

Решение.Выразим векторчерез векторыи:=+=+. Так как векторколлинеарен вектору, то. Тогда=+. Для нахождения величинывоспользуемся перпендикулярностью векторови. Так как они перпендикулярны, то=0, то есть, (+)(=0. Отсюдаи=.

Задачи

1. a) Вычислить скалярное произведение векторов=3–2и=+2, если векторыиобразуют уголφ=и;

б) Вычислить скалярное произведение векторов =3–2и=+2, если известны координаты векторовив ортонормированном базисе:(4,–2,–4),(6,–3,2).

2. В ортонормированном базисе даны векторы и. Найти: 1)cos, 2).

3. Известно, что векторы ,,ненулевые и векторне ортогонален векторами. При каком условии выполняется равенство=?

4. В пространстве даны три некомпланарных вектора ,и. Найти вектор, удовлетворяющий условиям:=0,=0,=0.

5. Какие из следующих равенств являются верными для любых входящих в них векторов: а) =; б) (+)²=+2+;

в) ()²=; г) (() –())=0.

6. Какой угол образуют единичные векторы и, если известно, что векторы=+2и=5– 4взаимно перпендикулярны?

7. Вычислите внутренние углы треугольника ABCи убедитесь, что треугольник равнобедренный, еслии

8. Вычислите тупой угол, образованный медианами, проведенными из вершин острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника.

9. Дан параллелограмм ABCD. Дать геометрическое истолкование равенств: 1) ()² – (–)²=4·;

2) (+)²+ (–)²=2(²+²);

3) ()(–)=²–².

Задачи повышенной трудности

1. Дан тетраэдр SABC. Известны координаты векторов,ив ортонормированном базисе. Найти высотуSHэтого тетраэдра.

2. Доказать, что из пяти векторов всегда можно выбрать два так, чтобы длина их суммы не превосходила длину суммы оставшихся трех векторов.

Указание: попробуйте рассуждать методом от противного.

3. На окружности радиуса 1 с центром в точке Oдано 2n+1 точекA₁,A₂, … ,A_2n+1, лежащих по одну сторону от некоторого диаметра. Доказать, что.

Указание: воспользуйтесь методом математической индукции.

Домашнее задание

1. Доказать, что ABCD– квадрат, если векторы ив ортонормированном базисе имеют следующие координаты:(3; 5; 4), (–4(–3; –5; –4).

2. Вектор образует с векторамииортонормированного базиса,,соответственно углы 120⁰и 135⁰. Найти угол, который образует векторс ортом.

3. ABCD– параллелограмм. Доказать, что диагонали параллелограммаABCDперпендикулярны, если в ортогональном базисе(6; 3; –1).