Тема 1.2. Умножение векторов на действительные числа

Литература: [1], гл. 2, §2, стр. 38–39; [2], гл. 3,§11, стр. 57–60; [3], гл. 2, §1, стр. 43–48; [7], гл. 4, §13–14, стр. 117–130.

Основные определения, теоремы и формулы

Произведением вектора на действительное(вещественное)число называется вектор, который удовлетворяет следующим условиям:

1) , гдеабсолютное значение числа,

2) , еслии, если<0.

Теорема: Для произвольных чисели векторовсправедливы следующие равенства:

1) и,

2) ,

3) ,

4) .

Вопросы для самоконтроля

1. В каких случаях равно ?

2. Что можно сказать о векторах и, если известно, что уравнение: 1) имеет единственное решение; 2) не имеет решений; 3) имеет бесчисленное множество решений?

3. Векторы ,иколлинеарны и<<. Верно ли, что векторсонаправлен с суммой векторов,и?

4. Пусть . Следует ли отсюда, что=?

Пример 1. По данным векторамипостроить векторы: 1);

2) .

Решение. Пусть и- данные векторы (рис. 6):

1) Возьмем произвольную точку А пространства и построим векторы и. Тогда согласно определению суммы векторов вектор.

2) Возьмем произвольную точку Мпространства и построим векторыи. Тогда согласно определению разности векторов.

Задачи

1. Дан вектор . Построить векторы: а); б); в).

2. Дано . Каким условиям должны удовлетворять числаи, чтобы точкаCпринадлежала: 1) прямойAB, 2) лучуAB,

3) отрезку AB?

3. Записать с помощью векторов условие того, что четырехугольник ABCDявляется трапецией с основаниямиABиСD.

4. На прямой даны точки и. Существует ли на этой прямой точка, такая, что ?

5. Точка M – середина отрезкаAB, O– произвольная точка пространства. Доказать, что.

6. В треугольнике ABCотрезкиAMиANявляются соответственно медианой и биссектрисой внутреннего угла. Выразить векторыичерез векторы .

7. Доказать, что если ABCDEF– правильный шестиугольник, то .

8. Угол AOBменьше развернутого. Используя векторы и, найти вектор, параллельный биссектрисе данного угла.

Задачи повышенной трудности

1. Точка Oпересечения диагоналей четырехугольникаABCDиMиN- середины его противоположных сторонABиCDлежат на одной прямой. Доказать, что четырехугольникABCD– трапеция или параллелограмм.

2. Даны правильный n – угольникA₁,A₂, … ,A_nс центромOи произвольная точкаMпространства. Доказать, что: а)б).

3. Доказать, что точка M– центр тяжести треугольникаABCтогда и только тогда, когда выполняется равенство.

Домашнее задание

1. По данным векторам ипостроить векторы:

а) 3; б) –2+.

2. Точка M– центр параллелограммаABCD, аO – произвольная точка пространства. Доказать, что.

3. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁направленные отрезки, совпадающие с его ребрами, определяют векторы:. Построить каждый из следующих векторов:

а) +–; б); в) ––+.

4. Дан вектор , длина которого равна 3. Построить вектор, если его длина равна 5, и он направлен противоположно вектору.

Тема 1.3. Коллинеарные и компланарные векторы.

Линейная зависимость векторов.

Координаты вектора в базисе

Литература: [1], гл. 2, §§ 4–6, стр. 44–52; [2], гл. 4, §§ 14–15, стр. 65–70; [3], гл. 2, §1, стр. 48–55; [7], гл. 4, §§ 15–17, стр. 130–156.

Основные определения, теоремы и формулы

Два вектора, параллельные одной прямой, называются коллинеарными. Два ненулевых коллинеарных вектора либо одинаково, либо противоположно направлены. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Теорема 1. Если векторыиколлинеарны и, то существует единственное числотакое, что.

Векторы иназываютсякомпланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Теорема 2. Если векторыикомпланарны, а векторыне коллинеарны, то существуют единственные числаитакие, что.

Рассмотрим систему векторов и зададимnдействительных чисел. Вектор

называется линейной комбинацией данных векторов.

Система векторов называетсялинейно зависимой, если существуют числа, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, и такие что.

Если же равенство справедливотолькопри, то система векторовназываетсялинейно независимой.

Базисом векторного пространства называется система векторов, удовлетворяющая следующим трем условиям:

1) она упорядочена,

2) линейно независима,

3) всякий вектор пространства является линейной комбинацией векторов системы.

Число векторов базиса называется размерностью пространства.

Теорема 3. Если векторыине компланарны, то для любого векторасуществуют единственные числаитакие, что.

Пусть B= () – базис векторного пространстваVиV. Если, то числаназываютсякоординатами вектораотносительно базисаBи записывают().

Теорема 4. Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат слагаемых. При умножении вектора на число на это же число умножается каждая координата данного вектора.

Базис Bназываетсяортонормированным, если базисные векторыединичные и взаимно ортогональные (перпендикулярные). Векторы ортонормированного базиса обозначаются.

Теорема 5. Длина вектора, заданного координатами в ортонормированном базисевычисляется по формуле

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое подсистема системы векторов?

2. Если система векторов линейно независима, то, что можно сказать о подсистеме? Сформулируйте обратное утверждение. Справедливо ли обратное утверждение?

3. Векторы иколлинеарны. Что можно сказать о зависимости системы векторови?

4. Если векторы икомпланарны, то можно ли утверждать, что система, состоящая из векторови, линейно зависима?

5. Верно ли утверждение: «Если вектор коллинеарен вектору, векторколлинеарен вектору, токоллинеарен»?

6. Что можно сказать о координатах: 1) равных векторов;

2) противоположных векторов?

7. Может ли система, состоящая из одного вектора, быть:

1) линейно зависимой; 2) линейно независимой?

8. Дан вектор относительно базисаB = () векторного пространстваV. Каковы координаты

1. векторов относительно базисаB?

2. Вектора относительно базисаB΄=()?

Пример 1. Даны неколлинеарные векторы и. Коллинеарны ли векторыи?

Решение 1. В разложении вектора вынесем за скобку:

. Тогда , что свидетельствует о том, что векторыиколлинеарны и противоположно направлены.

Решение 2. Неколлинеарные векторы иобразуют базис двумерного векторного пространства. Коэффициенты в разложении векторовипо векторамиявляются координатами этих векторов в указанном базисе. Выпишем координаты в этом базисе:,. Так как, два вектора коллинеарны, если соответствующие коэффициенты в их разложениях по неколлинеарным векторам пропорциональны, то, проверяя это условие для векторов и:, убеждаемся в их коллинеарности.

Решение 3. Чтобы найти линейную зависимость между векторамии, надо из определяющих их равенств, исключить векторыи. Если этого сделать нельзя, то векторыине коллинеарны.

Из первого разложения вектор . Из второго разложения исключим вектор. Тогда из последних равенств имеем. Отсюда:. Что и свидетельствует о коллинеарности векторови.

Пример 2. Из точкиОотложены два вектораи. Найти какой-нибудь вектор, параллельный биссектрисе углаАОВ.

Р

Рис. 7

ешение.Найдем ортыивекторови . Отложим их от точкиOи построим на них как на сторонах ромб (рис. 7). Так как диагональ ромба делит его углы пополам, то вектор, направлен по биссектрисе углаАОВ.

Пример 3. Даны три вектора(3, –1),(1, –2),(–1, 7). Разложить векторпо базису (,).

Решение. Пусть () – базис, в котором заданы координаты векторов,и, и пусть векторв этом базисе имеет координаты (p₁,p₂). Зная координаты векторов,и, найдем координаты вектора:

, то есть, (3, 4). Еслии– коэффициенты разложения векторапо базису,, то. Разложим векторы,ипо векторам базиса ():

=,=,=,=.

Тогда = =+= =() +().

Так как два вектора равны тогда и только тогда когда равны их соответствующие координаты, то 3 = 3+, 4= –– 2, откуда=2,= –3. Тогда=2–3.

Пример 4. Разложить ветер, идущий со скоростью 10 м/с с северо-западного направления под угломк северу, на западную и северную компоненты.

Решение. На рисунке 8 вектор– вектор скорости ветра, а векторыи– его составляющие (восточная и южная) компоненты. Так какАВСD– прямоугольник, то=sin= 5;

=сos=5. Значит, восточная компонента равна 5 м/c, а южная – 5м/с.

Задачи

1. Доказать, что отношение коллинеарности векторов является отношением эквивалентности на множестве всех ненулевых векторов. Почему это отношение не будет отношением эквивалентности на множестве всех векторов?

2. Доказать, что если векторы ине коллинерны, то векторы+и=3–также не коллинеарны.

3. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, точкиPиF– середины реберADиAA₁соответственно. Выяснить, компланарны ли векторы: а); б); в); г).

4. Даны координаты трех векторов (–2,3,4),(7,0,2) и(–6,5,–1). Найти координаты векторови. Коллинеарны ли векторыи?

5. Дана трапеция ABCD(. ТочкиMиN– середины основанийABиCDсоответственно,P– точка пересечений диагоналей трапеции.

1. Приняв векторы и за базисные, найти координаты векторов;

2. Приняв векторы и за базисные найти координаты векторов

6. Установить, какие из следующих троек векторов ,илинейно зависимы, и в тех случаях, когда это возможно, представить векторкак линейную комбинацию векторови: а)(6,4,2),(–9,6,3),

(–3,6,3); б)(5,2,1),(–1,4,2),(–1,–1,6); в)(6,–18,12),(–8,20,–16),(8,7,3).

7. Среди векторов (0,–3,0),(–2,0,5),(0,2,–1),(0,0,4),(1,0,0),(0,1,–3),(1,–2,7),(0,0,0), заданных в базисе, указать векторы: 1)коллинеарные; 2) компланарные с векторамии.

8. Даны векторы ,и. Выяснить, являются ли они линейно зависимыми, если: а)(–3,0,2),(2,1,–4),(3,–2,4); б)(1,0,7),(–1,2,4),(3,2,1); в)(5,–1,4),(3,–5,2),(–1,–13,–2).

9. Дана треугольная призма ABCA₁B₁C₁. Приняв векторы за базисные, найти координаты вектора, гдеM– центр параллелограммаBCC₁B₁,N– центр тяжести треугольникаA₁B₁C₁.

Задачи повышенной трудности

1. Доказать, что точка Cлежит на прямойAB тогда и только тогда, когда существует такое число λ, что= λ+(1– λ)(О– произвольная точка пространства).

2. Доказать, что для любых векторов ,,и чисел α, β, γ векторы α– β, γ– α, β– γкомпланарны.

3. Дана трапеция ABCD, у которой нижнее основаниеABв два раза больше верхнегоCD. Выразить векторы , через векторы=и=.

Домашнее задание

1. Основанием пирамиды SABCDслужит параллелограммABCD. Приняв векторы за базисные, найти координаты векторов ,, гдеM– середина отрезкаADи (BC,P) = 2, где (BC,P) = означает, что.

2. Найти линейную зависимость между векторами: а) (1,3,0),(5,10,0),(4,–2,6); (11,16,3); б)(2,3,1),(5,7,0),(3,–2,4);

(4,12,–3); в) (0,–3,4),(5,2,0),(–6,0,1); (25,–22,16).

3. Определить длины суммы и разности векторови, если известны их координаты в ортонормированном базисе:(3,–5,8),(–1,1,4).