Тема 2.8. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми

Литература: [1], гл. 5,§ 8–9, стр. 107–112; [7], гл. 3, § 23, 24, стр. 80–85.

Основные определения, теоремы и формулы

В прямоугольной системе координат расстояние от точки до прямой, заданной уравнениемвычисляется по формуле:.

Пусть даны две прямые и. Выберем направляющие векторыиэтих прямых так, чтобы направленный угол между ними был не больше прямого угла. Тогда направленный уголмежду векторамииназываетсянаправленным углом между прямымии:, гдеисоответственно координаты векторовив ортонормированном базисе.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое «расстояние от точки до прямой»?

2. Как определяется расстояние от точки до фигуры?

3. Вывести формулу для вычисления расстояния от точки M(x₀,y₀) до прямойAx+By+C=0.

4. Сформулировать определение угла между прямыми и пояснить на примере.

5. Вывести формулу для вычисления угла между двумя прямыми.

6. Какой вид примет формула для вычисления угла между прямыми, если прямые заданы: а) общими уравнениями и; б) уравнениями с угловыми коэффициентамии?

7. Запишите условие перпендикулярности двух прямых в каждом из случаев, указанных выше.

Задачи

1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(–1,4), если расстояние от этой прямой до точкиB(–2, –1) равно 5.

2. Найти координаты центра окружности, вписанной в треугольник ABC, если: а)A(2,1),B(–1,4),C(3, –1); б)A(0,1),B(–1,2),С(2,3).

3. Написать уравнения прямых, отстоящих от прямой, заданной уравнением 4x–3y–7=0, на расстоянии, равном 4.

4. Написать уравнения прямых, симметрия относительно которых переводит прямую x+y+1=0 в прямую 2x–y=0.

5. Начало координат является центром квадрата, уравнение одной из прямых, содержащих сторону квадрата, имеет вид x+2y–1=0. Вычислить координаты вершин квадрата.

6. Точка M(3, –2) принадлежит основаниюBCравнобедренного треугольникаABC. Написать уравнение прямойBC, если

AC: 4x–3y+7=0, AB: 3x–4y–3=0.

7. Написать уравнение прямой, содержащей биссектрису того из углов между прямыми, заданными уравнениями x+2y–5=0 и 3x–6y+2=0, внутри которого лежит начало координат.

8. Луч света, направленный по прямой, заданной уравнением x+y+3=0, отражается от прямой, заданной уравнением 3x-y+5=0. Написать уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.

Задачи повышенной трудности

1. Найти вершины квадрата ABCD, диагональACкоторого лежит на прямойx-y+1=0, вершинаB– на прямойx–4=0, вершинаD– на окружности, заданной уравнениемx²+y²–2x–10y+22=0.

2. Найти множество всех точек плоскости, отношение расстояний от каждой из которых до двух заданных прямых равно отношению данных отрезков и, если данные прямые: а) параллельны; б) пересекаются.

3. В треугольник ABC с вершинами A(–1,0), B(7,0), C(1,4) вписан прямоугольник PQMN так, что точки P и Q лежат на стороне AB, а точки M и N – соответственно на сторонах BC и AC. Составить уравнения сторон прямоугольника PQMN, если известно, что PQ = 2QM.

Домашнее задание

1. На оси абсцисс найти точку, равноудаленную от прямых, которые заданы уравнениями x+3y+2=0 и 3x-y+1=0.

2. Составить уравнения прямых, содержащих катеты равнобедренного прямоугольного треугольника ABC, зная координаты вершиныC(4, –1) прямого угла и уравнение прямой 3x–y+5=0, содержащей гипотенузуABэтого треугольника.

3. Доказать, что прямые, заданные уравнениями

7x–5y+11=0, 3x+2y–16=0, 4x–7y–2=0,

образуют треугольник, и вычислить тангенсы внутренних углов этого треугольника.